005 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bắc cạn

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút (không kể giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC CẠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức A 15 x  11 x  2 x    x2 x 3 x 1 x 3 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để A 13 Câu (2,0 điểm) 2 1) Giải phương trình x  x  x  x    2) Giải hệ phương trình :  x  xy  y  4   x  y  xy  Câu (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  2mx  m2  2m  (với m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A, B nằm bên phải trục tung x  y  z   xyz 2) Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn  Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn   dây cung CD cố định  khơng đường kính) I điểm di động tia đối tia DC (I không trùng với D) Qua I kẻ hai tiếp O CD tuyến IA, IB  A, B hai tiếp điểm) với đường tròn  O  Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD 1) Chứng minh năm điểm A, I , B, H , O thuộc đường tròn 2) Gọi E giao điểm IO AB Chứng minh DEC  DOC 3) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định I di động Câu (1,0 điểm) Cho x  0, y  0, z  thỏa mãn x  y  z  10 Tìm giá trị nhỏ P  x yz    10 4x y z ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 15 x  11 x  2 x    x  x  x  x 3 Cho biểu thức 3) Rút gọn biểu thức A Điều kiện : x  0, x  A     x  1  x  1  x  3  x  1   x    x 5 x  x     x  1  x  3  x  1  x  3 x  A  15 x  11  x   x 3  x 3 4) Tìm giá trị x để 25 x 13    x   13 x 3    A x 3 13   17 x  51  x   x  9(tmdk ) 13 A Vậy x  Câu (2,0 điểm) 2 3) Giải phương trình x  x  x  x    (1) ĐKXĐ: x  x   ,  1  x  x   Đặt x2  9x 1   t  x  x  1,  t   Phương trình (1) thành : t  1( ktm)  t  2t     x  t  3(tm)  x  x       x  10 (thỏa mãn điều kiện) Vậy S   1; 10 4) Giải hệ phương trình :  x  y   xy  4  I    x  y   xy  Đặt Hệ phương trình (I) thành :  x  xy  y  4   I  x  y  xy  S  x  y   P  xy  S  P  4  II   S  P  S   X  X   0( ktm)   S  5S   P    II      S  6  X  2 P  S    X  6X       x; y     2; 4  ;  4; 2    X  4   P   x; y     2; 4  ;  4; 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) P : y  x2 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol   đường thẳng  d  : y  2mx  m2  2m  (với m tham số) Tìm tất giá trị tham d P số m để   cắt   hai điểm phân biệt A, B nằm bên phải trục tung d P Ta có phương trình hồnh độ giao điểm     : x  2mx  m2  2m   x  2mx  m  2m    1  d  cắt (P) hai điểm phân biệt A, B đểu nằm bên phải trục tung phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '   2m    m   *  x1  x2  2m  Khi đó, theo định lý Vi-et ta có :  x1 x2  m  2m  Để x1 , x2 dương : m   x1  x2   2m       m   m  1 **   x1 x2   m  2m     m  3  1 m  thỏa mãn yêu cầu toán Từ (*) (**) suy x  y  z   xyz 4) Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn   Vì  Suy số x, y, z có số chia hết cho Vì vai trị x, y , z nhau, giả sử zM5, mà z số nguyên tố nên z  Khi phương trình trở thành : x  y  z  xyz  xyz M5 x  y   xy   x  1  y  1   2.3  1.6 x 1  x    Th1:  y    y  (loại x, y nguyên tố) x 1  x  Th :   (tm)  y 1  y  x; y; z     2; 7;5  ;  2;5;7  ;  7;5;  ;  7; 2;5  ;  5; 2;7  ;  5;7;   Vậy  Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn   dây cung CD cố định  khơng đường kính) I điểm di động tia đối tia DC (I không trùng với D) Qua I kẻ O CD IA, IB  A, B O hai tiếp tuyến hai tiếp điểm) với đường tròn   Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD 4) Chứng minh năm điểm A, I , B, H , O thuộc đường tròn IAO  IBO  90  gt  Ta có Vì H trung điểm CD nên OH  CD  IHO  90  IAO  IBO  IHO  90 Vậy điểm A, I , B, H , O thuộc đường trịn đường kính OI 5) Gọi E giao điểm IO AB Chứng minh DEC  DOC OA  OB  IA  IB  Ta có : Do OI đường trung trực AB  OI  AB Xét OBI có BE đường cao, ta có IE.IO  IB  1 IBD : ICB BIC chung IB ID    IB  IC.ID   IC IB IBD  ICD  » sd BD IE ID  IC IO Từ (1) (2) suy IE ID   IED  ICO IED : ICO CIO chung IC IO Suy DCO  OED  IED  OED  180 Do tứ giác CDEO nội tiếp Vậy COD  CED( dfcm) IE.IO  IC.ID  6) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định I di động Gọi J giao điểm hai đường thẳng AB, OH OHI : OEJ IOJ chung OHI  OEJ  90 OH OI OI OE OC.OD   OJ   OH OH Suy OE OJ Vì đường trịn  O  , dây cung CD cố định nên điểm H cố định OC.OD OJ  OH khơng đổi Suy Do J cố định Vậy đường thẳng AB qua điểm J cố định I di động Câu (1,0 điểm) Cho x  0, y  0, z  thỏa mãn x  y  3z  10 Tìm giá trị nhỏ P  x yz    10 x y z Áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương x x, x ta có : 3 1    x     1 x 4 x Đẳng thức xảy x  Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương y y, y ta có : z, z ta có : 1  3 y   2 4y 2 4y  Đẳng thức xảy y Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương z 1 4    z    1 3 z 4 z Đẳng thức xảy z  Theo giả thiết ta có : x  y  3z x y 3z       4 4 x  1, y  , z  2 Đẳng thức xảy x  y  z  10  1, , , Cộng theo vế bđt         ta : 13 33    P 4x y z 2 x  1, y  , z  2 Đẳng thức xảy 33 Min P   x  1, y  , z  2 Vậy x yz