005 đề hsg toán 8 hồng lĩnh 22 23

UBND HUYỆN HỒNG LĨNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút I PHẦN GHI KẾT QUẢ ( 10 điểm) ( Thí sinh ghi kết ) Câu 1: Cho biết a  b 8 Tính giá trị biểu thức: M a(a  2)  b(b  2)  2ab Câu 2: Tìm a b cho x +ax+b chia cho x 1 dư 7, chia cho x  dư -5 Câu 3: Phân tích đa thức x  x  x  thành nhân tử 2 Câu 4: Tìm tập nghiệm phương trình: ( x  5)  ( x  1) 64 Câu 5: Cho (a  1)(b  2)(c  3) 100 a  b  c 6 3 Tính giá trị biểu thức: P (a  1)  (b  2)  (c  3) Câu 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  x  y 13 2 Câu 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 13 x  y  xy  y  16 x  2019 Câu 8: Tìm độ dài ba cạnh ( số nguyên ) tam giác vuông biết số đo chu vi số đo diện tích Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân B , M trung điểm cạnh BC N điểm nằm cạnh CA cho BN vng góc với AM Biết CN  cm Tính độ dài cạnh AB Câu 10: Cho tam giác ABC , E điểm nằm cạnh BC ( E nằm B C ) Qua E kẻ ED //A B , EK //A C ( D thuộc AC ; K thuộc AB ) Tính diện tích tam giác ABC biết 2 diện tích tam giác CDE BEK 16 cm 25 cm II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: (4.0 điểm) A ( x  2x x2  4x  x2 1   ): x   x x  x  2 x  x ( x 0, x  1, x 2) Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu 12: (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD, BE , CF , gọi H trực tâm, gọi M N trungđiểm AC BC , đường thẳng qua M vng góc với AC đường thẳng qua N vng góc với BC cắt O a)Chứng minh BDA đồng dạng với FBC , ABC đồng dạng với DBF , b) Chứng minh: AH 2ON c) Khi AH OA , tính góc BAC Câu 13: (2,0 điểm) 1   a) Cho a, b số thực dương khác Chứng minh a b a  b b) Cho A 1 1      2019 2020 2021 6054 6055 Chứng minh A  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HỒNG LĨNH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN I: (10 ĐIỂM) Câu 1: Cho biết a  b 8 Tính giá trị biểu thức: M a(a  2)  b(b  2)  2ab M a(a  2)  b(b  2)  2ab (a  b)2  2(a  b) 82  2.8 80 Câu 2: Tìm a b cho f ( x ) x +ax+b chia cho x 1 dư , chia cho x  dư  Ta có f   1 7, f (3)  ( 1)  ( a)  b 7    27  3a  b   a  b 8   3a  b  32 a  10  b  Câu 3: Phân tích đa thức x  5x  x  thành nhân tử x  x  x  2 x  x  x  x  x  ( x  1)(2 x  x  3) 2( x  1)[( x  ) ( ) ] 4 ( x  1)( x  3)(2 x  1) 2 Câu 4: Tìm tập nghiệm phương trình: ( x  5)  ( x  1) 64 ( x  5)2  ( x  1)2 64  ( x   x  1)( x   x  1) 64  8( x  3) 64  x 5 Vậy S   Câu 5: Cho (a  1)(b  2)(c  3) 100 a  b  c 6 3 Tính giá trị biểu thức: P (a  1)  (b  2)  (c  3) 3 Đặt a   x , b  y , c  z ta có x  y  z 0  x  y  z 3xyz 3 Vậy P (a  1)  (b  2)  (c  3) 3.100 300 Câu 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  x  y 13 xy  x  y 13  x (y  2)  y  11  ( x  1)( y  2) 11 x 1 1 y 11 1 x - 1 11 12 y 1 2 Câu 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 13 x  y  xy  y  16 x  2019 A 13 x  y  xy  y  16 x  2019 (2 x  y  1)2  (3 x  2)2  2014 2014 1 x  ,y  3 Min A 2014 Câu 8: Tìm độ dài ba cạnh (là số nguyên) tam giác vuông biết số đo chu vi số đo diện tích Gọi độ dài ba cạnh tam giác vuông a, b, c  Z  ab 2(a  b  c)(1)  2  c b  a (2)  Ta có:  (a  b)2 c  4(a  b)  4c  (a  b)2  4(a  b) c  4c  a  b  c 4  a  b c  Thay vào (1) ta có a.b 4c  a  b c   4a  4b 4c  16  4a  4b  ab 8  (a  4)(b  4) 8 Giải phương trình nghiệm nguyên, ta a 6, b 8 Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân B , M trung điểm cạnh BC N điểm nằm cạnh CA cho BN vng góc với AM Biết CN  cm Tính độ dài cạnh AB A N C B M Đáp số: AB 3cm Câu 10: Cho tam giác ABC , E điểm nằm cạnh BC ( E nằm B C ) Qua E kẻ ED / / AB , EK / / AC ( D thuộc AC ; K thuộc AB ) Tính diện tích tam giác ABC biết 2 diện tích tam giác CDE BEK 16 cm 25 cm A D K E B C Đáp số: SABC 81cm PHẦN II: (10 ĐIỂM) Câu 11: (4.0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A A ( x  2x x2  4x  x2 1   ): x   x x  x  2 x  x ( x 0, x  1, x 2) b) Tìm giá trị lớn biểu thức A Lời giải a) A ( x  2x x  4x  x 1   ): x   x x  x  2 x  4x ( x 0, x  1, x 2) x  2x x2  4x  x2 1 A (   ): x  x  ( x  1)( x  2) x ( x  2) A x   x ( x  1)  x  x  x ( x  2) ( x  1)(x  2) x 1 A 2.2 x ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  1)( x  1) A 4x x 1 b) Ta có A 2  2( x  x  1) 2( x  1)2 A   2 x2 1 x2 1 => MaxA 2 Khi x 1 Câu 12: (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD, BE , CF , gọi H trực tâm, gọi M N trung điểm AC BC , đường thẳng qua M vuông góc với AC đường thẳng qua N vng góc với BC cắt O a) Chứng minh BDA đồng dạng với FBC , ABC đồng dạng với DBF , b) Chứng minh: AH 2ON c) Khi AH OA , tính góc BAC Lời giải: A E M O F B H D C N A'    a) Xét DAB FCB có ADB CFB 90 , ABC chung => DAB FCB (g.g) Xét ABC DBF  có ABC chung DB FB  BA BC ( DAB  ABC FCB ) DBF ( c.g.c) b) Trên tia AO lấy điểm A ' cho OA=OA' Xét AA 'H có OA OA ' , ON / / AH ( Cùng vng góc với BC )  ON qua trung điểm A ' H Vậy ON la đường trung bình AA 'H  ON  AH  AH 2ON c) Khi AO  AH ta có 1 AO OC , ON  AH  ON  OC 2 ON  OC  NOC 600 Trong NOC vuông N có       Lại có NOC NOB ( OBC cân O )  COB 120 mà BAC BAO CAO 1 1 1  BOA '  COA ')  BOC 600 2  Vậy AH OA BAC 60 Câu 13: (2 điểm) 1   a) Cho a, b số thực dương khác Chứng minh a b a  b a, b  0, a b  (a  b)2   (a  b)2  4ab  ab 1     ab ab a b ab b) Cho A 1 1      2019 2020 2021 6054 6055 Chứng minh A  Áp dụng câu a ta có A 1 1 1 (  )(  )   (  ) 2019 2020 6055 2021 6054 4037 4038 A 4 (    ) 2019 2020  6055 2021  6054 4037  4038 A 1 1     2019 2019 2019 2019 ( có 2019 phân số)  A 1