SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIÂNG NĂM HỌC 2022-2023 MƠN : TỐN CHUN Ngày thi: 06/6/2022 Thời ian làm : 150 phút , không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) 1) x +3 36 x − x + x ≥ 0; x ≠ 1 A = + − ÷: ÷ x +3 9− x÷ x −3 x− x +3 x ≠ Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) 2) x Tìm tất giá trị để A≥4 m Tìm tất giá trị tham số để phương trình x − ( 2m + 1) x + ( m + 2m − 1) x − m + m = mãn 2 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa x + x + x − 3x1 x2 x3 2 2 Câu (4,0 điểm) 1) Cho đa thức P ( x ) = x + x − x3 + x + số a = −7 Tính P ( a) x + 3x − + ( x3 + x + ) = x + x + 2) Giải phương trình Câu (4,0 điểm) 1) 2) Tìm ba số nguyên x, y , z x + y + 25 z = x + xy + 2022 thỏa mãn Cho chín số nguyên dương a1 , a2 , , a9 khơng có ước số ngun tố 3;5 khác Chứng minh chín số cho ln tồn hai số mà tích hai số số phương Câu (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn thuộc nửa đường tròn cho, song song với MA H ( O; R ) đường kính hình chiếu cắt tiếp tuyến B M AB Gọi M điểm AB Đường thẳng qua nửa đường tròn ( O) điểm K O 1) 2) Chứng minh bốn điểm Gọi C, D 3) Gọi thuộc đường trịn hình chiếu minh ba đường thẳng E, F O, B, K , M CD, MH , AK diện tích tứ giác đường thẳng MA, MB Chứng đồng quy trung điểm CDFE H AH , BH Xác dịnh vị trí điểm M để đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) a, b, c Cho ba số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh abc ( a + b + c ) ≤ ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) 3) x +3 A = + x − 36 x − x + x ≥ 0; x ≠ 1 − ÷: ÷ x +3 9− x÷ x− x +3 x ≠ Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A x +3 36 x − x + x ≥ 0; x ≠ 1 A = + − ÷: ÷ x +3 9− x ÷ x −3 x −4 x +3 x ≠ ( = ) ( x − 3) + 36 ( x − 1) ( x − 3) = x + 12 x + 27 ( x + 3) ( x − 3) ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) = x + = ( x − 1) ( x + 3) x − x +3 +6 d) x Tìm tất giá trị để A≥4 A≥4⇔ x +9 −3 x + 13 −4≥0 ⇔ ≥0 x −1 x −1 −3 x + 13 ≥ 169 ⇔ 1< x ≤ x − > ⇔ −3 x + 13 ≤ ⇒ x ∈∅ x − < 1< x ≤ Vậy 4) 169 ;x ≠ 9 thỏa đề Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − ( 2m + 1) x + ( m + 2m − 1) x − m + m = mãn 2 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa x + x + x − x1 x2 x3 2 2 Phương trình cho tương đương với x = m ( x − m ) x − ( m + 1) x + m − 1 = ⇔ x − ( m + 1) x + m − = ( *) Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt pt (*) có nghiệm phân biệt khác ∆ = m − 2m + > ⇔ ⇔ m∈¡ m − ( m + 1) m + m − ≠ m nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với m từ giả thiết ta có : ( x1 + x2 ) − x1 x2 + m2 − 3mx1 x2 = ( **) Theo hệ thức Vi-et ta có : ( m + 1) x1 + x2 = m + x1 x2 = m − Thay vào (**) : − ( m − 1) + m − 3m ( m − 1) = ⇔ m = Câu (4,0 điểm) ± 21 Cho đa thức 3) P ( x ) = x + x − x3 + x + số a = −7 Tính P ( a) a = − = − ⇒ ( a + 1) = ⇔ a + 2a − = Chia đa thức P(x) cho đa thức x2 + x − = P ( x) = ( x + x − 1) ( x − x + ) + x + ta : ⇒ P ( a ) = ( a + 2a − 1) ( a − a + ) + 3a + = 3a + ⇒ P ( a) = x + 3x − + ( x + x + ) = x + x + Giải phương trình 4) Phương trình cho tương đương với : ( x + 1) Đặt − ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + x + ) − 2 a = x + 1, b = x + x + ( x3 + x + ) + x3 + x + ta phương trình : a − 2a + 5a = b3 − 2b + 5b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b − 2a − 2b + ) = −1 ± 13 a = b ⇒ x + = x + x + ⇔ ⇔ x = ⇔ 2 a + ab + b − 2a − 2b + = 0(VN ) x= Vậy phương trình có nghiệm −1 ± 13 Câu (4,0 điểm) x, y , z 3) Tìm ba số nguyên thỏa mãn Phương trình cho tương đương với x, y , z Với số ngun ta có: (bình phương số nguyên) (x (x x + y + 25 z = x + xy + 2022 − 1) + ( x − y ) + ( z ) = 2023 2 − 1) , ( x − y ) , ( z ) 2 2 số phương Mỗi số nguyên chia cho số dư số ⇒ 0; ±1; ±2; ±3; số phương chia cho số dư số Từ (x − 1) + ( x − y ) + ( z ) 2 tổng số phương nên chia cho số dư số Mặt khác 2023 0;1; 2;3; 4;5;6 chia cho dư Do vậy, khơng thể tìm ba số ngun 4) 0;1; Cho chín số nguyên dương x, y , z a1 , a2 , , a9 thỏa mãn yêu cầu đề khơng có ước số ngun tố 3;5 khác Chứng minh chín số cho ln tồn hai số mà tích hai số số phương Giả sử nhiên a1 = 3m1.5n1.7 p1 , , a9 = 3m9 5n9 p9 i = 1; 2;3; ;9 Với ba số trường hợp sau : , ( mi , ni , pi ) mi , ni , pi ( i = 1, 2,3, ,9 ) số tự có tính chẵn (c) , lẻ (l) theo thứ tự ( c; c; c ) , ( c; c; l ) , ( c; l ; c ) , ( c; l ; l ) , ( l ; c; c ) , ( l ; c; l ) , ( l ; l ; c ) , ( l ; l; l ) Theo nguyên lý Dirichlet, ba số ( mi , ni , pi ) ( mk , nk , pk ) với → m j + mk , n j + nk , p j + pk j , k ∈ { 1; 2; ;9} ( mi , ni , pi ) j ≠ k, trường hợp số chẵn ⇒ m j + mk = 2m; n j + nk = 2n; p j + pk = p ( m, n, p ∈ ¥ ) a j ak = Từ m j + mk n j + nk p j + pk = 32 m.52 n.7 p = ( 3m.5n.7 p ) tồn hai ba số ⇒ a j ak ;là số phương nên ta có điều phải chứng minh Câu (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn điểm thuộc nửa đường tròn cho, O thẳng qua song song với điểm K 4) Ta có Mà Chứng minh bốn điểm ∠KOB = ∠MAB ∠MAB = ∠MOB MA H ( O; R ) đường kính hình chiếu cắt tiếp tuyến O , B, K , M B Gọi M AB Đường thuộc đường trịn (hai góc đồng vị) (góc nội tiếp góc tâm chắn cung MB) ⇒ ∠KMO = ∠KBO = 90° ⇒ ∠KMO + ∠KBO = 180° Vậy điểm M nửa đường tròn ⇒ ∠KOB = ∠MOB ⇒ ∠KOB = ∠KOM ⇒ ∆KOB = ∆KOM (c.g c ) Suy tứ giác AB OBKM O, B, K , M nội tiếp thuộc đường tròn ( O) Gọi 5) C, D hình chiếu ⇒ KM , KB Gọi I,Q Ta có OK ∠BPK = ∠BQK = 90° ⇒ ⇒ ∠MBK = ∠IQP , mà Từ tứ giác ∠MBK = ∠IMP ⇒ ∠IQP = ∠IMP ⇒ MIPQ ∠MPI = ∠MQI ⇒P AK giao điểm mà BPQK MB ⇒ I I 6) Gọi (hai góc nội tiếp chắn cung) trung điêm MH, mà MCHD hình CD đồng quy I trung điểm để diện tích tứ giác CDFE SCDFE = 2S IEF = IH EF = Chỉ Từ , nội tiếp (so le trong) ∠MQI = ∠MBA chữ nhật nên trung điểm E, F trung điểm MB tứ giác nội tiếp Mặt khác, P trung điểm Vậy đồng quy với MH nửa đường tròn (O) ⇒ ∠MPI = ∠MBA ⇒ IP / / AB CD, MH , AK MA, MB ∠KMO = ∠KBO = 90° MB Từ tiếp tuyến (O) đường thẳng CD, MH , AK Chứng minh ba đường thẳng Gọi P giao điểm H AH , BH Xác dịnh vị trí điểm đạt giá trị lớn 1 MH AB = MH R 2 SCDFE max ⇔ MH max ⇔ M điểm cung AB Câu (1,0 điểm) a, b, c Cho ba số dương abc ( a + b2 + c ) ≤ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh M 3abc ( a + b + c ) = ( a + b + c ) abc ( a + b + c ) = ( ca.ab + ab.bc + bc.ca ) ( a + b + c 2 ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( x + y + z) xy + yz + zx ≤ Dựa BĐT phụ ( ab + bc + ca ) ( a2 + b2 + c2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) , dấu xảy x= y=z ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) 2 2 ( ab + bc + ca ) + (ab + bc + ca) + ( a + b + c ) ( a + b + c ) = ≤ =9 3 3 3 Dựa vào BĐT Cô si Vậy x+ y+z x, y, z ≥ ⇒ xyz ≤ ÷ ⇔x=y=z abc ( a + b + c ) ≤ Dấu xảy a = b = c =1