Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hưng yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN HƯNG YÊN Năm học 2022-2023 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x Tìm giá trị để Câu II (2,0 điểm) b) Trong mặt phẳng tọa độ ( d ) : y = ( m + 1) x − m + biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )  x+2 x  A =  + : ÷ ÷  x + x − x − x  x −1 A=3 Oxy, cho parabol ( P ) : y = x2 Tìm giá trị tham số cho x1 ; x2 Giải phương trình : Giải hệ phương trình : Câu IV (3,0 điểm) Cho H nhọn x − x3 + x − 16 y + 12 x − 16 y + = 3x − 3− x − =1 x −1 x −1 ∆ABC để (d) cắt (P) hai điểm phân số nguyên Tìm nghiệm nguyên phương trình Câu III (2,0 điểm) m ( AB < AC )  x + y + xy = x + y −   xy + x + y = nội tiếp đường tròn ( O) Gọi K giao điểm hai đường thẳng a) Chứng minh tứ giác b) Đường thẳng AK đường thẳng BFEC nội tiếp, từ suy cắt đường trịn BC ( O) Hai đường cao EF BE , CF cắt BC KF KE = KB.KC điểm thứ hai M (M khác A) Gọi I M, H, I trung điểm đoạn thẳng Chứng minh ba điểm thẳng hàng Một chi tiết máy gồm hai nửa hình cầu hình trụ (hình vẽ) Hãy tính thể tích chi tiết máy theo kích thước cho hình vẽ Câu V (3 điểm) Cho ba số thực dương 2x P= x +4 x, y , z y + y +9 thỏa mãn + xy + yz + xz = 24 z z + 16 trị lớn biểu thức ĐÁP ÁN Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức c)  x+2 x  A =  + : ÷ ÷  x + x − x − x  x −1 A Rút gọn biểu thức  x+2 x   x ≥ 0 A =  + : ÷  ÷ ÷  x + x − x − x  x −1  x ≠    x x +2   x −1 = +  x −1 x +2 x x −1    x+2 x+2 = x −1 = x x x −1 ( ( )( ( d) ) ) ) ( ( ( ) ) x Tìm giá trị để A=3⇔ ) A=3  x = 1(ktm) x+2 = ⇔ x −3 x + = ⇔  x  x = 4(tm) x=4 Vậy A=3 Câu II (2,0 điểm) Tìm giá Trong mặt phẳng tọa độ ( d ) : y = ( m + 1) x − m + Oxy, cho parabol ( P ) : y = x2 m Tìm giá trị tham số A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) đường thẳng để (d) cắt (P) hai điểm x1 ; x2 phân biệt cho số ngun Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x = ( m + 1) x − m + ⇔ x − ( m + 1) x + m − = ( *) ∆ = ( m + 1) − ( m − ) = ( m − 1) + 20 > Ta có Nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt  x1 + x2 = m +   x1 x2 = m − Xét x =1 A, B Theo hệ thức Vi-et ta có : khơng phải nghiệm phương trình ⇒ x− = m ( 1) x −1 Vì x1 , x2 ∈ ¢ nên Từ (1) ta có m + 1; m − m∈¢ số ngun m số nguyên  m = −3  x  x ữ  5Mx − ⇔  m = x −1  )    (  x − = −5 ⇒ x = −4 ⇒ m = −3  x − = −1 ⇔ x = ⇒ m =   x −1 = ⇔ x = ⇒ m =   x − = ⇔ x = ⇒ m = −3 Vậy m = −3; m = thỏa mãn u cầu tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x − x + x − 16 y + 12 x − 16 y + = x − x3 + x − 16 y + 12 x − 16 y + = ⇔ x + x − x − x + x + x + x + = 16 y + 16 y + ⇔ ( x + 1) ( x − x + x + ) = (4 y + 2) ⇔ ( x + 1) Vì (x − x + ) = (4 y + 2) y ∈ ¢ ⇒ y + ≠ ⇔ x ≠ −1 Vì x, y ∈ ¢ nên ( x + 1) ( y + 2) số phương khác nên (x x − x + = m ( m ∈ ¥ *) số phương Đặt ⇔ ( x − ) + = m ⇔ ( x − ) − m = −4 ⇔ ( x − − m ) ( x − + m ) = − ( *) Do x−2−m < x−2+m nên :    x − − m =  x = ⇔ (ktm)   x − + m = m =     x − − m = −2  x = −2 ⇔   ⇔ (tm) x−2+m = m=2      x − − m = −1  x = / ⇔ (ktm)  x − + m = m = /      4 y + = y = x = −2 ⇒ ( y + ) = ⇔  ⇔  y + = −2  y = −1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên Câu III (2,0 điểm) Giải phương trình : ĐK: ( −2; ) , ( −2; −1) 3x − 3− x − =1 x −1 x −1 1< x ≤ ⇔ 3x − − − x = x − ⇔ 3x − = x − + − x ⇒ 3x − = + ( x − 1) ( − x ) ⇔ 3x − = 3x − ≥ ⇔ x ≥ (*) có điều kiện ( *) ⇔ x − 24 x + 16 = ( x − 1) ( − x )  x = 2(tm) x ⇔ 13 x − 40 x + 28 = ⇔   x = 14 ( ktm) 13  ( x − 1) ( − x ) ( *) − 4x + 8) Vậy x=2 Giải hệ phương trình :  x + y + xy = x + y −   xy + x + y =  x + y + xy = x + y −  x + y + xy = ( − xy ) − ⇔  xy + x + y =  x + y = − xy   x + y + 3xy = 1( 1) ⇔  x + y = − xy ( ) ( 1) ⇔ ( x + y ) − 3x y − 3xy + 3xy − = ⇔ ( x + y ) − 13 − 3xy ( x + y − 1) =  x + y −1 = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y − xy + x + y + 1) = ⇔  2  x + y − xy + x + y + = Với x + y −1 = ⇔ x = 1− y thay vào (2) ta : y = ⇒ x =1  y = ⇒ x = −1 ( 2) ⇔ − y + y = − ( − y ) y ⇔ y ( y − 2) = ⇔  Với x + y − xy + x + y + = ⇔ x + y − xy + x + y + = ⇔ ( x − xy + y ) + ( x + x + 1) + ( y + y + 1) = ⇔ ( x − y ) + ( x + 1) + ( y + 1) = ⇒ x = y = −1 2 Vậy nghiệm hệ phương trình ( 1;0 ) , ( 2; −1) , ( −1; −1) Câu IV (3,0 điểm) Cho ∆ABC H nhọn ( AB < AC ) Gọi K giao điểm hai đường thẳng a) Chứng minh tứ giác Xét tứ giác có nhìn cạnh nhau) ∆KEF ∆KBE có : ⇒ ∆KEF ∽ ∆KBE ( g g ) ⇒ b) Đường thẳng BFEC nội tiếp, từ suy ∠BEC = ∠CFB = 90° BFEC Xét nội tiếp đường tròn AK nên tứ giác ∠K chung , ∠KCF = ∠KEB Hai đường cao EF cắt đường tròn BC ( O) BE , CF cắt BC KF KE = KB.KC BFEC nội tiếp (có góc (cùng chắn cung KF KC = ⇒ KF KE = KC KB (dfcm ) KB KE I trung điểm đoạn thẳng Ta có ( O) BF ) (1) điểm thứ hai M (M khác A) Gọi Chứng minh ba điểm ∆KIB ∽ ∆KBA( g g ) ⇒ KI KA = KB.KC ( ) M, H, I thẳng hàng Từ (1), (2) ⇒ KE.KF = KI KA ⇒ ⇒ IAEF tứ giác nội tiếp (góc góc đỉnh đối diện) Mặt khác AEHF ⇒ I , A, E , F , H Mà KE KA = ; ∠K chung ⇒ ∆KEA ∽ ∆KIF (c.g c ) ⇒ ∠KEA = ∠KIF KI KF thuộc đương trịn đường kính AH ∠NIA = 90° (góc chắn nửa đường trịn) Kẻ đường kính Xét tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AH AN BHCN (O), có : ⇒ N, I, H N ∈( O) ⇒ ∠IHA = 90° thẳng hàng BH / / CN ( ⊥ AB ) , CH / / BN ( ⊥ AC ) ⇒ BHCN BC ⇒ M ∈ HN ⇒ M , I , H hình bình hành Mà M trung điểm thẳng hàng Một chi tiết máy gồm hai nửa hình cầu hình trụ (hình vẽ) Hãy tính thể tích chi tiết máy theo kích thước cho hình vẽ V= 4 1216 R π + R 2π 20 = 43 π + 20.42 π = π ( cm3 ) 3 x, y , z Câu V (3 điểm) Cho ba số thực dương P= 2x x2 + thỏa mãn + y y2 + + xy + yz + xz = 24 z z + 16 giá trị lớn biểu thức xy + yz + xz = 24 ⇔ Ta có : Đặt xy yz xz x y y z x z = = =1⇔ + + =1 12 3 4 x y z = a > 0; = b > 0; = c > ⇒ ab + bc + ca = Tìm 4a P= 4a + 2a = + 3b 9b + a + ab + bc + ca 2a = + ( a + b) ( a + c) = + + 4c 16c + 16 b = 2a a2 +1 + b b2 + c + c c2 + + b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca b c + ( a + b) ( b + c) ( a + c ) ( b + c) 2a 2a 2b b c 2c + + a+b a+c a + b 2( b + c) 2( b + c) a + c Ta có : 2a 2a 2a 2a 2b b 2b b + ≥2 ; + ≥2 a+b a+c a + b a + c a + b 2( b + c) a + b 2( b + c) c 2c c 2c + ≥2 2( b + c) a + c 2( b + c) a + c  2a 2a 2b b c 2c  P ≤  + + + + + ÷  a + b a + c a + b 2( b + c) 2( b + c) a + c ÷   ( a + b ) 2(a + c ) b+c  1 1 ⇔P≤  + +  ⇒ P ≤  + + ÷⇒ P ≤  a+b a+c 2( b + c)  2 2 Dấu xảy  2a  2a  = a = a + b a + c  b = c  2b b   = ⇔ a = 7b ⇔ b =  a + b 2( b + c)  a = 7c    c  2c =  c =   ( b + c ) a + c Max P = Vậy 15 15 15 ⇔x=z= ;y= 15 15 ⇔x=z= 15 ;y = 15 ... = m − Xét x =1 A, B Theo hệ thức Vi-et ta có : khơng phải nghiệm phương trình ⇒ x− = m ( 1) x −1 Vì x1 , x2 ∈ ¢ nên Từ (1) ta có m + 1; m − m∈¢ số nguyên m số nguyên  m = −3 x  x ữ ¢...  x −1 = ⇔ x = ⇒ m =   x − = ⇔ x = ⇒ m = −3 Vậy m = −3; m = thỏa mãn u cầu tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x − x + x − 16 y + 12 x − 16 y + = x − x3 + x − 16 y + 12 x − 16 y + = ⇔ x + x... 2(tm) x ⇔ 13 x − 40 x + 28 = ⇔   x = 14 ( ktm) 13  ( x − 1) ( − x ) ( *) − 4x + 8) Vậy x=2 Giải hệ phương trình :  x + y + xy = x + y −   xy + x + y =  x + y + xy = x + y −  x + y + xy =