Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh khánh hòa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi : TỐN (CHUN) Ngày thi : 04/06/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,00 điểm) A 6   10   3 42 a) Rút gọn biểu thức 2 2 2 b) Cho số thực a, b, c thỏa 2a  3ab  2b  1; b  3bc  4c  c  3ca  a  Tính 4 giá trị biểu thức B  a  b  c Câu (2,00 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng d : y  mx  m  (m tham số) Tìm tất giá trị m để d cắt trục hoành điểm A, trục tung điểm B tạo thành tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)  x  x y  xy  y   1   x  12 y   x  y   30 y  b) Giải hệ phương trình Câu (1,50 điểm) a) Chứng minh x  3x   với số thực x  1    3 b) Cho số thực không âm x, y, z thỏa  x  y  z Tìm giá trị nhỏ 1 x 1 y 1 z Q    2022 2  x  x  y  y  z  z biểu thức Câu (2,50 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân đỉnh C nội tiếp đường tròn   Gọi d1 d tương ứng tiếp tuyến đường tròn (O) A B, tiếp tuyến cắt D Gọi E hình chiếu vng góc O lên đường thẳng DC a) Chứng minh năm điểm A, O, E, B, D thuộc đường tròn b) Một đường thẳng d qua C song song với AB cắt d1 F Chứng minh O DAC ∽ DEF c) Gọi K trung điểm AC Chứng minh ba điểm E , F , K thẳng hàng Câu (2,00 điểm) a) Bên tam giác cạnh cho năm điểm Chứng minh điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 2 b) Cho số tự nhiên a, b, c thỏa 2a  3b  4c Chứng minh a, b, c chia hết cho c) Một tập hợp S gọi có tính chất T S có bốn phần tử với phần tử x S hai phần tử x-1 x+1 thuộc S X   1; 2;3; ; 2022 Cho tập hợp tập X Tính số tất tập có tính chất T (nêu trên) ĐÁP ÁN Câu (2,00 điểm) c) Rút gọn biểu thức 6  1 3 10     A  2 2 1 3  1 6   10   3 42     1  3   1;     1 11  3  3 2 3 2 1  1  A2 2 2 2 d) Cho số thực a, b, c thỏa 2a  3ab  2b  1; b  3bc  4c  c  3ca  a  Tính 4 giá trị biểu thức B  a  b  c Ta có : 2a  3ab  2b  2a  3ab  2b    2 2 2 b  3bc  4c   b  3bc  4c   3a  3b  3c   ab  bc  ca   c  3ca  a  c  3ca  a  3    a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a    a  b  c 2  2a  3ab  2b  a     b  3bc  4c   b   B  c  3ca  a  c    Câu (2,00 điểm) c) Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng d : y  mx  m  (m tham số) Tìm tất giá trị m để d cắt trục hoành điểm A, trục tung điểm B tạo thành tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Nhận xét m  0, m  1 d khơng cắt hai trục tọa độ hai điểm phân biệt Do m  0; m  1  m   A ; , B  0; m  1  Ta có  m SOAB  m  m 1 ; m SOAB   m  m  m 1   m     m  1  m m m  m  2m   m  m   m     m  2m   4m  m    m  3  2 Vậy giá trị cần tìm m  1; m  3  2  x  x y  xy  y   1   x  12 y   x  y   30 y  d) Giải hệ phương trình 2 Điều kiện : y  0, x  12 y   0; x  y   x x x x  x y  xy  y            x  y y  y  y 1 1 1      x x  12 y  x  y  30 y x  x  x  x  15 Do x  0, nhân vế phương trình cho x ta : 2 1   1 4 x   x   15 t  x   6,   x x x Đặt phương trình trở thành : t t  15 t   x  12 x    x     t  4t  60    t  10  x  x    x  2   Vậy hệ có nghiệm Câu (1,50 điểm) c) Chứng minh x  3x   với số thực x   2; 1 , x3  3x     x  1  2;3  2 ;  2;3  2   x  1  (luôn đúng) (đpcm) 1    3 d) Cho số thực không âm x, y, z thỏa  x  y  z Tìm giá trị nhỏ 1 x 1 y 1 z Q    2022 2 1 x  x 1 y  y 1 z  z2 biểu thức x3  x    x3   x      x     x    x3  x   x3  x3  y3  y2  z3  z  ;  3 Tương tự ta có :  y  y  z  z với y, z  1 1 1 1          0 3 3 3 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z   x  y3  z   0  x3  y  z Theo chứng minh ta có :   x2  y2  z   x2  y3  z3     0     x3  y  z   x3  y  z Câu (2,50 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân đỉnh C nội tiếp đường tròn   Gọi d1 d tương ứng tiếp tuyến đường tròn (O) A B, tiếp tuyến cắt D Gọi E hình chiếu vng góc O lên đường thẳng DC O d) Chứng minh năm điểm A, O, E, B, D thuộc đường tròn DAO  90 (DA tiếp tuyến); DBO  90 (DB tiếp tuyến)  DAOB tứ giác nội tiếp DEO  90 (E hình chiếu O lên DC) nên E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác DAOB Suy A, O, E , B, D thuộc đường trịn đường kính DO e) Một đường thẳng d qua C song song với AB cắt d1 F Chứng minh DAC ∽ DEF Tứ giác AEBD nội tiếp  AED  ABD; ABD  ACB (góc tiếp tuyến dây cung ) Do đó: AED  ABD  ACB  180  ABC  BAC  180  FAC  ACF  AFC  tứ giác AECF nội tiếp nên ACE  AFE  ACD  DFE  DAC ∽ DEF f) Gọi K trung điểm AC Chứng minh ba điểm E , F , K thẳng hàng Tứ giác OABE nội tiếp nên AEO  ABO  OAB Tứ giác OECK nội tiếp nên OEK  OCK  OAK AEK  AEO  OEK  ABO  OCK  ABO  OCA  CAB  ACF Suy AEK  ACF  AEF hay ba điểm E , K , F thẳng hàng Câu (2,00 điểm) d) Bên tam giác cạnh cho năm điểm Chứng minh điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Xét tam giác ABC , gọi C1 , A1 , B1 trung điểm cạnh AB, BC , CA Theo nguyên lý Dirichlet có tam giác chứa điểm, chẳng hạn tam giác AB1C1 Gọi hai điểm M , N Ta chứng minh MN  Nếu hai điểm M , N  B1C1 MN  B1C1  Ngược lại, đường thẳng MN cắt AC1 , AB1 E F Xét tam giác AEF , tam giác có góc lớn 60 , chẳng hạn AFE (góc lớn nhất) Khi MN  EF  AE  AC1  2 e) Cho số tự nhiên a, b, c thỏa 2a  3b  4c Chứng minh a, b, c chia hết cho Từ giả thiết suy b số chẵn, đặt b  2b1 , b1  ¥ 2a  3b3  4c  2a  24b13  4c  a  12b13  2c Suy a số chẵn, lại đặt a  2a1 , a1  ¥ 4 Khi 2a  12b1  4c  8a1  24b1  4c  2a1  6b1  c  c số chẵn Vậy a, b, c dều chia hết cho Dễ thấy 2a  3b chia dư dư  hai vế chia hết cho 3 2a  3b3 M3 2a M a M    3 4c M c M c M3 Đặt a  3k , a  3k  1 4c chia dư Suy a  3m, m  ¥  c  3n, n  ¥ Khi : 2a  3b3  4c  2.9m  3b3  4.81n  2.3m  b3  4.27 n  b3 M  bM a , b , c Vậy chia hết cho f) Một tập hợp S gọi có tính chất T S có bốn phần tử với phần tử x S hai phần tử x-1 x+1 thuộc S X   1; 2;3; ; 2022 Cho tập hợp Tính số tất tập có tính chất T (nêu trên) tập X Xét toán : Cho tập Xét tập Y   1; 2;3; ; n  n  ¥ , n   S   a; b; c; d  Gọi S tập có tính chất T Y , giả sử a  b  c  d Khi b  a  1; c  b  1; d  c   d  a  *) a  S  a  1 S  b  a  *) d  S  d  1 S  c  d   S   a; a  1; d  1; d  a; d Do ta cần đếm cặp số   với a, d  Y d  a  *) a   d có n – cách chọn *) a   d có n – cách chọn …………… *) a  n  d có cách chọn Vậy tổng số tập S Y có tính chất T Áp dụng toán cho trường hợp tập  2022  3  2022    2019.2020  2039190 2 n   n      X   1; 2;3; ; 2022  n  3  n   , số tập cần tìm ...X   1; 2;3; ; 2022? ?? Cho tập hợp tập X Tính số tất tập có tính chất T (nêu trên) ĐÁP ÁN Câu (2,00 điểm) c) Rút gọn biểu thức 6  1 3 10     A  2 2 1 3  1 6   10   3 42 ... tập S Y có tính chất T Áp dụng tốn cho trường hợp tập  2022  3  2022    2019.2020  2039190 2 n   n      X   1; 2;3; ; 2022? ??  n  3  n   , số tập cần tìm ... với phần tử x S hai phần tử x-1 x+1 thuộc S X   1; 2;3; ; 2022? ?? Cho tập hợp Tính số tất tập có tính chất T (nêu trên) tập X Xét toán : Cho tập Xét tập Y   1; 2;3; ; n  n  ¥ , n   S 