132 đề hsg toán 9 phú xuyên 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ XUYÊN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023   x   x  x  x  1   x  29 x  78 A    x   :  x   x  x  x   x  12 x  36  Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm tất giá trị nguyên x cho A có giá trị nguyên Bài (4,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n B n  3n  không chia hết cho 49 b) Tìm số nguyên dương n để n  số nguyên tố Bài (3,5 điểm) Giải phương trình sau : a ) x  x  x  x  0 b) x  x  20 x  12 x  42 x  x  x  16 x  72    x4 x 6 x2 x 8 Bài (4,5 điểm) Gọi O trung điểm cạnh đáy BC tam giác ABC Mà xOy 60 quay quanh O có cạnh Ox, Oy cắt cạnh BA, CA tam giác M N a) Chứng minh OB BM CN b) Xác định tính chất tia MO NO BMN CMN c) Chu vi AMN không đổi Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Hãy xác định vị trí điểm M cạnh BC cho tổng khoảng cách từ B C đến AM lớn Bài (1,0 điểm) Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác a b c   2 b c c a a b ĐÁP ÁN 3 A   2 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức  x   x  x  x  1   x  29 x  78 :  x   x   x  x  x   x  12 x  36  d) Tìm điều kiện xác định biểu thức A Để biểu thức A xác định :  x  0   x  x  x  0 3 x  12 x  36 0    x  29 x  78 0  x  12 x  36  x  1  x   0  3  x    x   0    x  3  x  26  0  x 1; x    x 2; x  3; x  26 e) Rút gọn biểu thức A 3  x   x  x  x  1   x  29 x  78 A    x   : 2 x  x  x  x      3x  12 x  36  x  x  x  x    x  3  x  26  :    x   x  1  x     x    x    x   x    x  1   x    x    x    x    x          x   x  1  x     x  3  x  26   x    x    x  26  x  18  x   x    x    x  26   x    x   x       x  6  x  3  x  26   x  3  x  26   x  3 x  f) Tìm tất giá trị nguyên x cho A có giá trị nguyên Với x  Z thỏa mãn ĐKXĐ để A nguyên : 3x  62 x    3x    x    x  12 x     x    302 x   30  x    15 x    x   U (15)  1; 3; 5; 15  x    18;  8;  6;  4;  2;0; 2;12;15 Đối chiếu điều kiện ta x    18;  8;  4;  2;0;12 Bài (4,0 điểm) c) Chứng minh với số nguyên n B n  3n  không chia hết cho 49 Ta có Nếu B n2  3n   n    n    14  n  5 7   n   7   n  5  n   49  49 nên B   49 Mà 14  Nếu  n  5    n      n    n    7  B  49 Mà 14  nên B  Vậy B n  3n  không chia hết cho 49 với số nguyên n d) Tìm số nguyên dương n để n  số nguyên tố 2 n   n  4n    4n  n     2n   n   2n   n   2n  Vì 2 n   2n  n   2n, n  N *  n   2n  1, n  N * n   2n 1  n  2n  0   n  1 0  n 1(tmdkxd ) n  Suy để số nguyên tố Khi n  5 số nguyên tố (thỏa mãn) Vậy n  số nguyên tố n 1 Bài (3,5 điểm) Giải phương trình sau : a ) x  x  x  x  0  x  x  x    x  x  x     x  x   0  x  0    x  x    x  x  1 0   x  0   x  x  0(VN ) 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   3; 2  x   x 2  b)  x  x  20 x  12 x  42 x  x  x  16 x  72    x4 x 6 x2 x 8  x  4 x4 4  x  6  6 x6  x  2  2 x2  x  8  8 x 8  x4  x 6 x    x4 x 6 x2 x4 x x       x  x  x 8 x 6 ( x  4)( x  2) ( x  8)( x  6)  x 0(tm)    x  x   x  14 x  48  x 0  x  5(tm)  S  0;  5 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Bài (4,5 điểm) Gọi O trung điểm cạnh đáy BC tam giác ABC Mà xOy 60 quay quanh O có cạnh Ox, Oy cắt cạnh BA, CA tam giác M N A N M I B O Q C d) Chứng minh OB BM CN Ta có BON góc ngồi NOC nên BON ONC  C  BOM  MON ONC  C Mà MON C  60  nên BOM ONC Xét BOM CNO có : B C (60 ), BOM ONC  BOM ∽ CNO  g g   BO BM   BO.CO BM CN CN CO OB BM CN  dfcm  Mà BO CO (do O trung điểm BC) nên e) Xác định tính chất tia MO NO BMN CMN Xét ONM CNO có : BO BM  CN CO MON C  60   ONM ∽ CNO(c.g c )  ONC ONM  NO tia phân giác MNC Chứng minh tương tự ta có MO phân giác góc BMN Vậy NO tia phân giác MNC , MO tia phân giác BMN f) Chu vi AMN không đổi Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB, AC MN I , Q, P Xét IMO vuông I MPO vng P có : Cạnh MO chung, IMO PMO (vì MO phân giác BMN )  NMO MPO(ch  gn)  MN MP Chứng minh tương tự có PN NQ Chu vi AMN AM  MN  AN  AM  MP  PN  AN  AM  MP  MI  NQ  AI  AQ Do O cố định, AB, AC không đổi nên điểm I Q cố định  AI , AQ không đổi Vậy chu vi AMN không đổi (đpcm) Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Hãy xác định vị trí điểm M cạnh BC cho tổng khoảng cách từ B C đến AM lớn A I M C K B Kẻ BI  AM , CK  AM ( I , K  AM )  BI  CK BM  CM BC không đổi  BI BM  I M    BM  AM  M  CK  CM K  M   Dấu xảy hình chiếu A BC Vậy M hình chiếu A BC tổng khoảng cách từ B C đến AM lớn Bài (1,0 điểm) Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác a b c   2 b c c a a b Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta : 0  a  b  c  0  b  a  c  0  c  a  b   A b 2a  a  a  1; 1    b  c b  c a  b  c ca     c 1  b  2b ; c  2c  c  a a  b  c a  b a  b  c  a  b 2(a  b  c) a b c   2 2 a b c Vậy b  c c  a a  b