PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Đề thi mơn: TỐN ĐỀ Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 03 trang) Ghi chú: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn đúng - Thí sinh làm thi trắc nghiệm tự luận tờ giấy thi, không làm tờ đề thi I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) 2 Câu 1: Biểu thức khai triển rút gọn biểu thức P x y x xy yx y A x y B x y C x y 3 là: D x y 2 Câu 2: Cho hai đa thức f x x x 21x x a đa thức g x x x Giá trị a để đa thức f x chia hết cho đa thức g x A a 11 B a 12 C a 30 D a 9 x y x y D Q 5 Câu 3: Biết x y xy; y 0; x y 0 tính giá trị biểu thức Q A Q 2 B Q 3 C Q 4 x x2 x2 Câu 4: Cho P kết phép rút gọn biểu thức P x x x x x 2 x D P A P B P C P x x x 2 2 10 x x Câu 5: Giá trị nhỏ biểu thức R x2 A B C D x 12 x 11 x 74 x 75 Câu 6: Nghiệm phương trình 77 78 15 14 A x B x 88 C x 88 D x 89 Câu 7: Cho phương trình m x 1 5 m 1 x phương trình vơ nghiệm 1 A m B m C m D m 2 Câu 8: Cho hai bất phương trình x 0 1 mx m Giá trị m để 1 có nghiệm chung 1 D m 7 Câu 9: Hình thoi có độ dài hai đường chéo 12 cm ;16 cm độ dài cạnh hình thoi A 10 cm B 12 cm C 13 cm D 14 cm Câu 10: Cho hình thang ABCD AB / / CD biết AB 28 cm ; CD 70 cm Đường thẳng song song với đáy qua giao điểm hai đường chéo cắt cạnh bên M N Khi MN ? A 20 cm B 10 cm C 40 cm D 50 cm Câu 11: Cho ABC cân A có AB 4 cm Từ điểm D cạnh BC vẽ DE song song với AB E AC DF song song với AC F AB Chu vi tứ giác AEDF A cm B cm C cm D cm A m B m C m Trang Câu 12: Cho ABC có diện tích S 12 cm Trên cạnh: AB, BC , CA lấy ba điểm M , N , P cho AM 2 BM ; BN 2 NC , CP 2 PA Diện tích MNP 2 A cm B cm C cm D cm Câu 13: Cho ABC đường thẳng d cắt cạnh BC P cắt cạnh AC Q tia đối tia AB R Hệ thức CP RB RA D PC RA.RB PB QC QA Câu 14: Cho hình thang ABCD AB / / CD có AB 2 cm ; CD 12 cm Gọi trung điểm đường chéo AC , BD theo thứ tự M ; N Độ dài đoạn thẳng MN ? A MN 7 cm B MN 6 cm C MN 5 cm D MN 4 cm A PC RB QC 1 PB RA QA B RQ AQ.QC C Câu 15: Cho ABC vuông A đường cao AH Biết BH 4 cm ; HC 9 cm Diện tích tam giác ABC A 36 cm B 37 cm C 38 cm D 39 cm Câu 16: Một hộp không nắp làm từ mảnh bìa tơng theo hình vẽ bên Hộp có đáy hình vng cạnh x cm , chiều cao h cm không đổi thể tích 500 cm3 Độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa tơng A 10 cm B cm C cm D cm II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3 điểm): a Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x x xy y y 5 b Phân tích số 20212022 thành tổng k số tự nhiên a1; a2 ; ; ak 5 Đặt S a1 a ak Tìm chữ số tận S Câu (4,0 điểm): a Giải phương trình: x x x x 3 2 x b Cho đa thức P ( x ) x ax bx cx d Biết P (1) 3, P(2) 6, P(3) 11 Tính giá trị Q 4 P (4) P ( 1) Câu (4,0 điểm): Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a Chứng minh rằng: OEM tam giác vuông cân b Chứng minh: EM / / BN c Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh điểm M thay đổi cạnh BC ( M khác B, C ) đường thẳng MH qua điểm cố định Câu (1 điểm): Cho số thực dương x; y thỏa mãn x 2 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Hết -Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………………………… Trang x2 y xy ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Câu Câu B C B Câu Câu 10 Câu 11 A C D Hướng dẫn giải chi tiết: Câu 1: Câu B Câu 12 A Câu A Câu 13 C Câu D Câu 14 C Câu B Câu 15 D Câu D Câu 16 A P x y x xy yx y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y Câu 2: Phân tích đa thức g x x x x x 1 Sử dụng định lý bơ du ta tìm dư đa thức f x cho g x f 1 30 a r 1 để phép chia chia hết dư Hay 30 a 0 a 30 Tương tự cho f ta có kết Cách 2: Dùng phép chia đa thức Câu 5: Cách 1: (Lớp 8): Biến đổi P có dạng: P k A A 0 Từ P k B B 10 x x 3x 1 1 P 1 x 1 P x2 x2 1 Cách 2: (Lớp 9) Dùng phương pháp miền giá trị ta xác định Pmin a 0 Câu 7: Đưa phương trình dạng ax b phương trình vơ nghiệm b 0 Phương trình vơ số nghiệm khí a b 0 Áp dụng: m x 1 5 m 1 x 2m 1 x 5 m phương trình vơ nghiệm a 0 b 0 2m 0 5 m 0 m m m Câu 8: 1 x 8 Xét TH1: m 0 : vô nghiệm (loại) TH2: m x m 1 (1) (2) có vơ số nghiệm (loại) m Trang TH3: m x m 1 để (1) (2) có nghiệm m m 1 8 m m Chọn D Câu 9: Áp dụng định lý pitago (bộ ba pita go) (6;8;10) Câu 10: Dễ dàng chứng minh OM ON Chứng minh hệ thức sau: B A N M O C D 1 1 2 MN 40 AB CD MN 28 70 MN 20 MN Câu 11: A E PAEDF AE DE DF FA 2 FA FD (do tgAEDF F hình bình hành) BFD cân F FD FB B PAEDF 2 AF FB 2 AB 8 C D A Câu 12: S AMP AM AP AM AP 2 tương tự S AB AC AB AC 3 P M S BMN SCNP 2 S AMP S BMN SCNP S S S 9 S 12 S MNP S 3.S AMP S S 4 cm 3 Câu 13: Áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC với cát tuyến RQP có N B C R A Q B P C PC RB QA PC RB QA RA 1 1: PB RA QC PB QC RA QA CD AB Câu 15: Hệ thức quen thuộc h b '.c ' (lớp tam giác đồng dạng) Câu 16: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình hộp nhữ nhật ý rút h theo x từ công thức thể tích sau áp dụng cơng thức tính diện tích dùng bất đẳng thức Câu 14: MN Trang II TỰ LUẬN (12 điểm) CÂU ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC a.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: ĐIỂM x x xy y y 5 Câu b Phân tích số 20212022 thành tổng k số tự nhiên a1; a2 ; ; ak 5 Đặt S a1 a ak Tìm chữ số tận S x x xy y y 5 x y x y 1 5 x y 1 x y 5 x 2 x y 5 a y 1 x y 1 x 2 ( 1,5 x 10 điểm) y 1 x y loai x y loai y x y x y 1 loai Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x; y 2;1 điểm 0,5 0,75 0,25 Với n ta có n n 10 Thật n n n 1 n n 1 n 1 2 n b ( 1,5 điểm) n n n 1 n n 1 n n 5n n 1 5 n n5 n 10 n a 5 i 10 i 1;2; , k 0,75 a15 a ak5 a1 a2 ak 10 0,5 S 20212022 10 Vậy S có chữ số tận 0,25 2 a Giải phương trình: x 3x 3 x x 3 2 x Câu b Cho đa thức P ( x) x ax bx cx d Biết P (1) 3, P(2) 6, P (3) 11 Tính giá trị Q 4 P (4) P ( 1) a * Ta có x 0 khơng nghiệm phương trình (2,0 * Với x 0 chia hai vế phương trình cho x ta điểm) 3 x x 2 x x Trang 4,0 điểm 0,25 0,75 Đặt y x y y 0 x y y 1 y 0 y 2 x 1 x x x 0 E A x 1 B x 1 x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm phương trình S 1;3 0,75 0,25 O M H' b ( 2,0 điểm) (2) 0; HR (3) 0 Đặt R ( x) P ( x) x R (1) 0; R 0,75 D Do đó: N C R( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) P( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) x 0,75 Vậy Q 4[3.2 1(4 m) 18] ( 2)( 3)( 4)( m) 195 Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a Chứng minh rằng: OEM tam giác vuông cân Câu b Chứng minh: EM / / BN c Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh điểm M thay thay đổi cạnh BC ( M khác B, C ) đường thẳng MH ln qua điểm cố định 0,5 4,0 điểm 0,25 a (1,5 Xét ∆OEB ∆OMC ta có: điểm) OB = OC (t/c đường chéo hình vng) C 450 (t/c đường chéo hình vng) B 1 BE = CM ( gt ) Suy ra: ∆OEB = ∆OMC (c.g.c) OE = OM (1) O , Lại có O O BOC O 900 (t/c đchéo hình vng) 3 O EOM Suy ra: O (2) 900 b 0,5 0,5 Từ (1) (2) ∆OEM vuông cân O 0,25 Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng AB = CD AB // CD 0,5 Trang (1,5 điểm) AB // CN AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà MC = EB (gt) AB = BC BM = AE thay vào (*) AM AE Ta được: MN EB EM // BN ( theo ĐL đảo ĐL Ta-lét) 0,75 0,25 Gọi H’ giao điểm OM BN ta chứng minh CH’ BN ' B ( cặp góc đồng vị) Thật vậy: Từ EM // BN OME OH ' B 450 C Mà OME 450 ∆OEM vng cân O MH 0,25 c (1,0 điểm) ∆OMC ∽ ∆BMH’ (g.g) OM MC , kết hợp OMB CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH ' ' C 450 ∆OMB ∽ ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C BH ' M MH ' C 900 CH ' BN Vậy BH Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng hay đường thẳng MH qua điểm O cố định Cho số thực dương x; y thỏa mãn x 2 y Tìm giá trị nhỏ x2 y Câu P biểu thức: xy 0,25 0,25 0,25 điểm x y 1 2 x y Ta có P x xy y (1,0 điểm) 0,25 x x t 1 x y t với P 1 y y t t 0,25 3t t 3.2 t (do t 2; AM GM ) 4 t 4 t x Dấu “=” xảy t 2 2 x 2 y y MinP x 2 y Điểm toàn 0,25 Đặt t P Trang 0,25 12 điểm