UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Cho x, y thỏa mãn đẳng thức A B x y x y 1 0 C Khi x y D x x 2021 x x x x 3x 12 Câu Giá trị x để phân thức không xác định 9 5 A B C D Câu Cho a b hai số tự nhiên thỏa mãn a chia dư 3, b chia dư Khi số dư phép chia tích ab cho A B C D 3 x x 5 Câu Phân tích đa thức thành nhân tử ta kết A x 28 x x 31 C x 76 x 54 x 21 y Câu Tính x y y z A z B x 28 x x 31 D x 76 x 54 x 21 x y z z x z x x y kết x y y z z x B D C Câu Số nghiệm phương trình A B xyz x y y z z x x2 2x 3x x x C D x m x 2 Câu Phương trình x x vơ nghiệm A m C m m 1 B m D m m 2 Câu 8: Cho x 2y 5 Khi giá trị biểu thức P 3x y y x 2x y A P 2 B P 4 C P 5 D P 9 Câu 9: Tổng số tự nhiên n thỏa mãn A 512578 B 1013 n 1 n n 2021 C 513591 D x2 M x x Câu 10: Giá trị lớn biểu thức 3 A B C D Câu 11: Bạn Dũng có máy tính bảng phục vụ học tập, kể từ lúc sạc đầy bạn khơng sử dụng hết pin vòng 24 Nếu bạn sử dụng liên tục hết pin vịng Dũng sạc đầy máy tính bảng trước sau sử dụng 60 phút Hỏi sau máy tính bảng hết pin (biết Dũng khơng sử dụng thời gian này)? A B C 11 D 15 Câu 12: Tứ giác ABCD có số đo góc A, B, C, D tỉ lệ nghịch với 3, 4, 6, 12 Số đo góc C A 72 B 75 C 78 D 81 Câu 13: Cho tứ giác MNPQ, gọi A, B, C, D trung điểm MN, NP, PQ, QM Điều kiện để tứ giác ABCD trở thành hình vng A Tứ giác MNPQ hình thoi B MN PQ MN PQ C MQ NP MQ NP D MP QN MP QN Câu 14: Cho hình thoi ABCD có diện tích 120cm đường chéo dài 20cm Độ dài cạnh hình thoi ABCD A 34cm B 34 2cm C 17cm D 17 2cm Câu 15: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH 4,5cm CH 8cm Độ dài đường cao AH A 15cm B 12cm C 7,5cm D 6cm Câu 16: Tam giác ABC có đường trung tuyến AD Lấy điểm O nằm A D Qua O kẻ đường thẳng d cắt cạnh AB, AC E F Vị trí điểm O BE CF 1 cho AE AF A O trung điểm AD C O chia đoạn AD theo tỉ số II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) B O trọng tâm tam giác ABC D O chia đoạn AD theo tỉ số Câu (3,0 điểm) 4 1) Cho biểu thức A x 4; B x x Tìm số tự nhiên x để A B số nguyên tố 2) Chứng minh rằng: Nếu m n hai số phương lẻ liên tiếp P mn m n chia hết cho 192 Câu (3,0 điểm) 1 1 1) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x y z x y z Tính giá trị 1 1 P n 2021, n n n n n x y z x y z biểu thức với n số tự nhiên lẻ 5 x 5 x x x 6 x x 2) Giải phương trình: Câu (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vng A có AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC DB DC ; a) Tính tỉ số DE DB b) Tính tổng AEB ACB 2) Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF ( BC a, AC b, AB c, AD x, BE y, CF z , x, y, z số nguyên) Biết khoảng cách từ giao điểm I ba đường phân giác tam giác ABC đến cạnh tam giác Tính giá trị tổng x y z Câu (2,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn điều kiện x y 6 Tìm giá M 3 x y x y trị nhỏ biểu thức - HẾT Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B A D A C B C A C D B A D A D B Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (3,0 điểm) 4 1) Cho biểu thức A x 4; B x x Tìm số tự nhiên x để A B số nguyên tố 2) Chứng minh rằng: Nếu m n hai số phương lẻ liên tiếp P mn m n chia hết cho 192 Ta có: 0,50 A x x x x 2 x x x x x x +) Nếu x = A = 4, khơng số ngun tố +) Nếu x = A = 5, B = số nguyên tố A x x x x x +) Nếu tích hai số tự nhiên lớn nên A hợp số Vậy x = thỏa mãn đề Vì m, n số phương lẻ liên tiếp nên có dạng m 2k 1 ; n 2k 1 0,50 0,50 0,25 P mn m n m 1 n 1 2 2k 1 1 2k 1 1 4k 4k 4k 4k 16k k 1 k 1 1 Ta có k 1 k k 1 3; k 1 k k k 1 4 Từ (1) suy P16 Từ suy P192 0,50 0,50 0,25 1 1 Câu (3,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x y z x y z Tính giá 1 1 P n 2021, n n n n n x y z x y z trị biểu thức với n số tự nhiên lẻ 5 x 5 x x x 6 x x 1) Giải phương trình: 1 1 xy yz zx x y z x yz xyz x yz x y z xy yz zx xyz 0,50 x y y z z x 0 Vai trò x, y, z nên ta xét x y 0 y x n n y x Do n số tự nhiên lẻ nên , suy ra: 1 1 xn y n z n z n xn y n z n 0,50 1 1 2021 2021 xn y n z n xn y n z n ĐK: x Đặt 5 x t x x 1 x x x 1 x 5 x t 5 x x x 1 x 1 x 1 P t 2 t 5t 0 t 3 Phương trình cho trở thành: 0,50 0,25 0,50 0,25 0,50 S 1; 2 Thay trở lại cách đặt tìm tập nghiệm Câu (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vng A có AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC DB DC ; a) Tính tỉ số DE DB b) Tính tổng AEB ACB 2) Cho tam giác ABC có đường cao AD, BE, CF ( BC a, AC b, AB c, AD x, BE y, CF z , x, y, z số nguyên) Biết khoảng cách từ giao điểm I ba đường phân giác tam giác ABC đến cạnh tam giác Tính giá trị tổng x y z B a a A a D a E 2 2 2 a) Ta có: DB AB AD a a 2a DB a Do đó, DB a 2; DE a DC 2a DB a b) Xét hai tam giác BDE CDB có: DB DC DB DE (cmt ) DE DB DC DB chung góc đỉnh D C 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 Suy ra, hai tam giác BDE CDB đồng dạng BED CBD Áp dụng tính chất góc ngồi vào tam giác BDC, ta có: AEB ACB CBD ACB ADB 45 (do tam giác ABD vuông cân A) ax by cz 2S ABC (1) Ta có 1 S ABC S IBC S AIC S ABI a b c a b c 2S ABC (2) 2 a b c ax a b c x a Từ (1) (2) a b c a a 2 a a Mà a b c a b c y 2; z b c Tương tự 1 a b c 1 x y z a b c a b c a b c Mặt khác: 0,75 0,25 b c a x 0,25 0,25 1 1 1 1 x y z 3 0,25 Do Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy x + y + z = Câu (2,0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn điều kiện x y 6 Tìm giá trị x, y, z Z x 3; y 3; z 3 M 3 x y x y nhỏ biểu thức 8 12 16 M 2 x y 3 x y 3x y x y x y Ta có 0,5 Từ giả thiết theo BĐT Cô – si, ta có: 12 12 16 16 2 3x 12; y 2 y 8 x x y y Do đó, 2M 18 12 38 M 19 x y 3.6 18; 3x 0,5 0,5 0,5 Vậy minM = 19 Dấu “=” xảy x = 2; y = Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số