PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút - Khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 1: Trung bình cộng giá trị x thỏa mãn phương trình sau: 1 x 4x x 8x 15 x 12x 35 là: A –4 B –8 C D 2 Câu 2: Cho 4x 9y 4(x 3y) 0 Khi giá trị x – 3y A B C D x 2017 x x 1 x 3 2018 2017 2016 Câu 3: Giá trị x để biểu thức không xác định là: A 2017 B 2018 C D – 2018 2x a a 2x 6a a a nghiệm với giá trị x Câu 4: Phương trình a a bằng: A a 0 B –2 C D 11 10 Câu 5: Giá trị biểu thức P x 8x 8x 8x 8x 8x x = là: A 15 B C 64 D Kết khác 1 x 1 x x x a 3 9 Câu 6: Nếu giá trị nghịch đảo a bằng: 13 A 27 B 27 M x 1 x x 4x Câu 7: Cho là: A 2043 12 C –27 D 27 Giá trị nhỏ biểu thức M+2018 B 25 C 1993 D –25 2x 3 8x 18 2x 3 2 2x 3 8x 18 2x 3 Câu 8: Kết rút gọn phân thức là: A 9x Câu 9: Cho A x x = 2018 là: A -1 C 2018 4x C 9 B 4x 2018 9x D 2019 x 2017 2019 x 2016 2019 x 2019 Giá trị biểu thức A Câu 10: Giá trị m để đa thức cho đa thức x – : B D 2019 5x 2m 1 x 7(4 m)x 3m A 11,5 B 23 Câu 11: Cho hình thang vng ABCD, C 23 chia hết D Kết khác A B 900 ; AB AD BC; CD AD Nếu BC = 8cm chu vi hình thang ABCD là: A 16(cm) B 16 cm C 20 cm D cm Câu 12: Cho tam giác ABC cân A có AB = a, BC = b (a > b), vẽ phân giác BN CM Biểu thức sau không biểu thị độ dài đoạn thẳng MN theo a b ? ab a b ab a b A a b B ab C a b D ab Câu 13: Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M cho 4MA = 3MB Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC N Biết diện tích tam giác ABC 171,5cm2 Khi diện tích tam giác AMN là: A 31,5cm2 B 56,5cm2 C 73,5cm2 D 98cm2 Câu 14: Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với cạnh lại, chúng cắt AB, AC thứ tự E K Biết diện tích tam giác EBD, KDC thứ tự 9cm 2, 16cm2 Gọi S diện tích tam giác ABC Những khẳng định sau đúng: BD DC S S A BC B BC C S = 50cm2 D S = 45cm2 Câu 15: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD Biết AB = 21cm, AC = 28cm Khi độ dài đoạn thẳng BD là: A 16,25cm B 20cm C 15cm D 26,25cm Câu 16: Khối trường có lớp 8A, 8B, 8C, 8D Trung bình cộng số học sinh lớp 39,5 Nếu chuyển em từ lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp Số học sinh lớp 8C trung bình cộng số học sinh hai lớp 8A 8B Số học sinh lớp 8D trung bình cộng số học sinh hai lớp 8B 8C Khẳng định sau sai? A Số học sinh lớp 8A 44 B Số học sinh lớp 8B 45 C Số học sinh lớp 8C 40 D Số học sinh lớp 8D 38 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (4,0 điểm) 1) Cho x, y số thực thỏa mãn y < < x x + y = y x y2 2x y x2 P : xy x y x y y x Chứng minh P < –4 với 2) Tìm số nguyên n cho biểu thức M n 8n 23n 30n 18 có giá trị số phương Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 3 x 5 x 4 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’ ;BB’; CC’, có trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng : AA' BB ' CC ' ? b) Gọi AI phân giác tam giác ABC IM; IN thứ tự phân giác góc AIC; AIB (M AC;N AB) Chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM ( AB BC CA) ' 2 c) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện biểu thức : A A B ' B C ' C đạt giá trị nhỏ nhất? Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a+b+c =3 2 Chứng minh rằng: a b c 5 - HẾT Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B D C A B C C A A B A, B, D A A, B C B Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (4,0 điểm) 1) Cho x, y số thực thỏa mãn y < < x x + y = P y x y2 2x y x2 : xy x y x y y x Chứng minh P < –4 với 2) Tìm số nguyên n cho biểu thức M n 8n 23n 30n 18 có giá trị số phương y x y2 2x y x2 a) P : xy x y x y y x y x y2 2x y x2 : xy x y x y x y x y x y y x y2 2x y x2 : xy x y x y x y (do x y 1) 0,75 y x y 2x y x x y : xy x y 2 y x y x x y x y : xy xy x y x y P M n 8n 23n 30n 18 n 3 0,75 4xy 4xy (do y x) xy xy xy Ta có 0,5 n 2n +) Nếu n + = hay n = A = số phương +) Nếu n 0 , để M số phương thì: n 2n a a Z 0,5 0,5 0,25 0,25 n 1 a n a n a 0,25 n Vậy n = -3 n = - M số phương 0,25 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 3 x 5 x 4 Điều kiện x 4; x 5 2 0,25 0 3 x 5 x 4 x 5 x 4 x x 4 t Đặt 1 1 x x x x x 9x 20 t 1 t 2t 0 t 0,5 0,5 , ta được: 9 1 x1,2 2 +) Với t = 1, ta có: x 9x 20 3x 27x 61 0 +) Với t = –3, ta có : x 9x 20 (vô 0,25 0,25 nghiệm) 9 S ; 2 Vậy phương trình có tập nghiệm Câu (4,0 điểm) 0,25 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA’ ;BB’; CC’, có trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng : AA' BB ' CC ' ? b) Gọi AI phân giác tam giác ABC IM; IN thứ tự phân giác góc AIC; AIB (M AC;N AB) Chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM ( AB BC CA) ' 2 c) Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện biểu thức : A A B ' B C ' C đạt giá trị nhỏ nhất? A C’ H N M I B x B’ A’ C D ( BA' A' C ) AH S S AHC AH AHB A' A S ABC AH BC a) Ta có : (1) BH S AHB S BHC BB ' S ABC Tương Tự: (2) S S AHC CH CHB CC S ABC (3) 2( S AHB S BHC S CHA ) AH ' BH CH 2 S A A' BB ' CC ' ABC Từ (1); (2); (3) ta có: = b) áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giácABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI suy 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 BI AN CM AB AI IC AB IC AB AC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI AC AB BI AN CM BN IC AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB=BC Tức tam giác ABCđều 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn 2 a+b+c =3 Chứng minh rằng: a b c 5 Từ giả thiết ta có: a b c 0 ab bc ca a b c abc 0 2 Cộng hai vế với a b c , sau thu gọn ta a b c a b c abc a b c abc 5 0,5 2 0,25 Mà abc 0 nên a b c 5 Dấu xảy ba số a,b,c có số 0, số 0,25 số Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lô gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số