PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm (Mỡi câu đúng được 0,5 điểm) Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi Câu 1: Cho x 1 Giá trị biểu thức P x 12x 2017 là: A P = 0; C P = – 2009; B P = 8; D P = 2017 x 1 xy x 1 : Câu 2: Cho biểu thức P xy 1 xy biểu thức P có nghĩa, kết rút gọn biểu thức P là: A P = 0; C P xy x xy xy x 1 Giả sử xy xy B P xy ; ; xy D Kết khác Câu 3: Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung điểm có tung độ – song song với đường thẳng OA, O gốc tọa độ A 3;1 Khi đó: ; b ; A a 3; b ; B a C a 2; b ; D a 2; b Câu 4: Phương trình đường thẳng qua điểm M(6;2) vng góc với đường thẳng y=- x + là: A y = -3x +20 C y = B y = 3x -16 x D y = x+1 2mx 3y 5 có nghiệm (m 1)x y 2 Câu 5: Điều kiện tham số m để hệ phương trình (x; y) thỏa mãn x > y > là: A m ; B m ; C m ; D m m Câu 6: Hàm số y 2017 2018 x đạt giá trị lớn bằng: A 2018; B 2017 2018 ; C 1; D Câu 7: Giá trị m để phương trình x 2mx m3 4m 2m 0 có nghiệm kép là: A m = 1; B m = 3; C m ; D m = –3 Câu 8: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác phương trình b x (b c a )x c 0 có số nghiệm là: nghiệm; B nghiệm; C vô nghiệm; D vô số nghiệm Câu Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD D BC , có AB = 10cm, AC = 15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Độ dài đoạn thẳng CE là: A 10cm; B 12cm; C 15cm; D 9cm Câu 10 Tam gi¸c ABC cã B = C ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? A cm B 20cm C 36cm D 6cm Câu 11 Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12 cm Tam giác cân có diện tích A 60 cm2 B.120 cm2 D.57cm2 C 75cm2 Câu 12 Cho tam giác ABC có ( A 900 ), AH vng góc với cạnh huyền BC(H BC) có sinB = 0,6 Kết sau sai A cosC = AH AC C cosC = 0,6 B cosC = sin HAC D cosC = CH AC Câu 13: Cho tam giác ABC cân A, có BAC 450 AB = 2018cm Khi độ dài đoạn thẳng BC là: A 2018 (cm); B 4036 (cm); C 2018 (cm); D 2018 (cm) 900 Nhận xét sau đúng: Câu 14: Tứ giác ABCD có A C 900 ; B 900 ; D A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD không qua điểm C B Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm D C Bốn điểm A; B; C; D thuộc đường trịn có tâm trung điểm BD D Bốn điểm A; B; C; D thuộc đường trịn có tâm trung điểm AC Câu 15: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến xy Gọi D C lần lượt hình chiếu A, B xy Diện tích lớn tứ giác ABCD là: A 50cm2; B 100cm2; C 25cm2; D Kết khác Câu 16: Có 108 người đăng kí tham gia học tiếng Anh, Pháp, Nhật, biết số người học tiếng Nhật số người học tiếng Pháp; số người học tiếng Pháp số người học tiếng Anh Số người học tiếng Anh là: A 54 B 72 C 36 D Đáp án khác II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm Câu 1: (2,0 điểm) a Cho n số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh rằng: 32 n 3n chia hết cho 13 b Cho a nghiệm dương phương trình x 7x 0 Tính giá trị biểu thức P a ? a3 Câu 2(3,0 điểm) Giải phương trình: x x 18 40 a) 0 x2 x x 50 b) x 11x 10 10 x x 10 15 x Cõu 3(5,0 iờm) Cho tam giác ABC vuông A Phân giác góc kẻ từ A cắt BC D Chøng minh r»ng: 1 AD AB AC Cho đường tròn (O; R) Gọi B C hai điểm cố định đường tròn cho BOC 1200 , điểm M di động cung nhỏ BC đường tròn (M khơng trùng B C) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC cho tổng 1 đạt giá trị nhỏ MB MC Tìm giá trị nhỏ đó? Câu 4(2,0 điểm) Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a4 b4 c4 + + P= b (c+2a) c3 (a+2b) a (b+2c) Hết Ghi chú:Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh:………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 8,0 điểm ( Mỗi câu đúng được 0,5 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án C D A 10 D B 11 C B 12 A C 13 A D 14 B,C B 15 A C 16 B II PHẦN TỰ LUẬN: 12,0 điểm Câu 1: ( 2,0 điểm ) a Cho n số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh rằng: 32 n 3n chia hết cho 13 b Cho a nghiệm dương phương trình x 7x 0 Tính giá trị biểu thức P a a3 ĐÁP ÁN 2n n a Đặt P = t P = Theo GT vì n không chia hết cho n 3k hoặt P = c n 3k Với n 3k thì P = 32(3k 1) 33k 1 = (3(3k 1) ) 33k 1 9.27 k 3.27 k Vì 27 chia 13 dư 27 k & 27 k chia 13 dư 9.27 k & 3.27 k chia 13 có dư lần lượt là & 2k ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 k P = 9.27 + 27 + chia hết cho 13 Với n 3k hoàn toàn tương tự ta có P chia hết cho 13 V y: với n là số tự nhiên không chia hết cho Ta có P = 32 n 3n chia hết cho 13 0,25 0,25 b Vì a là nghiệm dương PT x 7x 0 nên 1 7 a 9 a 3 a a a 1 P a = a 3 a 18 a a a a 7a 0 a 0,5 0,25 Câu 2(3,0 điểm) Giải phương trình x 3x 18 40 a 0 b x 11x 10 10 x x 10 15 x 2 x x x 50 a Điều kiện n x 0; x 5; x ĐÁP ÁN -10 ta có ĐIỂM 0,25 x 3x 18 40 0 ( x 3x 18)( x x 50) 40 x 2 0,25 x x x 50 ( x 3)( x 6)( x 5)( x 10) 40 x ( x x 30)( x x 30) 40 x 0,25 30 y ta có phương x = không là nghiệm chia vế cho x đặt x x y 0,25 trình y 4)( y 40 y 6 Với y = -8 ta có 30 11 241 11 241 x 11x 30 0 x1 ; x2 x 2 Với y = ta có: x 30 129 129 6 x 3x 30 0 x1 ; x2 x 2 Phương trình đã cho có nghiện m x x1 11 241 15 ; x2 11 241 129 129 ; x3 ; x4 2 b ĐK: x Đặt a x x 9; b 15 x ( a 0; b 0) a b x 11x 10 Phương trình trở thành a b 10a 10b (a b)(a b 10) 0 a b 0 a b ( Vì a+b+10 > a,b > ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 15 x 0,25 x1 1; x2 10 0,25 Câu (5,0 điểm) 1.Cho tam giác ABC vuông A.Phân giác góc kẻ từ A cắt BC D Chứng minh rằng: 1 AD AB AC Cho đường tròn (O; R) Gọi B C hai điểm cố định đường tròn cho BOC 1200 , điểm M di động cung nhỏ BC đường trịn (M khơng trùng B C) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC cho tổng 1 đạt giá trị nhỏ MB MC Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN ĐIỂM A B D C Ta có 2.SABC = AB.AC = 2(SABD+SACD) 0,25 0,25 AD.AC.Sin450) AB.AC = AD.Sin450(AB+AC) = AD(AB+AC) = 2( AB.AD.Sin450 + 0,25 AB AC 1 AD AB AC AD AB AC 0,25 A O I B C M AC AB AC (1) Gọi A là điểm cung lớn BC AB 1 BOC 1200 600 (2) Ta có : BAC 0,5 Từ (1) và (2) suy tam giác ABC đều Lấy I đoạn AM cho MB = MI (3) 0,5 Ta có BMI BAC 600 Suy tam giác BMI đều MBC Từ đó dễ có IBA ( cộng với góc IBC 600) Vậy IBA MBC (g.c.g) IA MC (4) Từ (3) và (4) suy BM + MC = MI + IA = MA 0,25 0,5 Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có : 0,25 1 MB MC (Do MB.MC ) MB MC MB.MC MB MC 1 4 (Do MA 2R) MB MC MA 2R R 0,5 1 0,5 Vậy MB MC R Dấu xảy MB = MC hay M là điểm cung nhỏ 0,5 BC 0,5 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a4 b4 c4 + + P= b (c+2a) c3 (a+2b) a (b+2c) ĐÁP ÁN Áp dụng BĐT CôSi cho số dương ta có a4 c 2a a4 c 2a a a4 c a 3 (1) b (c 2a ) 9a b (c 2a) 9a b b (c a ) 9a b ĐIỂM 0,5 Tương tự b4 a b c4 b c (2); (3) 3 c (a 2b) 9b c a (b 2c ) 9c a 0,5 Từ (1) ; (2); (3) ta có: P a b c a b c 8a 8b 8c 8a 8b 8c P 3 1 9b 9c 9a b c a 9c 9c 9a 9c 9c 9a 0,5 Dấu “=” xảy a4 c 2a b (c 2a ) a b4 a 2b 9b a b c c (a 2b) c4 b 2c a (b 2c) 9c a b c 0,5