PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Lưu ý: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi; không làm đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) P Câu 1: Giá trị biểu thức A 2022 1 1 1 2 2022 2023 B 2023 C 2022 D Câu 2: Có tất giá trị nguyên a để A B a 3 a 3a a ? D 35 A a a 1 b b 1 11ab 2023 C 36 Câu 3: Cho a b 29 12 Giá trị biểu thức A 2023 B 2059 C 2035 m x m 0 Câu 4: Phương trình vơ nghiệm A m B m 0 C m 2 Câu 5: Cho hai đường thẳng d1 d A m 0 2023 D 2027 D m 2; m d1 : y 2 x 3, (d ) : y (m 2) x 13 m2 Giá trị tham số B m 4 C m m D A 1; 1 ; B 2;5 m để Câu 6: Đồ thị hàm số y ax b đường thẳng qua hai điểm Khi tích ab A B C D Câu 7: Cho hàm số f ( x) ax b đồng biến đồ thị tạo với hai trục tọa độ tam giác cân có chu vi Đặt S a b Khẳng định đúng? A S 9 B S C S D S AK Câu 8: Cho tam giác cân ABC A với AB AC 8, BC 10, đường cao BK Tỷ số AC 12 21 A 32 B 33 C 64 D Câu 9: Cho tam giác ABC với trọng tâm G I trung điểm AG Gọi K điểm nằm cạnh AC cho ba điểm B , I , K thẳng hàng Biết tam giác ABC có diện tích 30 Diện tích tam giác AIK A B C D Câu 10: Cho hình thoi ABCD có AB a, ABC 60 Điểm G trọng tâm tam giác ADC Độ dài Trang 1/3 đoạn BG A a a B a C 2a D Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết diện tích tam giác ABH ACH 54cm 96cm Độ dài cạnh BC A 24cm B 25cm C 20cm D 36cm Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC 4 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD Qua M hạ MP AC , MP cắt BC Q cho B nằm C , Q Độ dài cạnh PQ a b a a , b với b phân số tối giản Giá trị a 2b A 43 B 83 C 103 D 63 Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác cạnh a Tổng diện tích mặt bên 6a Thể tích khối lăng trụ cho a3 A 3a 3 B a3 C a3 D O Câu 14: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Các tiếp tuyến B, C cắt P Gọi D, E tương ứng chân đường vng góc hạ từ P xuống đường thẳng AB, AC Diện tích tam giác ADE 27 3R A Câu 15: Cho đường tròn 27 3R 16 B O;5 điểm 3R C 16 3R D P thay đổi nằm bên đường trịn 2 2 Qua P ta kẻ hai dây cung AB CD vng góc với Tổng PA PB PC PD có giá trị A 200 B 75 C 25 D 100 Câu 16: Một đu quay có bán kính 75 m , tâm vòng quay độ cao 90 m , thời gian thực vòng quay đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay, sau 20 phút quay, người độ cao mét? Trang 2/3 A 127,5 m B 165 m C 127 m D 165,5 m B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho n 8n 23n 26n 10 số phương x 2 b) Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn x 9 y y 16 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x3 3x x 16 x 2 3 3 b) Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện: a b c 3abc a b c 1 Tính giá trị biểu thức P 5a 6b 2023c c) Cho P x P 1 P 2023 đa thức bậc n với hệ số nguyên, n 2 Biết Chứng minh phương trình P x 0 khơng có nghiệm ngun O , gọi H trung điểm cạnh Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn BC , M điểm thuộc đoạn BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN BM Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh bốn điểm O, M , H , I thuộc đường tròn b) Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác MNP c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c 4a 3c 12 b c 2a 3b 2a 3c HẾT -T Họ tên thí sinh:…………………………………………….……Số báo danh:………… …………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án Câu D 11 C 12 B 13 A 14 D 15 C 16 B A C 10 D Đáp án B A C B D A II PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm (HDC) dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic; - Thí sinh làm theo cách khác với HDC mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm HDC; - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn số Hướng dẫn chấm tự luận Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho n 8n 23n 26n 10 số phương x 2 b) Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn x 9 y y 16 Ý Đáp án Điểm Ta có 2 2 n 8n 23n 26n 10 n 1 8n n 1 n 1 n 1 n 1 a) (1,0 điểm) n 8n 23n 26n 10 Do n 3 n 1 số phương 0 0,25 số phương n 1 Trường hợp 1: 0 n 1 0,25 n 3 Trường hợp 2: số phương Khi n 3 2 k k n 3 1 k n 3 k n 1 0,25 Trang 4/3 Vì n, k nên k n 1 k n 1 k n 3 k n 3 1 k n k n k n 1 k 1 +) k n 1 n 3 k n k k n n 3 +) Vậy n 1 n 3 0,25 ; Ta có x 2 x.x 9 y y 16 x y 1 15 2 x.x 1 mod 3 nên x 1 mod x 0 mod 3 Mà x số phương nên x.x 1 mod 3 x 1 mod Do , suy x chẵn x 2k 2 k k 22 k 2k y 1 15 k y 1 k y 1 15 y 1 Nhận thấy b) (2,0 điểm) 15 1 mod 3 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta 0,25 k k Do y; k nên k y k y k y 1 k y 1 15 Từ ta k k Trường hợp 1: k 2k 2k 8 2 k y 1 k 3 y 7 ( Khơng có k thỏa mãn) 2 k y 15 0,25 Trường hợp 2: 2k k y 3 k k y 5 Vậy x 2; y 0 2k 2k 4 3 y 1 k 1 y 0 0,5 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x3 3x x 16 x 2 3 3 b) Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện: a b c 3abc a b c 1 Tính giá trị biểu thức P 5a 6b 2023c c) Cho P x P 1 P 2023 đa thức bậc n với hệ số nguyên, n 2 Biết Chứng minh phương trình P x 0 khơng có nghiệm ngun Ý Đáp án 2 x 3x x 16 0 x 0 Điều kiện: a) (1,5 điểm) * 2 x 3x x 16 3 Điểm x x 4 x 4 x 0 0,25 0,5 Trang 5/3 x 3x x 11 x 3x x 16 3 x 1 x 5x 11 x 3x x 16 3 x 0 3 4 x x 0 3 4 x x x 11 x 1 0 3 4 x x 3x x 16 3 x 1 x 5x 11 0 1 x 3x x 16 3 3 4 x 0,25 0,25 63 x 5x 11 2 x x 2;4 , Ta có: 4 x x 11 0, x 2;4 3 4 x x 3x x 16 3 1 0,25 vô nghiệm * Vậy phương trình có nghiệm x 1 Ta có a b3 c 3abc a b 3ab a b c 3abc 0 a b c3 3ab a b c 0 a b c a b c a b c 3ab a b c 0 b) (1,5 điểm) 0,5 a b c a b c ab bc ca 0 a b c ab bc ca 0 2 0,5 a b b c c a 0 a b c a b c Mà a b c 1 nên 2023 2034 P 5a 6b 2023c 678 3 Vậy Giả sử c) (1,0 điểm) P x 0 có nghiệm nguyên a P x x a Q x Q x Khi với đa thức với hệ số nguyên P 1 P a a Q 1 Q Ta có a ; a số nguyên liên tiếp nên a a 2 Nhận thấy P 1 P a a Q 1 Q 2023 Mà không chia hết cho Vậy giả sử sai hay P x 0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 khơng có nghiệm ngun Trang 6/3 O , gọi H trung điểm cạnh Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn BC , M điểm thuộc đoạn BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN BM Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh bốn điểm O, M , H , I thuộc đường tròn b) Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác MNP c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Ý Đáp án Điểm a) (1,5 điểm) a) Do H trung điểm BC nên OH BC 0,25 OBM OCN c g c Ta có nên OMN cân M Mà I trung điểm MN nên OI MN Vậy bốn điểm O, I , H , M thuộc đường tròn đường kính OM c) (1,0 điểm) 0,25 OBM OCN c g c nên BOM CON Suy MON MOC CON MOC BOM BOC 120 360 MON PON 120 Khi Ta PAN PON 60 120 180 nên tứ giác APON nội tiếp Do OPN OAN 30 Chứng minh tương tự OPM 30 MPN 60 Mặt khác P thuộc trung trực MN nên PM PN Theo phần a ta có IHC IOM 60 ABC nên IH AB Suy đường thẳng Do b) (1,5 điểm) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 IH cố định Gọi K trung điểm AC , ta có điểm H , I , K thẳng hàng ( nằm đường thẳng song song với AC ) Lấy điểm T đối xứng với A qua HI T điểm cố định Ta có AI BI AB IT IB AB BT AB Do chu vi tam giác AIB nhỏ BT AB , đạt điểm 0,25 Trang 7/3 B, I , T thẳng hàng Khi I trung điểm BT cố định (theo tính chất đường trung bình tam giác BAT ) Suy tứ giác BMTN hình bình hành TN BC Lại có BH KT , BK HT nên tứ giác BHKT hình bình hành KT BC 0,25 0,25 Vậy N K M H Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c 4a 3c 12 b c T 2a 3b 2a 3c Ý Đáp án 3b 2a 2a 2a 3c 3c 12 b c T 4 2a 3b 3b 2a 2a 3b 2a 3c Ta có 2a 3b 3b 2a 2a 3c 2a 3c 2a 3b = 2a 3b 3a 2b 3a 2b 2 2 b a b a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1 1,0 điểm Áp dụng BĐT x y x y với x, y ta có 2a 3b 2a 3b 2a 3c 2a 3b T 2 a b 2a 3c 2 4.2 10 Suy T 5 Vậy Dấu " " xảy 2a 3b 3c Vậy giá trị nhỏ T Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 8/3