PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Thời gian: 150 phút - Khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn đáp án cho câu hỏi sau ghi vào tờ giấy thi Câu Các giá trị x để biểu thức x 196 xác định là: 112 10, x 14 C D x 196 x 14 a b ab3 Câu Với a > b > kết rút gọn biểu thức là: a b a b3 ab A 14 x 14 B x 14 A B a b ab a b C Câu Cho a b c 10 D a, b, c Z Giá trị biểu thức M a b c là: A M 9 B M 2 C M 1 D M 4 Câu Cho biết đa thức f (x) x 3x 3x ax b chia hết cho đa thức g(x) x 3x Giá trị a b là: A a 3; b 4 B a 4; b 3 C a 3; b D a 4; b 2 Câu Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện b c a 2 a c b Giá trị biểu thức P 4a b a b c A P 18 B P 27 là: C P 36 D P Câu Giá trị nhỏ biểu thức P A B x 4x là: x2 C D 2 Câu Phân tích đa thức x x 1 x x 12 thành nhân tử, ta được: A x x x 1 x B x x x 1 x C x x x 1 x D x x x 1 x x 1 x x Câu Điều kiện xác định phương trình là: x x 3x x x A x 1;0; 2;3 B x 2;0; D x ; 2;0 Câu Cho phương trình m x 2m 1 x m 0 với x ẩn m 2 , biết phương trình ln có hai nghiệm, có nghiệm x = 1, nghiệm cịn lại là: m m 1 m m 1 A B C D m m m m Câu 10 Cho hình thoi ABCD có BD = 10cm, BAD 1200 Diện tích hình thoi ABCD là: 40 50 cm cm A 10 cm B C D 20 cm 3 Câu 11 Cho tam giác ABC Từ điểm N cạnh AC kẻ đường thẳng song song với BC AB, cắt cạnh AB BC theo thứ tự M I Khi BM BI tổng bằng: BA BC A B C D Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Biết AB 3a AH đường phân giác góc BAM Khi độ dài AH tính theo a là: a a 3a a A B C D 2 Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A có AB AC đường cao AH Khi AH 12cm BC 25cm độ dài đoạn BH là: A 16cm B 12cm C 5, 76cm D 9cm Câu 14 Một hình chữ nhật có cạnh dài 15cm, đường chéo dài 20cm Khoảng cách từ đỉnh hình chữ nhật đến đường chéo hình chữ nhật bằng: 15 20 cm cm A 10 cm B cm C D Câu 15 Thuế giá trị gia tăng quốc gia 6% Trong chương trình khuyến mại, áo khoác giảm giá 20% Hai nhân viên cửa hàng có hai cách tính tiền sau: Nhân viên thứ cộng 6% tiền thuế mua áo giá 90 la, sau giảm giá 20% Nhân viên thứ giảm giá 20% giá tiền mua áo 90 la, sau cộng 6% tiền thuế Hai cách tính tiền chênh lệch số tiền là: A đô la B đô la C 2,33 đô la D đô la C x 1;0; 2;3 Câu 16 Một người có độ cao tính từ mắt đến chân 1,6m Anh đứng thẳng cách xa dừa 2,4m, đưa mắt nhìn theo hai tia chứa hai cạnh góc vng êke đến gốc dừa Chiều cao AB dừa là: A AB 8,32m B AB 5, 2m C AB 4m D AB 8m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau 5x y 4xy 0 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy yz zx a Tính giá trị biểu thức sau theo a: P 2020x y a z2 a x2 a 2020y x a z2 a y2 a 2020z y a x2 a z2 a Câu (3,5 điểm) 1) Chứng minh số x nghiệm phương trình x 16x 32 0 2) Giải phương trình x x x 2 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh AB cố định đỉnh C di động cho tam giác ABC tam giác nhọn Kẻ đường cao CK K AB , gọi H trực tâm tam giác M điểm CK cho AMB 900 Chứng minh rằng: a) AK.KB = CK.KH b) MK CK.KH Từ suy S S1.S2 (với S,S1 ,S2 diện tích tam giác AMB, ABC, ABH) c) Xác định dạng tam giác ABC để tích KH.KC đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó? Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 2021 Tìm giá trị lớn biểu thức: A a b c a 2021a bc b 2021b ca c 2021c ab - HẾT Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2020 – 2021 Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Đáp án Điểm A 0,5 C 0,5 B 0,5 C 0,5 A 0,5 C 0,5 D 0,5 B 0,5 D 0,5 10 C 0,5 11 C 0,5 12 A 0,5 13 D 0,5 14 C 0,5 15 A 0,5 16 B 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (3,5 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau 5x y 4xy 0 2) Cho x, y, z số dương thỏa mãn thức sau theo a: Tính giá trị biểu y P 2020x a z2 a x2 a 2020y x a z2 a y2 a 2020z y a x2 a z2 a 5x y 4xy 0 5x xy 5xy y 9 x y 5x y 9 1) x y 5x y 9 1.9 9.1 ( 1).( 9) 0,5 0,5 ( 9).( 1) 3.3 ( 3).( 3) Tìm x; y 1; ; 1; 0,5 Ta có: 1,0 2) Thay vào P, ta được: 2020x y z 2020y x z 2020z x y 0,5 2020x y z 2020y x z 2020z x y 0,5 2020.2 xy yz zx 4040a Câu (3,5 điểm) 1) Chứng minh số x nghiệm phương trình x 16x 32 0 2) Giải phương trình x x x 2 x x 02 8 2 0,5 1) x 02 2 3 8 64 16x 02 x 04 32 x 04 16x 02 32 0 0,5 0,5 Vậy x0 nghiệm phương trình cho 0,5 ĐK: x 2 2) Đặt x x t 0 Ta có phương trình t2 4 x 2 0,5 0,5 t (L) t2 t 2 t 2t 0 t t 0 t 2 (TM) Với t 2 x 4 x 2 Vậy tập nghiệm S 2 0,5 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABCcó cạnh AB cố định đỉnh C di động cho tam giác ABC tam giác nhọn Kẻ đường cao CK K AB , gọi H trực tâm tam giác M điểm CK cho · AMB = 900 Chứng minh rằng: a) AK.KB = CK.KH b) MK CK.KH Từ suy S S1.S2 (với S,S1 ,S2 diện tích tam giác AMB, ABC, ABH) c) Xác định dạng tam giác ABC để tích KH.KC đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó? C M H A B K ) Chứng minh D AHK : D CBK (gg a) b) 0,5 AK HK , AK KB = CK K H (1) = CK BK Tam giác AMB vng M có MK ^ AB nên MK = AK BK (2) Suy 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy MK = CK HK nên MK = CK HK 0,5 1 1 SAMB = AB.MK = AB CK HK = AB CK AB.HK = S1S2 2 2 0,5 Vậy S = S1.S2 c) AB2 BK KA Ta có BK.KA (3) 0,50 AB2 BK KA Từ (1) (3) suy KH.KC BK.KA 0,25 Vậy giá trị lớn tích KH.KC AB2 BK = KA hay K 0,25 trung điểm AB Khi tam giác ABC cân C Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 2021 Tìm giá trị lớn biểu thức: A Ta có 2021a + bc = a b c a 2021a bc b 2021b ca c 2021c ab ( a + b + c) a + bc = ab + (a2 + bc) + ca Áp dụng bất đẳng thức si ta có: a2 + bc ³ 2a bc Do ta có: 2021a + bc ³ Û a a + 2021a + bc £ ab + 2a bc + ac = a a + ab + ac = ( ab + ac ) = ab + ac 0,5 a a + b+ c CMTT ta có: b b + 2021b + ca c £ £ b a + b+ c ; 0,5 c c + 2021c + ab a + b+ c Cộng vế với vế BĐT ta A £ 1hay maxA = 2021 0,5 Dấu đẳng thức xảy a b c Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số