UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian phát đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 1: Giá trị a để đa thức x2017 – 3x + a chia hết cho đa thức x – là: A a = B a = –1 C a = D a = –2 Câu 2: Cho P(x) (x 5)(ax +bx+25); Q(x) = x +125 Giá trị a b để P(x) = Q(x) với giá trị x là: A a = 1; b = 25 B a = 1; b = 125 C a = 1; b = M D a = 1; b = –5 x2 x2 4 3 x x là: Câu 3: Giá trị nhỏ biểu thức A B C D – Câu 4: Hình thang ABCD có hai đáy AB, CD Gọi E F trung điểm AD BC Biết DE + EF + FC = 5m Chu vi hình thang ABCD bằng: A 10m B 5m C 2,5m D Khơng tính Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 6cm Qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ đoạn thẳng DE nằm tam giác ABC cho DE // AC DE = 4cm Diện tích tam giác BEC bằng: A 24cm B 12cm C 20cm D Kết khác Câu 6: Cho tứ giác ABCD, M điểm nằm tứ giác Vị trí điểm M để tổng MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ là: A M trung điểm đường chéo AC B M trung điểm đường chéo BD C M giao điểm đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối D M giao điểm hai đường chéo AC BD Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 36cm; AC = 48cm Một dường thẳng song song với BC cắt AB, AC M, N cho MN = BM + CN Độ dài đoạn thẳng MN bằng: A 35cm B 21cm C 84cm D 42cm Câu 8: Gọi O trọng tâm tam giác ABC Trên OA, OB, OC lấy theo thứ tự điểm D, E, F cho OD = OE = OF khoảng cách hai đường thẳng EF BC chiều cao tam giác ABC Tỉ số diện tích tam giác DEF tam giác ABC bẳng: A B C D Câu 9: Tìm m để hai phương trình x x 3x 0 (m 4m 1)x m 0 hai phương trình tương đương: A m = 1; m = B m = 1; m = C m = 1; m = D m = 2; m = 1 a 1 b x ; y 1 a a b b Kết so sánh x y là: Câu 10: Cho a > b > A x > y B x y C x < y D x y m(x 1) x 2m x 16 18 vô nghiệm : Câu 11: Giá trị m để bất phương trình A m = –2 B m = C – < m < D m = x 2x 1 (x 1)(x 3) Câu 12: Nghiệm bất phương trình : A x > –1 B x < C – < x < D Vô nghiệm 6x 5x 2x m 12 có nghiệm là: Câu 13: Giá trị m để phương trình A m = –7 B m = 12 C m 7; m D m = Câu 14: Cho hàm số y (m 2m 2)x (với m số) Giá trị m để đồ thị hàm số phân giác góc phần tư thứ (I) thứ (III) là: A m = 1; m = –3 B m = – C m D m Câu 15: Cho đa thức có tính chất P(x 1) 2.P(2) x Khi P( 2017 1) có giá trị là: A 2017 B 2011 C 2016 D 2018 2017 Câu 16: An hỏi Bình “Năm cha mẹ anh tuổi” Bình trả lời “Cha mẹ tuổi Trước tổng số tuổi cha mẹ 104 tuổi ba anh em tơi 14, 10 Hiện nay, tổng số tuổi cha mẹ gấp đôi tổng số tuổi ba anh em tơi” Tuổi cha mẹ Bình là: A 55 51 B 65 61 C 75 71 D Kết khác II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (4,0 điểm) x2 y2 x y2 P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y 1) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x, y nguyên để P = 2) Chứng minh với số nguyên m, n Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: A mn m n x x x 2x chia hết cho Câu (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân A có BC = 2a Gọi M trung điểm BC Lấy B điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho DME Chứng minh rằng: a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE Từ suy tích BD.CE khơng đổi b) DM tia phân giác góc BDE 2) Cho MNPQ hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC (M AB; N AC; P,Q BC) Tìm vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn Câu (2,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y x y 2xy 2x 2y 2017 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy x y xy - HẾT Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHỊNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án C D B A B D A C C C D C D A B B Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (4,0 điểm) x2 y2 x y2 P x y 1 y x y 1 x 1 x 1 y 1) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x, y nguyên để P = 2) Chứng minh với số nguyên m, n a) ĐKXĐ: x 1; y 1; x y x (1 x) y (1 y) x y (x y) P (x y)(1 x)(1 y) x y x y3 x y (x y) (x y)(1 x)(1 y) A mn m n chia hết cho 0,5 0,5 (x y)(1 x)(1 y)(x xy y) (x y)(1 x)(1 y) x xy y b) P 2 x xy y 2 0,5 0,5 (x 1)(y 1) 1 x 1 y 1 x y x 2 y 0 x 0 y 0,5 Vậy (x;y) = (2;0) (x;y) = (0;-2) A mn m n mn (m 1) (n 1) mn(m 1) mn(n 1) n(m 1)m(m 1) m(n 1)n(n 1) Vì m n số nguyên nên tích ba số nguyên liên tiếp (m 1)m(m 1)2 (m 1)m(m 1) 3 mà (2,3) = nên 0,5 0,5 (m 1)m(m 1)6 n(m 1)m(m 1) 6 Tương tự: m(n 1)n(n 1) 6 Vậy A chia hết cho Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 x x x 2x 0,5 Đặt a = x – 2, b = x2 + 2x + > 2 Phương trình trở thành 2a ab b (a b)(2a b) 0 x x 3x 0 x +) Nếu a + b = 0,50 0,50 0,5 +) Nếu 2a – b = x 0 (Vô nghiệm) S 2; 1 0,5 Vậy phương trình có tập nghiệm Câu (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân A có BC = 2a Gọi M trung điểm BC Lấy điểm B D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho DME Chứng minh rằng: a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE Từ suy tích BD.CE khơng đổi b) DM tia phân giác góc BDE 2) Cho MNPQ hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC (M AB; N AC; P,Q BC) Tìm vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn A E D B C M a) Ta có: DMC B BDM (Góc ngồi tam giác BDM) 0,50 DMC DME EMC BDM EMC B Mà DME Xét hai tam giác DBM MCE có: BDM EMC (cmt) B C (do tam giác ABC cân A) Vậy tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE (g.g) DB BM BD.CE BM.MC a.a a Suy ra: MC CE (Không đổi) 0,50 0,50 b) Ta có tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE (g.g) DM BD DM BD ME CM ME BM (do CM = BM) 0,50 Mà DME B Suy tam giác DME đồng dạng với DBM (c.g.c) MDE Từ BDM (Hai góc tương ứng) Vậy DM tia phân giác góc BDE 0,50 A M B Q N H P C Kẻ đường cao AH tam giác ABC Đặt AH = h; BC = a; MQ = x; MN = y (0 < x < h ; < y < a) ah y(h x) (a y)x 2 a(h x) ah ax = yh y = h SABC SAMN SMNCB 0,25 0,50 SMNPQ a a x h x ah xy x h x h h (Cô - si) ah Vậy diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn h x , M trung điểm AB x = h – x hay 0,50 0,25 Câu (2,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y x y2 2xy 2x 2y 2017 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy x y xy 2 x y 2xy 2x 2y 2017 x y 1 2016 Ta có: x y 0 x y 2 0,5 1 xy xy 2 2 2 x y xy xy 2xy x y 2xy x y 2xy 1 a b ; 2 (a, b 0) (Áp dụng bất đẳng thức a b a b b a ) 0,5 P (x y) 22 3 xy 1 xy 1 4 2xy Mặt khác 9 P 1 P x y 1 2 Do 0,5 0,5 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số