PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Đề thi mơn: TỐN 120 phút kh ng k thời gian giao đề Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Ghi chú: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi trắc nghiệm tự luận tờ giấy thi, không làm tờ đề thi I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 1: Biểu thức khai triển rút gọn biểu thức P x y x3 xy yx y là: A x y B x y C x3 y D x3 y Câu 2: Cho hai đa thức f x x x 21x x a đa thức g x x x Giá trị a để đa thức f x chia hết cho đa thức g x A a 11 B a 12 C a 30 D a x y x y D Q Câu 3: Biết x2 y xy; y 0; x y tính giá trị biểu thức Q A Q B Q C Q x x2 x2 Câu 4: Cho P kết phép rút gọn biểu thức P x x x x x 2 x A P B P C P D P x 2 x 1 x 10 x x x2 A B C 3 D x 12 x 11 x 74 x 75 Câu 6: Nghiệm phương trình 77 78 15 14 A x 1 B x 88 C x 88 D x 89 Câu 7: Cho phương trình m x 1 m 1 x phương trình vô nghiệm Câu 5: Giá trị nhỏ biểu thức R A m B m C m 5 D m 5 Câu 8: Cho hai bất phương trình x 1 mx m Giá trị m để 1 có nghiệm chung 7 1 D m 7 Câu 9: Hình thoi có độ dài hai đường chéo 12 cm ;16 cm độ dài cạnh hình thoi A m B m C m A 10 cm B 12 cm C 13 cm D 14 cm Câu 10: Cho hình thang ABCD AB / /CD biết AB 28 cm ; CD 70 cm Đường thẳng song song với đáy qua giao điểm hai đường chéo cắt cạnh bên M N Khi MN ? A 20 cm B 10 cm C 40 cm D 50 cm Câu 11: Cho ABC cân A có AB cm Từ điểm D cạnh BC vẽ DE song song với AB E AC DF song song với AC F AB Chu vi tứ giác AEDF A cm B cm C cm D cm Câu 12: Cho ABC có diện tích S 12 cm2 Trên cạnh: AB, BC , CA lấy ba điểm M , N , P cho AM BM ; BN NC , CP PA Diện tích MNP A cm2 B cm2 C cm2 D cm2 Câu 13: Cho ABC đường thẳng d cắt cạnh BC P cắt cạnh AC Q tia đối tia AB R Hệ thức A PC RB QC PB RA QA B RQ2 AQ.QC C CP RB RA PB QC QA D PC RA.RB Câu 14: Cho hình thang ABCD AB / /CD có AB cm ; CD 12 cm Gọi trung điểm đường chéo AC , BD theo thứ tự M ; N Độ dài đoạn thẳng MN ? A MN cm B MN cm C MN cm D MN cm Câu 15: Cho ABC vuông A đường cao AH Biết BH cm ; HC cm Diện tích tam giác ABC A 36 cm2 B 37 cm2 C 38 cm2 D 39 cm2 Câu 16: Một hộp khơng nắp làm từ mảnh bìa tơng theo hình vẽ bên Hộp có đáy hình vuông cạnh x cm , chiều cao h cm khơng đổi thể tích 500 cm3 Độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa tơng A 10 cm B cm C cm D cm II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3 điểm): a Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 x xy y y b Phân tích số 20212022 thành tổng k số tự nhiên a1; a2 ; ; ak Đặt S a15 a52 ak5 Tìm chữ số tận S Câu (4,0 điểm): a Giải phương trình: x 3x x x x b Cho đa thức P( x) x ax3 bx cx d Biết P(1) 3, P(2) 6, P(3) 11 Tính giá trị Q P(4) P(1) Câu (4,0 điểm): Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B , C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a Chứng minh rằng: OEM tam giác vuông cân b Chứng minh: EM / / BN c Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh điểm M thay đổi cạnh BC ( M khác B, C ) đường thẳng MH qua điểm cố định Câu (1 điểm): Cho số thực dương x; y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y P xy Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………………………… ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu B C B B A D B D Câu Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 A C D A C C D A Hướ dẫ Câu 1: ả c t ết: P x y x3 xy yx y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y Câu 2: Phân tích đa thức g x x x x x 1 Sử dụng định lý bơ du ta tìm dư đa thức f x cho g x f 1 30 a r 1 để phép chia chia hết dư Hay 30 a a 30 Tương tự cho f 2 ta có kết Cách 2: Dùng phép chia đa thức Câu 5: Cách 1: (Lớp 8): Biến đổi P có dạng: P k A A Từ P k B B 10 x x 3x 1 P x P 1 x 1 x 1 Cách 2: (Lớp 9) Dùng phương pháp miền giá trị ta xác định Pmin a Câu 7: Đưa phương trình dạng ax b phương trình vơ nghiệm Phương b trình vơ số nghiệm khí a b Áp dụng: m x 1 m 1 x 2m 1 x m phương trình vơ nghiệm a 2m m m b 5 m m 5 Câu 8: 1 x Xét TH1: m 2 : vô nghiệm (loại) m 1 TH2: m x (1) (2) có vơ số nghiệm (loại) m m 1 m 1 TH3: m x để (1) (2) có nghiệm 8 m m m Chọn D Câu 9: B A Áp dụng định lý pitago (bộ ba pita go) (6;8;10) N Câu 10: M Dễ dàng chứng minh OM ON Chứng minh hệ thức sau: 1 1 2 MN 40 D AB CD MN 28 70 MN 20 MN O C A E Câu 11: PAEDF AE DE DF FA FA FD (do tgAEDF F hình bình hành) BFD cân F FD FB B C D PAEDF AF FB AB A Câu 12: S AMP AM AP AM AP 2 tương tự S AB AC AB AC 3 P M C N B S BMN SCNP 2 S AMP S BMN SCNP S S S 9 S 12 S MNP S 3.S AMP S S cm 3 Câu 13: Áp dụng định lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC với cát tuyến RQP có PC RB QA PC RB QA RA 1: PB RA QC PB QC RA QA Câu 14: MN CD AB R A Q B Câu 15: Hệ thức quen thuộc h2 b '.c ' (lớp tam giác đồng dạng) P C Câu 16: Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp nhữ nhật ý rút h theo x từ cơng thức thể tích sau áp dụng cơng thức tính diện tích dùng bất đẳng thức II TỰ LUẬN (12 điểm) CÂU ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC a.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: ĐIỂM x2 x xy y y Câu b Phân tích số 20212022 thành tổng k số tự nhiên a1; a2 ; ; ak Đặt S a15 a52 ak5 Tìm chữ số tận S x x xy y y x y x y 1 x y x y x x y a y x y x ( 1,5 x 10 điểm) y 1 x y 1 loai x y 5 loai y x y 5 x y 1 loai Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: x; y 2;1 điểm 0,5 0,75 0,25 Với n ta có n5 n 10 Thật n5 n n 1 n n 1 n2 1 n b ( 1,5 điểm) n n n 1 n n 1 n n 5n n 1 n 0,75 n5 n 10 n a i 10 i 1;2; , k a15 a5 ak5 a1 a2 ak 10 0,5 S 20212022 10 Vậy S có chữ số tận 0,25 a Giải phương trình: x 3x 3 x x 3 x Câu b Cho đa thức P( x) x ax3 bx cx d Biết P(1) 3, P(2) 6, P(3) 11 4,0 điểm Tính giá trị Q P(4) P(1) * Ta có x khơng nghiệm phương trình a (2,0 điểm) b ( 2,0 điểm) * Với x chia hai vế phương trình cho x ta 3 x x x x Đặt y x y y x y 1 x 1 y 1 y x y x x x 1 x 1 x 3 x 0,25 0,75 0,75 Vậy tập nghiệm phương trình S 1;3 0,25 Đặt R( x) P( x) x R(1) 0; R(2) 0; R(3) 0,75 Do đó: R( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) P( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) 0,75 x2 2 Vậy Q 4[3.2 1(4 m) 18] (2)(3)(4)(1 m) 195 Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a Chứng minh rằng: OEM tam giác vuông cân Câu b Chứng minh: EM / / BN c Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh điểm M thay thay đổi cạnh BC ( M khác B, C ) đường thẳng MH ln qua điểm cố định E A 0,5 4,0 điểm B a (1,5 điểm) O 0,25 M H' H D C N Xét ∆OEB ∆OMC ta có: OB = OC (t/c đường chéo hình vng) B1 C1 450 (t/c đường chéo hình vng) BE = CM ( gt ) Suy ra: ∆OEB = ∆OMC (c.g.c) OE = OM (1) O1 O3 , Lại có O2 O3 BOC 900 (t/c đường chéo hình vng) Suy ra: O2 O1 EOM 900 (2) Từ (1) (2) ∆OEM vuông cân O b (1,5 điểm) Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng AB = CD AB // CD AB // CN AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà MC = EB (gt) AB = BC BM = AE thay vào (*) AM AE Ta được: MN EB EM // BN ( theo ĐL đảo ĐL Ta-lét) Gọi H’ giao điểm OM BN ta chứng minh CH’ BN Thật vậy: Từ EM // BN OME OH ' B ( cặp góc đồng vị) Mà OME 450 ∆OEM vng cân O MH ' B 450 C1 ∆OMC ∽ ∆BMH’ (g.g) c OM MC , kết hợp OMB CMH ' (hai góc đối đỉnh) (1,0 BM MH ' điểm) ∆OMB ∽ ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C 450 Vậy BH ' C BH ' M MH ' C 900 CH ' BN Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng hay đường thẳng MH qua điểm O cố định 0,5 0,5 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho số thực dương x; y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ Câu x2 y biểu thức: P xy điểm x y 1 2 x y Ta có P x xy y 0,25 0,25 x x t2 1 1 (1,0 Đặt t với x y t P y y t t điểm) 0,25 3t t 3.2 t P (do t 2; AM GM ) 4 t 4 t x Dấu “=” xảy t x y y MinP x y 0,25 Điểm toàn 12 điểm