PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút - Khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn đáp án cho câu sau (Lưu ý: câu có đáp án đúng) x ax + a + a + a x +1 A x ax a + a + a x +1 x = 20192018 a = Câu 1: Giá trị phân thức là: 31 2019 2018 A B 21 C D 2019 M Câu 2: Khi biểu thức thức N = x + y + 2019 là: A –4 2018 x y 2x 10y 2019 đạt giá trị lớn giá trị biểu 2 2018 B 1993 C 2015 D Kết khác Câu 3: Cho x, y thỏa mãn 3x y 2xy, y 2x, y 3x Giá trị biểu thức A 2xy 6x xy y2 : 1 A B C D Không xác định 5 Câu 4: Gọi A tập hợp giá trị x để phân thức x 5x 3x 5x không xác định Khi đó, số phần tử tập hợp A là: A B C D xy x y a x y x y x y Câu 5: Cho x, y thỏa mãn Khi đó, giá trị biểu thức x y4 x y4 M x y x y tính theo a là: a 24a 2 B 4a(a 4) a 16 C 4a(a 4) a 24a 16 A a D 4a(a 4) n n n Câu 6: Cho n N; n Gọi S tập nghiệm đa thức f (x) x (x 1) x x Khẳng định sau sai : A Tập hợp S có phần tử; B Trong tập hợp S có phần tử đối nhau; C Bình phương tổng tất phần tử tập hợp S D Tổng bình phương tất phần tử tập hợp S x x x 3 Câu 7: Tích nghiệm phương trình 12 là: D –12 A –5 B C 12 2 Câu 8: Cho biểu thức P a b c ab bc ca Cho biết a – b = b – c = Giá trị biểu thức P bằng: A 79 B 158 C 400 D –21 2 Câu 9: Biết đa thức 3x 5x mx 5x (biến x) chia cho đa thức 3x x có số dư Khi giá trị m + 2019 là: A 2018 B 2020 C 2025 D 2030 25n 97n n Câu 10: Gọi A tập hợp giá trị nguyên n để biểu thức nhận giá trị nguyên Số phần tử dương A là: A B C D Câu 11: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 13cm; CD = 25cm; D 45 Khi chu vi hình thang là: A 38 (cm) B 38 12 (cm) C 38 6 (cm) C 38 12 (cm) Câu 12: Hình thang ABCD có hai đáy AB CD, A 3D; B C 30 Khi tổng B A bằng: A 1800 B 2100 C 2400 D 2700 Câu 13: Cho hình thoi ABCD có BD = 10cm, BAD 120 Diện tích hình thoi ABCD là: 100 50 (cm ) (cm ) 2 A 10 (cm ) B 20 (cm ) C D Câu 14: Cho tam giác ABC vuông A, đường trung trực BC cắt đường thẳng AC D cắt đường thẳng BC M Biết AC = 16cm, BC = 20cm Diện tích tam giác MCD bằng: A 37,5cm2 B 60cm2 C 75cm2 D 80,5cm2 Câu 15: Cho tam giác ABC vuông A, có AC = 27,2cm, AB = 51cm, vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D cho CD = 23,8cm Trên cạnh AB lấy điểm E cho tam giác BED đồng dạng với tam giác AHC Khi độ dài đoạn thẳng AE bằng: A 20cm B 21cm C 22cm D 23cm Câu 16: Giá cước hãng taxi cho bảng sau: Giá mở cửa Từ đến 0,6km Giá: 10000đ Giá km Từ 0,6km đến km thứ 25 Giá: 13000đ/km Từ km thứ 26 Từ km thứ 26 trở lên Giá: 11000đ/km Một hành khách thuê taxi quãng đường 30km phải trả số tiền là: A 330000đ B 340000đ C 380000đ D 382200đ II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (4,0 điểm) x y x y y 4x 4x y y A : 2 2y x 2y xy x x y xy x 1) Cho biểu thức (với x > 0, y > 0, x 2y, y 2 2x ) a) Rút gọn A A b) Cho y = 1, tìm x để 2) Tìm số nguyên dương n cho P n 4n 6n số nguyên tố Câu (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x 4x y Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có BC = a, AB = b (a > b) Đường phân giác BD góc ABC cắt AC D có độ dài cạnh bên (BD = b) a) Tính CD theo a b b) Trên tia BD lấy điểm E cho BE = BC = a Chứng minh tam a a b 1 giác CDE đồng dạng với tam giác BDA b b a Cho tam giác ABC, qua điểm M thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB BC cắt AB BC E F Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai tam giác AEM CFM đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ 1 12 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 2a b c 2b c a 2c a b - HẾT - Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B C A D D C B A C C B C D A B D Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (4,0 điểm) x y x y y 4x 4x y y A : 2y x 2y xy x x y xy x 1) Cho biểu thức (với x > 0, y > 0, x 2y, y 2 2x ) a) Rút gọn A A b) Cho y = 1, tìm x để 2) Tìm số nguyên dương n cho P n 4n 6n số nguyên tố 2 a) Với x > 0, y > 0, x 2y, y 2 2x , ta có: x y x y y 4x 4x y y A : 2 x y xy x 2y x 2y xy x 2 x y x y y 2x y 2x y : 2y x 2y x x y x y x 1 x y x 1 2x y 2y x x y 2x y 2x y x 1 2y x 2x y 0,50 1,00 b) Với x > 0, y > 0, x 2y, y 2 2x , ta có: x 1 y 1, A 2y x 2x y 0,50 4x 8x 11x 0 x 1 4x 4x 0 x 0 4x 4x 0 x 1(TM) 2 4x 4x 0 (VN 4x 4x 2x 1 0) Vậy x = P n 4n 6n n n 2n n n 1 1 Vì n số nguyên dương nên: +) Nếu n = P = –1, không số nguyên tố 0,50 0,50 0,25 +) Nếu n 2 n 1 2 , để P số nguyên tố thì: n 1 n 3 P 5 số nguyên tố Vậy n = P số nguyên tố Câu (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x 4x y Ta có: x 4x y x y 3 x y x y 3 0,75 0,50 2 Do x y x y nên ta có: x y (I) x y Từ (I) (II) ta tìm được: x y 1 (II) x y (x; y) 4; 1 , 4;1 , 0;1 , 0; 1 1,00 0,50 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có BC = a, AB = b (a > b) Đường phân giác BD góc ABC cắt AC D có độ dài cạnh bên (BD = b) a) Tính CD theo a b b) Trên tia BD lấy điểm E cho BE = BC = a Chứng minh tam a a b 1 giác CDE đồng dạng với tam giác BDA b b a Cho tam giác ABC, qua điểm M thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB BC cắt AB BC E F Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai tam giác AEM CFM đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ A b b B E D a C a) BD phân giác góc B tam giác ABC nên ta có: CD BC CD BC DA BA CD DA BC BA CD BC CD a ab CD CA BC BA b a b a b 0,50 0 180 B1 ; E 180 B2 ; A 2 Mà B1 B2 A E 0,50 (1) b) Dễ thấy tam giác BAD BEC cân đỉnh B nên: 0,50 Xét tam giác CDE tam giác BDA có: D E D (đối đỉnh); A (cmt) 0,50 Do đó, tam giác CDE tam giác BDA đồng dạng (g.g) DE CD DA BD (2) Suy 0,25 Dễ thấy DE = a – b (3) CD ab ab b2 AD AC CD b a b a b a b (4) 0,25 Từ (1), (2), (3), (4) ta có: ab DE CD a b a b a b2 a a b2 a b 1 b2 DA BD b b2 a b b2 a a b 2 a b a b a a b 1 1 ab b b b a 0,50 A M E B C F Chứng minh tam giác AEM ABC đồng dạng S SAEM AM AM SAEM AM ABC2 SABC AC AC AC (1) S SCFM MC2 ABC2 AC (2) Tương tự ta có: Từ (1) (2) ta có: 0,25 SAEM SCFM AM MC SABC AC2 SABC SABC S AM MC ABC2 AC AC 2 AC 2 0,25 0,25 Vậy tổng diện tích hai tam giác AEM CFM đạt giá trị nhỏ 0,25 SABC AM = MC hay M trung điểm AC 1 12 Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P 1 2a b c 2b c a 2c a b 1 1 1 xy 4 x y Với x > 0, y > 0, ta có: x y x y 1 1 1 1 1 Do đó: 2a b c 2a b c 2a b c a 2b 2c (1) 1 1 1 1 Tương tự: 2b a c b 2a 2c (2); 2c a b c 2a 2b (3) 1 1 1 1 P 12 3 maxP = a = b = c = 4 a b c 4 Từ (1), (2), (3) ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số