PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( điểm) Thí sinh lựa chọn 01 phương án 2 Câu 1: Cho đa thức f x ax bx 10x g x x x biết f x chia hết cho đa thức g x a, b A a ; b B a 2; b C a 2; b D a 2; b 8 Câu 2: Đa thức P x chia cho x dư 47 ; chia cho x dư 45 ; chia cho x x thương 3x cịn dư 3 A P x 3x 15 x 20 x 41 B P x 3x 15 x 20 x 41 3 C P x 3x 15 x 20 x 41 D P x 3x 15 x 20 x 41 Câu 3: Rút gọn biểu thức a 1 2a 4a a3 4a P : a3 a 4a 3a a 1 4a với a 0; a 1 a 4 4a C với a 0; a 1 a 4 A 4a với a 0; a a 4 4a D với a 0; a 1 a 4 B Câu 4: Phương trình ta 21a 1 3a ( a tham số) Giá trị a để phương x 7 trình có nghiệm âm là: A a , a 21 21 B a , a C a D a Câu 5: Phân tích đa thức x xy 20 y ta kết A x y x y B x y x y C x y x y D x y x y 3x3 14 x 3x 36 x Câu 6: Điều kiện để biểu thức A có giá trị xác 3x 19 x 33x định A x x 3 1 B x x C x x 3 D x x 3 3 1 a 1 b x ,y x y a b 0 Câu 7: Cho so sánh số với 1 a a ; b b2 A x y B x y C x y D x y Câu 8: Nghiệm bất phương trình là: x 2x x x 2 Trang 1/3 A x x , x# B x 3, x# C x x 2, x# D x 2, x# Câu 9: Cho hình vng ABCD , tia đối tia CD lấy điểm M CM CD , vẽ hình vng CMNP H , MP cắt BD K Tính Q= A Q = B Q = ( P nằm B C ), DP cắt BM PC PH KP BC DH MK C Q = D Q = Câu 10: Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 900 ( I M khơng trùng đỉnh hình vng) Diện tích tứ giác BIOM theo a : A a B a C a D a Câu 11: Cho tam giác ABC cạnh AB lấy điểm D cho BD BA ; 3 cạnh AC lấy điểm E cho CE CA Gọi F giao điểm tia ED với tia CB biết FB a với a,b N ; a;b 1 Khi giá trị a b FC b A 17 B 29 C 13 D 10 Câu 12: Cho tam giác ABC gọi M trung điểm AB , cạnh AC lấy điểm N cho NC 5 NA , gọi O giao điểm BN CM AO cắt BC AO a giá trị a b P OP b A 21 B 16 C D 11 Câu 13: Cho tam giác ABC có BC 10 cm , đường trung tuyến BD CE có độ dài theo thứ tự cm 12 cm Tính diện tích tam giác ABC A 72 cm B 36 cm2 C 18 cm D 100 cm Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh a , điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M , N Gọi K giao điểm NA MB Khi MKN có số đo là: A MKN B MKN C MKN D MKN 600 900 450 750 Câu 15: Trong hình lăng trụ đứng đáy tam giác cho kích thước c a 3 cm, b 4 cm, c 5 cm (hình 1) Biết diện tích xung quanh hình h lăng trụ đứng 60 cm2 Chiều cao h hình lăng trụ là: Hình A 10 cm B 12 cm Trang 2/3 a b C 2,5 cm D cm Câu 16: Một tổ có bạn nam bạn nữ Số cách để chọn bạn trực nhật để có bạn nữ A 750 B 700 C 650 D 600 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p n3 n n – b Giải phương trình nghiệm nguyên: x 10 x y y 0 Câu 2: (3,5 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x 2019 x 2019 x 2018 b Giải phương trình: x x 38 x x 0 Câu 3: ( 4,5 điểm) Cho hình vng ABCD , điểm E cạnh BC Tia Ax AE cắt tia CD F Kẻ đường trung tuyến AI tam giác AFE kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi b Chứng minh điểm B,I ,D thẳng hàng c Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác AKE đạt giá trị lớn nhất? Câu 4: (1 điểm) Cho x, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 A y x Hết Họ tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:………………… Trang 3/3 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) câu 0,5 điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 Đáp án A A C B D A A C A C D D A B D II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Nội dung n Câu a Tìm số tự nhiên để số p số nguyên tố biết: (3,0 p n3 n n – điểm) b Giải phương trình nghiệm nguyên: x 10 x y y 0 a Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p n3 n n – Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - - HS biến đổi : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nếu n = 0; không thỏa mãn đề - Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = - Nếu n > không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> - Vậy n = p = n3 - n2 + n - số nguyên tố b Giải phương trình nghiệm nguyên: x 10 x y y 0 Trang 4/3 1,5 điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 1,5 điểm 0,5 x 1 Z 2 Vì x, y Z mà x 1 13 x 1 y 1 Z Mặt khác x 1 từ suy x 1 x 0 y 2 y 1 x y Với y y loai Suy y 1 Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y 0;1 a Phân tích đa thức sau thành nhân A x3 2019 x 2019 x 2018 b Giải phương trình: x x3 38 x x 0 a Phân tích đa thức sau thành nhân Điểm 0,25 x 1 y 1 13 Câu (3,5 điểm) 16 B 0,5 0,25 tử tử 1,75 A x3 2019 x 2019 x 2018 A = x 2019( x x 1) A = (x - 1)(x x 1) 2019( x x 1) A = x x 1 ( x 2019) điểm 0,5 0,5 0,25 A = (x + x + )(x 2018) b Giải phương trình: x x3 38 x x 0 Nếu x 0 0 ( vô lý) x 0 Chia vế cho x , ta được: 0 x x2 1 6( x ) 5( x ) 38 0 (*) x x 1 Đặt x x = y => x = y -2 x 1,75 điểm 0,25 0,25 x x 38 0,5 Thay vào phương trình (*) giải phương trình, ta y y 38 0 y y 50 0 10 y3 y Câu (4,5 điểm) x 3 10 10 Với y x x 10 x 0 x x 3 x 5 Với y x x x 0 x x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2; ; ; 3 Cho hình vng ABCD , điểm E cạnh BC Tia Ax AE cắt tia CD F Kẻ đường trung tuyến AI tam giác AFE kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi b Chứng minh điểm B,I ,D thẳng hàng Trang 5/3 0,25 0,25 0,25 c Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác AKE đạt giá trị lớn nhất? a Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi Vì GE / / FK nên EGK GKF 1 Mặt khác FAE vuông cân A mà AI đường A trung tuyến đồng thời đường trung trực suy phân giác EKF Suy FKA AKE Từ 1 ; suy EGK GKE EGK cân EG 1,0 điểm 0,25 B 0,5 EG EK 3 Mặt khác IA đường trung trực EF nên I GF GE L 4 KF KE Câu (1 điểm) Từ 3 ; suy EG GF FK KE tứ giác EGFK D K F hình bình hành b Chứng minh điểm B,I ,D thẳng hàng Gọi L giao điểm AD FI AL FL Chứng minh ALI #FLD g.g LI LD Từ chứng minh ALF ILD đồng dạng 5 AFL LID Mà AFL FAI LDI IDK 900 Vậy B,I ,K thẳng hàng IDK FAI 450 BDK b Chứng minh điểm B,I ,D thẳng hàng Chứng minh AD DK ADK #FCE 1 DK CE FC CE Chứng minh ADF ABE từ suy FD BE Từ ; FK BC Chứng minh 1 AKF AEK c.c.c S AEK S AKF AD.FK AD 2 Dấu xảy FC cạnh hình vng suy F trùng với D suy E trùng với B Cho x, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức: A y x Trang 6/3 E 0,25 điểm 1,0 0,5 0,5 1,5 điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 điểm C 2 1 1 xy xy A 1 x y x y 2 ( Vì x y 1) x y x y2 y x 8 x y x y x y y x Vì x, y > x 0, y nên áp dụng BĐT cô si ta có: 0,25 0.25 0,25 x y xy 2 2 y x yx x y2 x y2 2 2 2 y2 x y x A 8 4.2 18 x y x y Dấu "=" xảy x y 1 Vậy minA =18 x y Trang 7/3 0,25