PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 16 Câu; 8,0 điểm) Thí sinh lựa chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi Câu 1: Cho a thỏa mãn a 42 A 20 B 21 a 42 4 C 22 a 42 a 42 D 23 Câu 2: Cho M 20a 92 a 16a 64 N a 20a3 102a 40a 200 Để M N 0 số giá trị a thỏa mãn A B C D Câu 3: Cho đường thẳng tham số) Giá trị m để II d : y 12 x m; d : y 3x m (với m d d cắt điểm thuộc góc phần tư thứ 2 7 1 m m m B C D d : y 3x m 1; d2 : y 2 x m (với m Câu 4: Cho đường thẳng d1 d2 m A m tham số) Khi cố định thay đổi giao điểm y y x nằm đường thẳng y x y x A B C D 2a b x a b y 3a I a b x a b y b Câu 5: Cho hệ phương trình ( a, b tham số) x Khẳng định I A Khơng tồn a b để hệ có nghiệm a; b để hệ I có nghiệm a; b để hệ I có nghiệm C Tồn hai cặp I có nghiệm D Với a, b hai số thực hệ x 2mx 5m 0 1 Câu 6: Cho phương trình (với m tham số) Số giá 1 vô nghiệm trị nguyên m để phương trình B Tồn uy cặp A B C D Trang 1/3 d : y ax cắt Câu 7: Đường thẳng Khi khẳng định A OMN C OMN có ba góc nhọn Parabol P : y x hai điểm M , N B OMN có góc tù D OMN vuông O M 1; 1 , N 2; P : y x thuộc Parabol I x ;y 0 Câu 8: Cho hai điểm điểm thuộc cung MN cho IMN có diện tích lớn Khi giá trị P 4 x 12 y 0 biểu thức A B C D Câu 9: Cho ABC vuông cân A , M trung điểm AC Đường thẳng qua A DC a * a, b 1 vuông góc với BM cắt BC D Biết tỉ số DB b với a, b giá trị biểu thức P a b A B C D Câu 10: Trên đường trung tuyến AD ABC lấy điểm K cho AK 3KD ; SABP a S b a, b * a, b 1 AC BCP BK P cắt Biết thức P a 2b A B với giá trị biểu D Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vng cạnh A a đvđd C 11 AC ' A ' 60 Khi thể tích hình hộp a3 ñvtt B a3 6 ñvtt C a3 ñvtt D a3 ñvtt AH H BC Câu 12: Cho ABC vuông A, đường cao cho AC 13 cm ; HC 12 cm giá trị HA.HB.HC A 125 B 50 C 145 D 155 Câu 13: Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE cắt H Vẽ đường trung tuyến AM Gọi G trọng tâm tam giác Cho biết HG song song với BC tan ABC.tan ACB có giá trị B A C D Câu 14: Cho hình chữ nhật ABCD với hai đường trịn hình vẽ AB 8 cm ; EF 6 cm Biết Khi độ dài cạnh BC A 10 cm B cm EF song song với AB C cm D 12 cm Trang 2/3 Câu 15: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi E , F , I điểm cạnh AB, AC , BC cho BE BI ; CI CF EA Để đoạn thẳng FE có độ dài nhỏ tỉ số EB C A B D Câu 16: 1800 m lưới quây thành hình Có chữ nhật có kích thước (như hình vẽ) để ni gà Diện tích lớn đạt là: 68100 m 11350 m A B II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) C 67500 m D 11250 m a Tìm tất số nguyên tố p cho p số nguyên tố b Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,210, xác định sau: Số hạng p k 1,2,3 Biết tồn hai đứng thứ k tích k số nguyên tố số hạng dãy có hiệu 30000 Tìm hai số hạng đó? Câu (3,5 điểm) a Giải phương trình: x x 4 x x x y y x x y xy b Giải hệ phương trình: Câu (4 điểm) Cho đường tròn O đường kính AB cố định Gọi C điểm di động O cho C khác A, B C khơng nằm cung AB Vẽ đường kính CD O Gọi d tiếp tuyến O A Hai đường thẳng BC, BD cắt d tại E , F a Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn b Gọi M trung điểm EF I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh rằng: AB 2.IM O c Gọi H trực tâm DEF Chứng minh điểm C di động điểm H ln chạy đường tròn cố định Trang 3/3 2 Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 3 chứng minh 2 a b c 1 9 a b c -HẾT -Họ và tên thí sinh .SBD Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 4/3 PHỊNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN (Đáp án chấm thi có 04 trang) ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN ( điểm) Mỗi câu đúng: 0,5 điểm CÂU 10 11 12 13 14 15 16 ĐÁP ÁN B B C D D II PHẦN TỰ LUẬN (12điểm) B D A A D C A C B ĐÁP ÁN C ĐIỂM Câu (3,0 điểm) 1,5 p a Tìm tất số nguyên tố p cho p số nguyên p * Với p 2 p 8 hợp số (loại) 0,5 p * Với p 3 p 17 số nguyên tố (thỏa mãn) p 1 mod p2 1 mod p * Với (1) p 0,5 p p 1 1 mod 1 mod Ta có (do p lẻ) (2) Từ (1) (2) suy với p p p2 1 1 mod 0 mod p p2 3 p p2 hợp số b Cho dãy số tự nhiên 2,6,30,210, xác định sau: Số k 1,2,3 hạng đứng thứ k tích k số nguyên tố Biết tồn hai số hạng dãy có hiệu 30000 Tìm hai số hạng đó? Gọi hai số hạng cần tìm dãy a a 30000 với a , a 2 Vì a 30000 210 a 30000 2.3.5.7 a 300007 Mà 30000 lại không chia hết a không chia hết cho a 210 Mặt khác a 3000030 mà 3000030 a30 a 30 Vậy hai số hạng cần tìm 30 30030 Câu (3,5 điểm) x 1 * *Điều kiện xác định: Do x nghiệm phương trình nên ta xét x 1 x 1 0,5 1,5 0, 0,25 0,5 0,25 2,0 x x 4 x x 1. 1 a Giải phương trình: Ta có C 5 x 1 2 x 1 x 0,25 0,25 Trang 5/3 ĐÁP ÁN Với x x 1 ĐIỂM x chia hai vế phương trình cho 0,5 2x 2x 3 2 x 1 x 1 Ta thu phương trình t 2x Đặt x phương trình 3 trở thành 0,25 t t 2t t 2 3t 28t 44 0 2 x x 1 x x 2 x 1 4 x x 0 2x 0,5 So sánh với điều kiện thỏa mãn 2 0,25 x có nghiệm x y y x x y xy b Giải hệ phương trình: 2 x y y 1 x y 4 2 2 x x y xy 2 x x y xy 1 vào phương trình ta Thế từ phương trình x3 x y x xy y x y x y Thay x y vào phương trình ta được: ược: x 2 x Vậy phương trình 1 1,5 0,5 Hệ phương trình có nghiệm x; y là: O 2; ; 2; 0,5 0,5 Câu (4 điểm) Cho đường trịn đường kính AB cố định Gọi C O cho C khác A, B C khơng nằm điểm di động O Gọi d tiếp tuyến O cung AB Vẽ đường kính CD A Hai đường thẳng BC , BD cắt d tại E , F Trang 6/3 ĐÁP ÁN ĐIỂM a Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn b Gọi M trung điểm EF I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh rằng: AB 2.IM c Gọi H trực tâm DEF Chứng minh điểm C di động O điểm H ln chạy đường trịn cố định Hình vẽ H N B D O C F d A M E I a.Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 1,5 ) Ta có: BCD BAD (cùng chắn cung BD O A d AB Do: d tiếp tuyến Và ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đ.trịn) AD BF BFA Suy ra: BAD (cùng phụ ABF ) 0,5 0,5 Do đó: BCD DFE DCE DFE DCB DCE 180 Suy ra: tứ giác CDFE nội tiếp 0,5 b Gọi M trung điểm EF I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh rằng: AB 2.IM ME MF gt MI EF Ta có: (T/c đường kính dây cung) AB EF ( EF t/tuyến O ) MI / / AB hay MI / / OB 1 Xét FBE vuông B , trung tuyến BM MB MF MFB MBF Vì tứ giác CDFE nội tiếp BDC BEF 1,5 0,5 0,75 Trang 7/3 ĐÁP ÁN MBD BDC BFM BEM 900 BM CD Lại có IO CD (T/c đường kính dây cung) Suy ra: BM / / IO (2) Từ (1) (2) BMIO hình bình hành IM BO AB hay AB 2.IM ĐIỂM 0,25 c Gọi H trực tâm DEF Chứng minh điểm C di động O điểm H ln chạy đường trịn cố định Vì H trực tâm DEF , ta có DH / / AB (cùng vng góc với EF ) AD / / BH (cùng vng góc với FB ) Suy tứ giác ABHD hình bình hành AH AD Mà AD BC (vì ADBC hình chữ nhật) BH BC (3) Lấy N đối xứng với O qua B BO BN (4) Từ (3) (4) suy tứ giác OHNC hình bình hành NH OC R khơng đổi N điểm cố định (Vì O B cố định) O H chạy đường trịn N ; R Vậy C di động Câu 4: (1,5 điểm) 2 Cho a, b, c thỏa mãn a b c 3 chứng minh 1 a b c 9 a b c 1 1 1 a b c 9 a b c 1 a a2 a a 2 Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a b c 1 9 a b c Thật 2a a 1 a 0 0 a 0,25 0,5 0,25 0,5đ 1 a a2 a a a3 4a 5a 0 a 2 1,0 0,75đ 1 1 a ;2c c2 b 2 c 2 Chứng minh tương tự ta có: 1 1 15 a b c a2 b c 9 a b c 2 Dấu “=” xảy a b c 1 2b 0,25đ Trang 8/3