PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 135 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm, 45 phút) Hãy chọn phương án trả lời Câu Số sau số phương: A 12321 B 20172017 D C 9999 74 7 Câu Cho biểu thức Q x 10 x 2017 , biết x Khi giá trị biểu thức Q là: A Q 2016 B Q 2017 C Q 2018 D Q 2017 Câu Cho đường thẳng (d): y = 2x + Tính a b để đồ thị (d’) hàm số y = ax + b song song với (d) qua điểm M(1;-3) ta : A a b 2 B a 2 b C a b 2 D a 2 b Câu Cho hai hàm số: y 2 x 2m (d) y x 2m (d’) với m tham số Điều kiện để đồ thị (d) (d’) hai hàm số cắt điểm có hồnh độ dương là: 1 A m B m C m D m 4 4 Câu Giá trị m để hai đường thẳng (d): y = 2x – (d’): y = - x + 2m – cắt điểm trục Oy là: D Khơng có giá trị A m 1 B m C m 0 m x my 1 Câu Cho hệ phương trình Giá trị m để hệ phương trình có 2mx m m 1 y 3 nghiệm là: A m 0 B m C m 0 m D m 0 m 1 x y 3m Câu Cho hệ phương trình Giá trị m để hệ phương trình có nghiệm mx (m 1) y 2 m x; y thỏa mãn tích xy nhỏ là: A m B m C m D m x2 x x1 Câu Sau rút gọn biểu thức P với x 0; x 1 là: : x x x x 1 x 2 x1 x 1 B P D P A P C P x 1 x x 1 x 1 x1 Câu Biểu thức sau có giá trị số nguyên với số tự nhiên n: A n(n 1) B n 4n C n2 D n3 3n 2n Trang 1/6 Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC (H BC, D AB,E AC) AD.BD+AE.EC bằng: A DE C AH D 2AH B BC2 Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AD, phân giác BE ( E AC ), BE cắt AD F thì: AE DF AE AB AE BF AE AF = = = = A B C D EC FA EC BC EC FE EC FD Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Giả sử AB 6cm, BH 4cm Khi cạnh BC bằng: A 9cm C 4cm B 1,5cm D 20cm Câu 13 Cho tam giác ABC có AB=1cm; AC=2cm; góc BAC=900 Gọi M trung điểm cạnh BC, độ dài khoảng cách từ M đến cạnh AC là: A 1cm 1 B cm C cm D cm Câu 14 Cho đường trịn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm dây AB lấy điểm C cho AC=2cm Từ C hạ CD vng góc với đường kính AE D độ dài AD là: cm cm A B D cm 1,5cm C 4 Câu 15 Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt Ax C độ dài OC là: A 20cm B 25cm C 30cm D 35cm Câu 16 Bạn An cầm chìa khóa ch́ ìa mở ổ khóa Có hộp hộp có ổ khóa Nếu chìa bị lẫn vào sau nhiều bao nhiều lần mở khóa bạn An mở tất hộp A 27 B 36 C 45 D 81 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm, 90 phút) Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh x, y, z số nguyên dương thỏa mãn: x y z xy12 b) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a b c d a b c d Chứng minh rằng: a 2017 b 2017 c 2017 d 2017 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x x - x x 11 5 x - Câu (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d (khơng qua O) cắt đường trịn hai điểm A B Trên đường thẳng d lấy điểm M đoạn thẳng AB Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC MD với đường tròn (C D tiếp điểm) a) Gọi H trực tâm tam giác MCD Tứ giác CHDO hình gì? Vì sao? b) Tìm vị trí M để H nằm đường tròn (O) c) Khi M di chuyển d, chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x +y +z 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 y2 z2 Q x yz y xz z xy HẾT Họ tên thí sinh:……………………………………………….SBD:……….……… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 2/6 PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) A Một số ý chấm Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số B Hướng dẫn chấm I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) câu 0,5 điểm Câu có lựa chọn lựa chọn 0,25 điểm 1.A, D 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B,D 10.A,C 11.A,B 12.A 13.B 14.D 15.B 16.C II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) Câu (4,0 điểm): a) Chứng minh x, y, z số nguyên dương thỏa mãn: x y z xy12 b) Cho số a, b, c, d thỏa mãn: a b c d a b c d Chứng minh rằng: a 2017 b 2017 c 2017 d 2017 ĐÁP ÁN ĐIỂM a) Nhận xét: Nếu a số nguyên dương a chia cho số dư 0,25 Nếu hai số x, y khơng có số chia hết cho x y chia cho dư 2, hay z chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x, y phải có số chia hết cho Suy xy3 0,75 Nếu hai số x, y khơng có số chia hết cho x y chia cho dư 2, hay z chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x, y phải có số chia hết cho Suy xy4 0,75 Từ chứng minh ta xy chia hết cho mà 3, 1 nên xy12 0,25 2 b) Ta có a b c d a b 2ab c d 2cd ab cd 0,5 Trang 3/6 2 Mặt khác a c a d a c d a cd a a a b ab 0 Suy a c a d Ta xét hai trường hợp sau: 0,75 0.25 TH1 Nếu a c b d Do a 2017 b 2017 c 2017 d 2017 0.25 TH2 Nếu a d b c Do a 2017 b 2017 c 2017 d 2017 0.25 Câu (2,0 điểm): Giải phương trình: x + 2x - x - 3x+11= 5x -8 ĐÁP ÁN 35 Ta có: x - 3x+11= x - + x ĐKXĐ : x R 2 0,25 x + 2x -2 x - 3x+11= 5x -8 x - 3x +11- x - 3x+11 0 35 Đặt x - 3x+11 y ; y ta có Phương trình 0,5 y y 0 0,25 y Kết hợp điều kiện ta có y 3 y 3 y 1 0 y 3 0,5 x 2 2 Với y = ta có x - 3x+11=9 x - 3x+2 0 x x 1 0 x 1 S 1; 2 0,5 Câu (4,5 điểm) : Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d (không qua O) cắt đường tròn hai điểm A B Trên đường thẳng d lấy điểm M đoạn thẳng AB Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC MD với đường tròn (C D tiếp điểm) a) Gọi H trực tâm tam giác MCD Tứ giác CHDO h́ ình gì? V́ì sao? b) T́ ìm vị trí M để H nằm đường trịn (O) c) Khi M di chuyển d, chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định K C M A N H I B O D Trang 4/6 ĐÁP ÁN ĐIỂM a b) Vì H giao điểm đường cao nên CH MD, mà MD OD nên CH // OD (1) 0,25 Tương tự ta có DH // OC (2) 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta có tứ giác CHDO hình bình hành Mà OC = OD = R nên tứ giác CHDO hình thoi 0,25 b) Giả sử H thuộc (O) OCHD hình thoi nên tam giác OHC suy góc MOC =600 OM Khi tam giác vng MOC ta có OC OM CosMOC R 2 R Cos 600 Vậy M giao đường tròn tâm O bán kính 2R đường thẳng d H thuộc (O) 0,5 0,75 0,25 c) NMO đồng dạng IKO (hai tam giác vng có góc nhọn chung), nên ON OM , suy ON.OK = OI.OM OI OK (1) Tam giác vuông DMO, DI đường cao, ta có: OD2 = OI.OM = R2 (2) Từ (1) (2) ta có ON.OK = R2, suy OK = 0,5 0,5 R2 ON 0,5 Vì đường thẳng d cố định, ON cố định độ dài ON không đổi, R không đổi nên K cố định Vậy CD qua điểm cố định Câu ( 1,5 điểm): 2 Cho số thực dương x, y, z thỏa măn x y z 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y2 z2 Q x yz y xz z xy ĐÁP ÁN +) x yz x yz x yz x2 1 4 x yz x yz yz 1 1 1 (2) yz y z yz y z x2 1 1 Từ (1) (2) => : x yz y z +) y2 1 1 ; Tương tự : y xz x z z2 1 1 z xy x y 1 1 1 xy yz xz (3) y z x z x y 2xyz 2 Lại có xy yz xz x y z 3xyz (4) 3xyz Từ (3) (4) có Q 2xyz Nên Q ĐIỂM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 5/6 x yz; y xz; z xy 1 1 Max(Q) x y z 1 x y z xy yz xz x y z 3xyz 0,25 HẾT Trang 6/6