PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Cho biểu thức P x2 x x x với x 1; x 2 Giá trị biểu thức P x 3 là: A 2 B 2 C 2 D 2 Câu Số sau số phương: A 20182019 B 20 14 20 14 C 45677635 D 2016.2017.2018.2019+1 Câu Cho đường thẳng d : y k x Giá trị k để khoảng cách từ gốc 10 là: A k 5; k 1 B k 5; k C k 5;k D k 2; k 5 Câu Cho hai đường thẳng d : y 2 x 2m d ' : y x 2m Điều kiện m để hai đường thẳng d d ’ cắt điểm nằm bên phải trục tung là: tọa độ đến đường thẳng d A m B m C m D m Câu Cho phương trình x x m 0 (với m tham số) Gọi x1; x2 hai nghiệm 2 phương trình Giá trị lớn biểu thức P x1 x1 1 x2 x2 1 là: 1 A B C D 2 Câu Cho phương trình x a b c x ab bc ca 0 1 (với a, b, c độ dài cạnh tam giác) Khẳng định đúng? A 1 có nghiệm kép B 1 có hai nghiệm trái dấu C 1 có hai nghiệm dương D 1 vô nghiệm x my 2 Câu Có giá trị nguyên m để để hệ (với m tham số) mx y có nghiệm x, y mà x y ? A B C D Trang 1/8 Câu Cho Parabol P : y 2 x đường thẳng d : y m điều kiện m để d cắt P hai điểm A; B cho OAB là: 3 A B C D Câu Cho ABC ,đường trung tuyến AM từ điểm D cạnh BC D M , vẽ đường thẳng d song song với đường trung tuyến AM , d cắt AB E , cắt AC F Hệ thức sau sai: AE MD AE AB DE BD B A C D DE+EF=2.AM AB MC AF AC AM MD Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi x; y; z bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; ABH; ACH Khi ta có: A x = y+z B x2 = y2+z2 C x y z D x y z Câu 11 Cho hình thang ABCD vng A, D Đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC , biết AD 12 cm , BC 20 cm Khi AB ? A cm B cm C 15 cm D 13 cm Câu 12 Cho ABC nhọn Hai đường cao AD, BE cắt H Biết H trung điểm AD Khi tanB.tanC ? 2 A B C D Câu 13 Cho góc nhọn , mệnh đề sau đúng: A sin tan B cot cos C cot cos D sin cos Câu 14 Hai đường tròn O; R I ; r tiếp xúc với A , BC tiếp tuyến chung B O C I Khi độ dài BC tính theo R, r là: A R r B R r C Rr D Rr Câu 15 Cho nửa đường tròn O; R đường kính MN Vẽ tiếp tuyến Nx N O Gọi K điểm tùy ý tia Nx , nối MK cắt O I Khi giá trị nhỏ 2.MI MK bằng? C 2R D 2R 1 R A B R Câu 16 Một lớp có 40 học sinh Các bạn đăng ký học thêm hai mơn Tốn, Văn Trong 30 học sinh đăng ký mơn Tốn, 25 học sinh đăng ký môn Văn Số học sinh đăng ký hai môn là: A 10 B 15 C 20 D 25 Trang 2/8 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a Chứng minh p, q số nguyên tố lớn p q chia hết cho 24 b Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c 1; a b c 1; a b3 c3 1 Chứng minh: a 2017 b 2018 c2019 1 Câu (3,5 điểm) a Giải phương trình: x3 x 3x x x x x xy x 7 y b Giải hệ phương trình: 2 x y xy 13 y Câu (4,0 điểm) Cho đường trịn (O) có dây BC cố định không qua tâm O Điểm A di động đường tròn cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC đoạn thẳng KA cắt (O) M Chứng minh rằng: a Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn b KM KA KB.KC c Đường thẳng MH qua điểm cố định A di động đường trịn (O) cho tam giác ABC có ba góc nhọn Câu (1,5 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z 2018 2018 2018 x y z Tìm giá trị nhỏ của: P x y 2018 y HẾT Họ tên thí sinh .SBD Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/8 PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu A Câu C Câu B;D Câu 10 B Câu C Câu 11 A Câu B Câu 12 C Câu C Câu 13 A;C Câu D Câu 14 C Câu D Câu 15 D Câu A Câu 16 B II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Hướng dẫn giải điểm Câu a Chứng minh p, q số nguyên tố lớn p q chia hết cho 24 Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Mặt khác ta có p 1 p p 1 3 p 13 (*) a Vì p 1; p hai số chẵn liên tiếp nên số bội , số bội ( 1,5 điểm) Do p 1 p 1 p 18 (**) Mặt khác 8,3 1 (***) 0,5 0,5 Từ (*), (**) (***) suy p 124 0,25 2 2 Tương tự ta có: q 124 p 1 q 1 p q 24 0,25 b Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c 1; a b c 1; a b3 c3 1 Chứng minh: a 2017 b 2018 c2019 1 Ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 0,25 3abc 1 ab bc ca ab bc ca 3abc 0,25 12 a b c a b c ab bc ca b ( 1,5 điểm) a 0 ab bc ca 0 abc 0 b 0 c 0 0,25 b c 1 2 Nếu a = => b c 1 b3 c 1 0,5 b c2 2bc 1 2bc 0 (a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(0,1,0) Nếu b = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(1,0,0) 0,25 Trang 4/8 Nếu c = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) (a,b,c) =(1,0,0) Vậy trường hợp ta có P = 3,5 điểm Câu c Giải phương trình: a (1,75 điểm) x3 x 3x x x x x x x 3x 0 x 0 x 0 + Điều kiện xác định: x 0 x x 0 0,25 + Viết lại phương trình x 1 x 3 x x x x 1 2x + Phương trình 2x + Phương trình x 0 x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) x2 x 0 x 0 x x 0 vô nghiệm 0,5 0,25 + Kết luận nghiệm PT x = b ( 1,75 điểm) 0,5 0.25 xy x 7 y * b Giải hệ phương trình: 2 x y xy 13 y 1 0 y 0 Thay y 0 vào hệ ta có: 0,25 x x 7 y y xy x 7 y ** Với y 0 ta có: 2 x x y xy 13 y x 13 y y2 0,25 0,5 a x y x a 2b Đặt y b x y a 4 a b 7 b 3 Kết hợp với ** ta có hệ phương trình: a b 13 a b 12 Trang 5/8 Với x 3 y 1 x y a 4 x 1 b 3 3 y y 0 y 1 x y a Với x b 12 12 y 0, 25 x 12 y 12 y y 0 0,25 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: x; y 3;1 ; x; y 1; 3 0,25 Cho đường trịn (O) có dây BC cố định không qua tâm O Điểm A di động đường trịn cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC đoạn thẳng KA cắt (O) M Chứng minh Câu a Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn điểm b KM KA KB.KC c Đường thẳng MH qua điểm cố định A di động đường tròn (O) a (1 điểm) Do BE;CF đường cao tam giác Do tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp 0,5 nên 0,5 Trang 6/8 Vì tứ giác AMBC nội tiếp nên KMB KCA b (1,0 điểm) 0,25 0,25 chung; KMB KBM ~ KCA (g.g) Xét KBM KAC có K KCA KB KM KM KA KB.KC (1) (ĐPCM) KA KC 0,5 Chứng minh tương tự phần b ta có KE.KF KB.KC (2) Từ (1); (2) suy KM KA KE.KF Từ KM KA KE.KF suy tứ giác EFMA nội tiếp (3) Có AEH AFH 900 suy tứ giác AEHF nội tiếp(4) Từ (3),(4) suy điểm A,M,F,H,E thuộc đường trịn c Do AMH AFH 900 (2 điểm) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua O Chứng minh M,H,A’ thẳng hàng 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh BH//CA’; CH//BA’ nên BHCA’ hình bình hành Suy MH qua trung điểm I cố định BC 0,25 0,25 Cho số dương x,y,z thỏa mãn x y z 2018 Tìm giá trị nhỏ của: 2018 2018 x y z Câu P x y 2018 y 2018 2018 x y z P x y 2018 y (1,5 điểm) x y z x y z y 4z x y xz 1,5 điểm 0,5 y x zx xz 4x 4y 3 x y xz xz x y y x 2 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: x y 0,25 zx 4x z x 4x 2 2.2 4 x xz x xz Tương tự : 0,25 xz 4y 4 y xz Suy P + – = Đẳng thức xảy x y z 2018 0,25 Trang 7/8 Kết luận: Pmin 7 x y z 2018 0,25 Trang 8/8