PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM KHÊ ĐỀ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Ngày thi: /12/2018 Đề thi có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) (Khoanh vào chữ trước câu trả lời nhất) x y Câu Cho x > y > 2x2 + 2y2 = 5xy Giá trị biểu thức P= x y bằng: A B -3 C 4 4 B 2n 2n D Câu Rút gọn Pn= , với n 1 kết quả: 25 (2n 1) A C 2n 2n D (2n 1) Câu Tính y = 13 13 13 kết là: A y= B y= 13 C y=5 D y=3 Câu Cho hàm số y=f(x)= x x Tất giá trị x để f(x)≤1 là: A ≥ x ≥ B ≤ x ≤ C x ≤ D x ≥0 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp điểm có tọa độ (x,y) thỏa mãn y = |x - 1| + |y - 2| = là: A Cạnh hình vng B Cạnh hình chữ nhật C Đường trịn D Đường thẳng Câu Nghiệm phương trình 25 x 15 x 2 là: A x= 51 B x= 51 C x= 51 D x= Câu Tất số tự nhiên n để 2n + chia hết cho là: A n=2k+1 (k=0,1,2, ) B n=2k (k=1,2,3 ) C n N D n=1 49 Câu Năm 2018 người hỏi nhà Toán học tuổi.Nhà Tốn học nói 45 năm trước tuổi ông tổng chữ số năm sinh Vậy năm 2018, nhà Toán học tuổi? A 45 B 73 C 64 D 65 Câu Tính A= sin210o + sin220o + + sin270o + sin280o kết là: A B C 400 D Câu 10 Giá trị nhỏ M= ( x 2018)2 ( x 2019) là: A 2018 B C 2019 D -1 Câu 11 Cho tứ giác lồi ABCD bất kỳ, đường chéo AC, BD Khẳng định đúng: A AB+CD < AC+BD B AB+CD > AC+BD C AB+CD ≥ AC+BD D AB+CD ≤ AC+BD Câu 12 Cho ∆ABC có đường cao BH ≥ AC, CK ≥ AB ∆ABC tam giác gì? A Tam giác B Tam giác cân C Tam giác D Tam giác vuông Câu 13 Cho ∆ABC, trung tuyến CM vng góc với trung tuyến BN Giá trị nhỏ M = CotB + CotC bằng: A B C D 3 Câu 14 Cho ∆ABC nội tiếp (O;R) Diện tích ∆ABC đạt giá trị lớn bằng: A R2 ∆ABC vuông cân C B R ∆ABC R ∆ABC D Kết khác Câu 15 Cho hình thang cân (AB//CD) ngoại tiếp đường trịn (O;R) Tích AB.CD bằng: A 2R C 4R2 B 4R D 2R Câu 16 Cho ∆ABC có số đo góc nhỏ 45O, cạnh nhỏ có độ dài đv trung điểm đường cao thẳng hàng Diện tích ∆ABC bằng: A B C 2 D Một kết khác PHẦN II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0đ) Tìm tất giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = Tìm số phương nhỏ có bốn chữ số bội 147 Câu (3,5đ) a b c 1 Cho ab bc ca 0 abc 0 Tính giá trị M a 2018 b 2019 c 2020 5 x y x xy Giải hệ phương trình: 2 x x y 3y Câu (3,5đ) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên Cx lấy điểm D E cho CE CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt CB CD đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC H (H≠C) Chứng minh a Ba điểm A, H, E thẳng hàng b Ba điểm B, D, H thẳng hàng c Đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn AB Câu (2,0đ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a ab b bc c ca Họ tên: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM HSG VĂN HÓA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN I TRẮC NGHIỆM Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đ/A C B D A A C A C D B A D C B C A II TỰ LUẬN Câu (3,0đ) Tìm tất giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = Tìm số phương nhỏ có bốn chữ số bội 147 Đáp án Tìm tất giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn: 4x2 + 31y2 +17xy = 17 x y 0 x 0 17 207 x y y y 0 207 y Vậy cặp số nguyên thỏa mãn (x; y) = (0; 0) Gọi n số phương có chữ số cần tìm Điểm 0,75 0,25 Ta có 103 ≤ n < 104 n = 147k, với 0,25 n = 72.3k Do n phương nên k 3 k 3k ' 0,25 Do 103 ≤ 72.32.k’ ≤ k’ n = 72.32.4 = 1764 0,25 Vậy số phương cần tìm là: n = 1764 0,25 Câu (3,5đ) a b c 1 Cho ab bc ca 0 abc 0 Tính giá trị M a 2018 b 2019 c 2020 5 x y x xy Giải hệ phương trình: 2 x x y 3y Đáp án Tính giá trị M a 2018 b 2019 Điểm c 2020 a 0 a b c 1 abc 0 b 0 c 0 b c 1 Nếu a=0 bc 0,5 a 0 a 0 b 0 b 1 ; b 0 b 1 c 1 c 0 c 1 c 0 0,5 a 0 a 1 Nếu b=0 b 0 b 0 c 1 c 0 0,25 a 1 a 0 Nếu c=0 b 0 b 1 c 0 c 0 0,25 Như trường hợp M = 5 x y x xy Giải hệ phương trình: 2 x x y 3y Dễ thấy x = 0, y = nghiệm hệ 0,25 Với x ≠ 0, đặt x=ty ( t R ) Khi 0,5 x (5 3t ) (1 3t ) x (5 3t ) x (1 3t ) 3 2 x (1 3t ) x (1 t ) (5 3t )(1 t ) (1 3t )(1 3t ) 0,5 x (5 3t ) (1 3t ) x (5 3t ) (1 3t ) 2 9t 5t 0 (t 1)(9t 4) 0 x t 1 t x 0,5 x x y y 1 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 0); ( 1 ; ); (-1; 1) 2 Câu (3,5đ) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên Cx lấy điểm D E cho CE CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt CB CD đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC H (H≠C) Chứng minh a Ba điểm A, H, E thẳng hàng b Ba điểm B, D, H thẳng hàng c Đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn AB Đáp án Câu 3a Ba điểm A, E, H thắng hàng Điểm E H D A B C CA CB Ta có ACD ECB ; CE CD CAD CEB ADC EBC 0,5 Mà ADC AHC (Cùng chắn cung AC) 0,5 EBC AHC 0,5 Ta có AHE AHC CHE CHE EBC 180o => A, H, E thẳng hàng Câu 3b Ba điểm B, D, H thắng hàng 0,5 Kéo dài AD cắt EB K, ta có: KAB KBA 90o AKB 90o AK EB mà EC AB => D trực tâm ∆EAB Vậy BD AE mà DH AE B, D, H thẳng hàng Câu 3c Đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển 0,25 0,25 đoạn AB 90o , có CA Ta có AHC ADC , ACD có C CD 0,5 ACD nửa tam giác ADC 60o AHC 60o 0,25 Đường thẳng HC qua điểm I thuộc đường trịn đường kính AB mà 0,25 sd AI 120o Câu (2,0đ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a ab b bc c ca Đáp án Vì ab bc ca nên P Điểm ab bc ca ab bc ca ab bc ca a ( a b) b(b c) c (c a ) 0,25 0,5 c b a c b a P a a b b b c c a c ca a a b b b c c 3 c a b 4a a c 4b a b 4c b c a b c Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 0,25 ca a a b b b c c c a b 1; 1; 1; 3 4a a c 4b a b 4c b c a b c 9 P 1 MinP a b c 4 2