PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) Lưu ý: Thí sinh làm vào tờ giấy thi; không làm vào đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho hàm số y = (m - 2)x + 2m - (m tham số) Khi m thay đổi đồ thị hàm số qua điểm cố định A Điểm cố định A có tọa độ là: A A 2;3 B A 2; 3 C A 2;3 Câu Giá trị nhỏ nhất biểu thức Q A B x 1 2 D A 3; x là: C Câu 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = D (m2 +1)x + 5m + (d2): y = (4m 2)x + 19 Biết (d1) song song (d2), giá trị m là: B m 1;3 A C khơng có giá trị m D Câu 4: Đường thẳng: (2m + 3)x + (m + 5)y + 4m - 1= qua điểm cố định với m Tọa độ điểm cố định là: A (3;2) B (-3;-2) C (-3;2) D (3;-2) Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng: ( d1 ): y = x - 4; ( d ): y = -2x - ( d3 ): y = mx + Tìm giá trị m để ba đường thẳng cho đồng quy A - B C D -3 Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m - 2)x + Gọi h khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất h A B C D Câu 7: Rút gọn biểu thức : A a2(3-a); B a (3 a ) - a2(3-a) ; với a ta được: C a2(a-3) ; D -a2(a-3) Câu 8: Với x 1 , giá trị rút gọn biểu thức: A x 2x x 2x là: A 0; B 2x ; C 2; D Câu 9: Cho ABC vng A Có AH đường cao H BC Kẻ HE , HF vng góc AB, AC E AB; F AC Hệ thức sau đúng? A EF AB AE B AB AH EF C HF AE AB D AB AE AC AF 2.EF Câu 10 Cho tam giác ABC có BAC 900 , đường cao AH Biết AB AC , BH 3 cm Độ dài cạnh BC A 10 cm B 11 cm C 12 cm D 15 cm Câu 11: Cho tam giác ABC có B 540 ; C 180 nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Giá trị biểu thức AC - AB bằng: A R B 2R C R D R Câu 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE,CF cắt đường tròn (O) theo thứ tự M, N, K Tính AM BN CK ta kết AD BE CF là: A 3,5 B C D Câu 13: Cho đường tròn (O; 2), tiếp tuyến AB AC kẻ từ A đến đường trịn vng góc với A (B, C tiếp điểm), M điểm cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự D E Chu vi tam giác ADE bằng: A B C D Câu 14: Cho đường tròn (O), hai dây AB CD song song với nhau, biết AB = cm; CD = cm, khoảng cách hai dây 3,5 cm Bán kính đường trịn (O) là: A 1,5 cm B cm C 2,5 cm D cm Câu 15: Cho biểu thức Q x x x x 45 x x 15 x 2 ( x 0; x 25 ) Giá trị x 3 nhỏ nhất Q là: A B C D Câu 16: Gọi M điểm di động đường trịn đường kính AB = 2R Giá trị lớn nhất MA MB A 3R B R C 3R D 2R B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c các số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: y y 62 ( y 2) x ( y y 8) x Câu (3,0 điểm) Giải các phương trình 1) x 3 x 3 16 x 2 2) x2 x x 0 Câu (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N các tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn các điểm P điểm Q (P nằm A Q) a) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z các số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng: xz y2 x 2z y yz xz yz x z - HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) Câu C C Không C A D 10 11 12 13 14 Câu A,D C C B B C B,C 15 C D 16 D B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) (1,25 điểm) (a + b + c) (a, b, c Z) Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k2 - 4ak - 4ck + ac)(4k – b) – abc = 64k3 - 16bk2 - 16ak2 + 4abk - 16ck2 + 4bck + 4ack - abc - abc 2 = 16k 4bk 4ak abk 4ck bck ack 2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư (a + b + c) chia dư (1) Mà: (a + b + c) (a + b + c) (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn Điều giả sử sai Trong ba số a, b, c nhất có số chia hết cho 2abc (**) Từ (*) (**) P 0,25 0,5 0,25 0,25 (1,75 điểm) Ta có (1) y y 3 56 ( y 2) x y y x 0,25 y x y x y 3 56 x 1 y x y 3 56 0,25 Nhận thấy y x 1 x y 3, nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba số nguyên mà tổng hai số đầu số cịn lại Như ta có ) 56 1.7.8 x; y 2;9 0,25 0,25 0,25 ) 56 7.1.8 x; y 8;3 ) 56 x; y 7;3 ) 56 1 x; y 2; 0,25 ) 56 1 x; y 7;9 ) 56 7 1 x; y 8; 0,25 Vậy phương trình có nghiệm nguyên Câu (3,0 điểm) 3 x 3 Giải Phương trình: x 3 16 x 2 a) ĐKXĐ: x 2 3 x 3 x 3 16 x 2 3 x x 3 x x 3 3 x 16 x 3 x x 2 x x 3 x 3 3 16 x x x 3 0,25 0,25 , ta t 3t 16 0 t t t 0 x Lí luận để có t = -4 2 x 3 Vơi t = -4, x x x x 1 0 x 1 x Vậy: PT có nghiệm x 1 Giải phương trình x x x 0 Điều kiện xác định: x 2 Phương trình cho tương đương với x x x 3 x 0 Đặt t = 0,5 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt y x 0 , phương trình đưa dạng x y x x y y 0 x y x y 1 0 y x + Giải (1) ta x 3 + Giải (2) ta x 1 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;3 Câu (4,0 điểm) Hình vẽ: M A H P B E O Q D K I N C d 3a) (2,0 điểm) Gọi I trung điểm BC suy IO BC ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB , CAN chung) ACN AB AN AB.AC = AN2 AN AC ANO vuông N, đường cao NH nên AH.AO = AN2 AB.AC = AH.AO (1) AHK đồng dạng với AIO (g.g) 0,5 0,5 0,5 Nên AH AK AI AK AH AO (2) AI AO Từ (1) (2) suy AI.AK AB.AC AK AB AC AI Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi Mà A cố định, K giao điểm BC MN nên K thuộc tia AB K cố định (đpcm) 0,5 ME MH MQ DQ MP MH MH PMH đồng dạng MQH (g.g) MQ QH 2DQ MP ME ME = MP P trung điểm ME MQ MQ 3b) (2,0 điểm) Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) 0,5 0,5 1,0 Câu (2,0 điểm) y2 2z 1 xz y2 x 2z yz x Ta có P xz z y y yz xz yz x z 1 1 yz x yz x 2z y 1 2 y x a b 2c , z y x z b2 1 a 1 c2 1 1 z y x x y z a , b , c a, b, c y z x x 2 Nhận xét a b 1 x z z c 2 2 2 a2 b2 2ab a a 1 ab 1 b b 1 ab 1 2aba a 1 b 1 Xét b 1 a 1 ab 1 a2 1 b2 1 ab 1 xz yz ab a b a b a b3 a b a 1 Đẳng thức xảy a b 2 2 2c 2 c c 2c c c Khi c c2 1 2 c c2 0,25 0,25 0,25 0 1 b 1 ab 1 a2 b2 2ab c Do b a ab 1 1 c c 0,25 0,25 0,25 1 c 3c 3c c 0 c c2 1 c 1 c2 c 1 Từ 1 suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b, c 1 x y z 0,25 0,25 Lưu ý: Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa