Toan 9 phu ninh (19 20)

PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH KỲ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi có 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Vịng I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1: Giá trị biểu thức  2  57  40 A  B  C  Câu 2: Cho hai số thực a b thỏa mãn a  b biểu thức P  D 1  a  b Khẳng định ? A P  a b B P  b a C P a  b D P b  a Câu 3: Giá trị x để biểu thức N  x  x đạt giá trị lớn A B C 13 D Câu 4: Giá trị nhỏ y 2  x  x  A  B  C  D  Câu 5: Nghiệm phương trình x  3x   x   x   x  x  A  B C Vô nghiệm D Vô số nghiệm Câu 6: Với a  0; b  0; b 1 , rút gọn biểu thức A  a b B a a b b : kết a 1 b1 a b C a 1 b1 D C  x  D b1 a 1 Câu 7: Giá trị x thỏa mãn A x  25 x    B x   x  25 Câu 8: Số nghiệm phương trình A B x  x   x  x   x  x  3  C D 1 1     Câu 9: Giá trị biểu thức Q   2 3 4 99 100 100 99 A B C D 10 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , để ba đường thẳng y 2 x  5; y  x  y ax  12 đồng quy điểm giá trj a A B C  D Câu 11: Giá trị nhỏ biểu thức N   x  x  A 10 B C D 10 Câu 12: Tam giác ABC vng A có đường cao AH , AB 20 cm; HC 9 cm Độ dài đường cao AH A 10 B 12 C 16 D 25  Câu 13: Cho góc nhọn thỏa mãn tan   cot  3 Giá trị D sin  cos  A B C D 3 Trang 1/3 Câu 14: Giá trị biểu thức T cos 10  cos 20  cos 30   cos 880  cos 890 A 90 B 45 C 44,5 D Câu 15: Cho đường tròn  O; 25 cm  hai dây MN / / PQ có độ dài theo thứ tự 40 cm; 48 cm Khoảng cách hai dây MN PQ A 22  cm  B  cm  C 22  cm   cm  D Tất sai  Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Tia phân giác HAB cắt HB D BC  15 cm; DK  , cm ; DK  AB Biết Độ dài AC A  cm   cm  B 11,  cm  C 18,  cm  D 11,  cm  II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a Chứng minh a a  số nguyên tố a  số nguyên tố b Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x  y   z  x  y  z Câu (2 điểm)  x 1 x   x 5     Cho biểu thức P    :  1 x  x  x  x 1   x  a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P   Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: x  x x 3x    x  1 x Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng đường thẳng CD F Đường thẳng d qua A vng góc với qua điểm A; cắt BC E cắt AE cắt tia CD K 1  2 AB AE AF b Gọi M trung điểm cạnh CD Tính theo a bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Cho nửa đường trịn  O; R  đường kính AB , điểm M di động nửa đường tròn a Chứng minh:  O; R  ;  AM  BM  C điểm tia AM cho AC BM Chứng minh đường thẳng d vng góc với AM C ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) Cho a,b số dương Chứng minh rằng: 2 2019  a  b  2020  a  b  a b  2   b a a  4036ab  b a  4038ab  b HẾT Trang 2/3 PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Vòng LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu C Câu D Câu B Câu 10 D Câu D Câu 11 A Câu D Câu 12 B Câu B Câu 13 C Câu B Câu 14 C Câu D Câu 15 C Câu A Câu 16 A II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu a ( 1,5 điểm) Hướng dẫn giải a Chứng minh a a  số nguyên tố a  số nguyên tố Với a số nguyên tố nên a 2  a   3; a   Nếu a không chia hết cho a ln chia dư  a  83 Do a  hợp số => Để a  số nguyên tố a phải chia hết cho Mà a số nguyên tố nên a = Khi a  17 a  11 số nguyên tố Vậy a a  số nguyên tố a  số nguyên tố b Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x  y   z  x  y  z điểm 0,5 x  y   z x  y  z  x  x   y   y    z  z  0 b ( 1,5 điểm)    y   1    x  0      y   1 0   z  1 0   x1   z  0 2 Câu a (1đ)  x 1 x x 5    x  :  x  x 1   x    x 5   2điểm  Cho biểu thức P    :    x   x  x  x 1   x  a Rút gọn biểu thức P ĐK: x 0; x 1  P    x 1   x x 1     x  x  x 1  x  x    x1   x 1     :  x 1   x  5 x  1  x  1  x 1 x1 Trang 3/3  x  x 1   x :   x  x  x 1  x1 x 1 x b Tìm x để P   Với x 0; x 1 ta có x 1 P   1   1 x  x 1  x1   x1  x 1 x  Voi x 4   b ( 1đ) Câu x 1  x  0 x 2 x1 1 0  x 2  x4 x Vậy với  x  x 1 P    Giải phương trình: x  x x 3x    x  1 x 1,5 điểm x  x  x x    x  1 x  x  10 x  x 3x    x  1 x 0 ĐK: x    x  x    x  1 x  x    x  x x   x  1 0   x 1  5x   x  3x   0  x   x 0  x  x  5 x    x  x  0   x  x  0  x 3x   3 x    3 x    t / m  t / m Vậy Câu 4 điểm Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng qua điểm A; cắt BC E cắt đường thẳng CD F Đường thẳng d qua A vng góc với AE cắt tia CD K 1  2 AB AE AF a Chứng minh: b Gọi M trung điểm cạnh CD Tính theo a bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB H A B 2đ O E I K 1đ D M C F a ABE ADK  AE  AK Trang 4/3 AFK vng A có AD  FK 1 1     2 2 AB AK AF AE AF b Gọi H trung điểm AB  MH  AB M (vì ABM cân M) a a Có MH  a; AH   AM  2 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABM  O  MH 1đ Kẻ OI  AM I  AI MI  a AHM có cos AMH  MH  AM OIM có cos AMH  MI MI a 5a  OM   :  OM cos AMH Vậy Cho nửa đường tròn  O; R  đường kính AB , điểm M di động nửa đường tròn  O; R  ;  AM  BM  C điểm tia AM cho AC BM Chứng minh đường thẳng d vng góc với AM C qua điểm cố định P M 2đ C A O B d Kẻ Ax vng góc với AB, cắt d P AMB 900 ( chắn nửa đtrịn)    Khi MBA , mà AC = BM PAC 900  MAB CAP MBA  cgv  gn   AP  AB => P cố định Câu Cho a,b số dương Chứng minh rằng: 1,5 điểm Trang 5/3 2 2019  a  b  2020  a  b  a b  2   b a a  4036ab  b a  4038ab  b Đặt 2 2019  a  b  2020  a  b  P 2   2 a  4036ab  b a  4038ab  b 2  2019  a  b  2  2020  a  b  2  a  b   4038ab  a  b   4040ab 2 (1,5 Do  a  b  0   a  b   4038ab 4038ab;  a  b   4040ab 4040ab điểm) 2 2019  a  b  2020  a  b  a  b  a  b  2ab  P 2   2  2  4038ab 4040ab a b a b  P 2      b a b a ab ab 0,25 0,25 2019  a  b  2020  a  b  Vậy a  b 2   b a a  4036ab  b a  4038ab  b Trang 6/3