PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH KỲ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi có 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Vịng I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1: Giá trị biểu thức 2 57 40 A B C Câu 2: Cho hai số thực a b thỏa mãn a b biểu thức P D 1 a b Khẳng định ? A P a b B P b a C P a b D P b a Câu 3: Giá trị x để biểu thức N x x đạt giá trị lớn A B C 13 D Câu 4: Giá trị nhỏ y 2 x x A B C D Câu 5: Nghiệm phương trình x 3x x x x x A B C Vô nghiệm D Vô số nghiệm Câu 6: Với a 0; b 0; b 1 , rút gọn biểu thức A a b B a a b b : kết a 1 b1 a b C a 1 b1 D C x D b1 a 1 Câu 7: Giá trị x thỏa mãn A x 25 x B x x 25 Câu 8: Số nghiệm phương trình A B x x x x x x 3 C D 1 1 Câu 9: Giá trị biểu thức Q 2 3 4 99 100 100 99 A B C D 10 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , để ba đường thẳng y 2 x 5; y x y ax 12 đồng quy điểm giá trj a A B C D Câu 11: Giá trị nhỏ biểu thức N x x A 10 B C D 10 Câu 12: Tam giác ABC vng A có đường cao AH , AB 20 cm; HC 9 cm Độ dài đường cao AH A 10 B 12 C 16 D 25 Câu 13: Cho góc nhọn thỏa mãn tan cot 3 Giá trị D sin cos A B C D 3 Trang 1/3 Câu 14: Giá trị biểu thức T cos 10 cos 20 cos 30 cos 880 cos 890 A 90 B 45 C 44,5 D Câu 15: Cho đường tròn O; 25 cm hai dây MN / / PQ có độ dài theo thứ tự 40 cm; 48 cm Khoảng cách hai dây MN PQ A 22 cm B cm C 22 cm cm D Tất sai Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Tia phân giác HAB cắt HB D BC 15 cm; DK , cm ; DK AB Biết Độ dài AC A cm cm B 11, cm C 18, cm D 11, cm II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a Chứng minh a a số nguyên tố a số nguyên tố b Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x y z x y z Câu (2 điểm) x 1 x x 5 Cho biểu thức P : 1 x x x x 1 x a Rút gọn biểu thức P b Tìm x để P Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: x x x 3x x 1 x Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng đường thẳng CD F Đường thẳng d qua A vng góc với qua điểm A; cắt BC E cắt AE cắt tia CD K 1 2 AB AE AF b Gọi M trung điểm cạnh CD Tính theo a bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Cho nửa đường trịn O; R đường kính AB , điểm M di động nửa đường tròn a Chứng minh: O; R ; AM BM C điểm tia AM cho AC BM Chứng minh đường thẳng d vng góc với AM C ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) Cho a,b số dương Chứng minh rằng: 2 2019 a b 2020 a b a b 2 b a a 4036ab b a 4038ab b HẾT Trang 2/3 PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Vòng LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu C Câu D Câu B Câu 10 D Câu D Câu 11 A Câu D Câu 12 B Câu B Câu 13 C Câu B Câu 14 C Câu D Câu 15 C Câu A Câu 16 A II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu a ( 1,5 điểm) Hướng dẫn giải a Chứng minh a a số nguyên tố a số nguyên tố Với a số nguyên tố nên a 2 a 3; a Nếu a không chia hết cho a ln chia dư a 83 Do a hợp số => Để a số nguyên tố a phải chia hết cho Mà a số nguyên tố nên a = Khi a 17 a 11 số nguyên tố Vậy a a số nguyên tố a số nguyên tố b Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x y z x y z điểm 0,5 x y z x y z x x y y z z 0 b ( 1,5 điểm) y 1 x 0 y 1 0 z 1 0 x1 z 0 2 Câu a (1đ) x 1 x x 5 x : x x 1 x x 5 2điểm Cho biểu thức P : x x x x 1 x a Rút gọn biểu thức P ĐK: x 0; x 1 P x 1 x x 1 x x x 1 x x x1 x 1 : x 1 x 5 x 1 x 1 x 1 x1 Trang 3/3 x x 1 x : x x x 1 x1 x 1 x b Tìm x để P Với x 0; x 1 ta có x 1 P 1 1 x x 1 x1 x1 x 1 x Voi x 4 b ( 1đ) Câu x 1 x 0 x 2 x1 1 0 x 2 x4 x Vậy với x x 1 P Giải phương trình: x x x 3x x 1 x 1,5 điểm x x x x x 1 x x 10 x x 3x x 1 x 0 ĐK: x x x x 1 x x x x x x 1 0 x 1 5x x 3x 0 x x 0 x x 5 x x x 0 x x 0 x 3x 3 x 3 x t / m t / m Vậy Câu 4 điểm Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng qua điểm A; cắt BC E cắt đường thẳng CD F Đường thẳng d qua A vng góc với AE cắt tia CD K 1 2 AB AE AF a Chứng minh: b Gọi M trung điểm cạnh CD Tính theo a bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB H A B 2đ O E I K 1đ D M C F a ABE ADK AE AK Trang 4/3 AFK vng A có AD FK 1 1 2 2 AB AK AF AE AF b Gọi H trung điểm AB MH AB M (vì ABM cân M) a a Có MH a; AH AM 2 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABM O MH 1đ Kẻ OI AM I AI MI a AHM có cos AMH MH AM OIM có cos AMH MI MI a 5a OM : OM cos AMH Vậy Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB , điểm M di động nửa đường tròn O; R ; AM BM C điểm tia AM cho AC BM Chứng minh đường thẳng d vng góc với AM C qua điểm cố định P M 2đ C A O B d Kẻ Ax vng góc với AB, cắt d P AMB 900 ( chắn nửa đtrịn) Khi MBA , mà AC = BM PAC 900 MAB CAP MBA cgv gn AP AB => P cố định Câu Cho a,b số dương Chứng minh rằng: 1,5 điểm Trang 5/3 2 2019 a b 2020 a b a b 2 b a a 4036ab b a 4038ab b Đặt 2 2019 a b 2020 a b P 2 2 a 4036ab b a 4038ab b 2 2019 a b 2 2020 a b 2 a b 4038ab a b 4040ab 2 (1,5 Do a b 0 a b 4038ab 4038ab; a b 4040ab 4040ab điểm) 2 2019 a b 2020 a b a b a b 2ab P 2 2 2 4038ab 4040ab a b a b P 2 b a b a ab ab 0,25 0,25 2019 a b 2020 a b Vậy a b 2 b a a 4036ab b a 4038ab b Trang 6/3