Hsg toan 9 đề chính thức 2023 quảng ninh bảng a

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Môn thi TOÁN – Bảng A Ngày thi 14/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Mơn thi: TỐN – Bảng A Ngày thi: 14/3/2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) P a) Rút gọn biểu thức b) Giải phương trình a 2   a 3 a  a   3x   x  4 x 1 a , với a 0; a 4 Câu (4,0 điểm)  x  xy  y  y   x    x  y 1  y a) Giải hệ phương trình  b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ a b c Q   b 3 c 3 a 3 biểu thức Câu (4,0 điểm) a) Với n số nguyên, chứng minh giá trị biểu thức A 3n  3n  n 1 khơng chia hết cho 125 b) Tìm tất ba số nguyên tố  p; q; r  thỏa mãn p  1  q  3 r  21 Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi (I) đường tròn qua A tiếp xúc với BC C Đường trung tuyến AD tam giác ABC cắt đường tròn (I) M (M khác A) Đường thẳng BM cắt AC đường tròn (O) H F (F khác B) Đường thẳng CM cắt AB đường tròn (O) K E (E khác C)  DAB; a) Chứng minh  DBM S b) Chứng minh AKMH tứ giác nội tiếp; c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (I) Q (Q khác M) Chứng minh đường thẳng AF qua trung điểm đoạn thẳng CQ Câu (1,0 điểm) Một phố nhỏ có 44 người độ tuổi từ đến 85 (tuổi người số nguyên dương) Chứng minh số người có hai người tuổi có ba người mà tuổi người tổng số tuổi hai người ………………… Hết ……………… - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: ……………… Chữ kí giám thị 1:…………….……… Chữ kí giám thị 2:………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023 Mơn thi: TỐN – Bảng A Ngày thi: 14/03/2023 (Hướng dẫn chấm có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Sơ lược lời giải/ Một số gợi ý Câu a a 3 P   ( a  3)( a  2) ( a  3)( a  2) ( a  3)( a  2) a  (4,0 đ) a  a  12 ( a  3)( a  4) a   ( a  3)( a  2) ( a  3)( a  2) a 0,25 Phương trình cho tương đương    3x    x  0 3x   0; x  0 với x 1 Theo yêu cầu tốn dấu “=” phải xảy ra, tức  3x      x  0   0 (4,0 đ) a 0,75 0,25 0,5  x 1 Kiểm tra ĐKXĐ kết luận phương trình có nghiệm x = 1,0 1,0 b ĐKXĐ x 1  Ta có Điể m 0,25  x  xy  y  y (1)  ( x  2)( x  y 1)  y (2) (1)  x   y  y  xy , thay vào (2)  y  y  xy   x  y  1  y (*) Xét y = 0, thay vào (1) thấy không thỏa mãn  x  y 2 (*)   y   x   x  y  1    x  y  4    x  y  Xét y 0 ,  x 0 (suy y  2) 3x  3x 0    x  (suy y  3) Nếu x – y = Thay vào (2)  x  (suy y 1)  x  x  0    x 4 (suy y 6) Nếu x – y = -2 Thay vào (2) 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Kết luận hệ cho có bốn nghiệm: (0; -2); (-1; -3); (-1; 1); (4; 6) b Áp dụng BĐT C-S: a2 b2 c2 (a  b  c ) 0,75 Q    a ab  3a b bc  3b c ca  3c a ab  3a  b bc  3b  c ca  3c  (a  b  c )2  a  b  c   ab  bc  ca  7(a  b  c )   ab  bc  ca   a  b  c  Chứng minh , suy 0,25 ab  bc  ca 3 , từ 0,75 Q 32   7.3   , dấu “=” a = b = c = Giá trị nhỏ Q 3/2 a = b = c = 0,25 27 n3  27 n  9n   3n  1  10125 a) Giả sử A125, suy 9A 125 , hay (*) 3 3n   105  3n  5  3n  125      Suy  (vì số nguyên tố) Khi đó, từ (*) suy 10125 , vơ lí Vậy A khơng chia hết cho 125 với số nguyên n 0,75 0,75 0,5 2 p  1  q  3 b) Nếu p q không chia hết cho p , q chia dư 1, suy  (4,0 đ) chia dư 2, tức r  21 chia dư 2, dẫn đến r chia dư 2, vơ lí Vậy hai số p, q phải chia hết cho Suy hai số p, q phải   , tức r  214 , dẫn đến r chia dư 3, vô lí Nếu p q lẻ  Vậy hai số p, q phải chẵn Suy hai số p, q phải 2 Nếu p = 2, q = r 39 , điều không xảy Nếu p = 3, q = r 49  r 7 p  q  4 Vậy  p; q; r   3; 2;7  0,75 0,75 0,25 0,25 (7,0 đ) a Chứng minh DC2 = DM.DA 1,0 DB DA  hay DB2 = DM.DA, suy DM DB Từ DBM ∽ DAB   b Từ DBM ∽ DAB suy A3 B1     BMC   C   BMC  KAH  KMH  A  A B 1800 Có Suy AKMH tứ giác nội tiếp 1   c Tứ giác AQCM nội tiếp suy AQC DMC     lại có DMC  ACB (DMC ∽ DCA) , suy AQC  ACB (1)    Có ACQ  AMQ BMD     lại có BMD  ABC (DBM ∽ DAB) , suy ACQ  ABC (2) AB BC  Từ (1) (2) suy ABC ∽ ACQ suy AC CQ (*) 1,0 0,5 2,0 1,0     Có A1 B1 ; lại có B1  A3 (DBM ∽ DAB )   Suy A1  A3 (3) Từ (2) (3) suy ABD ∽ ACJ (J giao điểm AF QC) AB BD  Suy tỉ số AC CJ (**) BC BD CQ BC    2 CJ BD Từ (*) (**) suy CQ CJ Suy đpcm Gọi số tuổi người a1 , a2 , a3 , , a44 Nếu 44 người có hai người tuổi tốn giải Nếu 44 người khơng có hai người tuổi Khi đó, giả sử a1  a2  a3   a44 85 1,0 0,5 0,25 Xét hai dãy số: (1,0 đ) Dãy thứ gồm số a2 , a3 , , a44 , dãy có 43 số phân biệt khơng vượt 85 Dãy thứ hai gồm số a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , , a44  a1 , dãy có 43 số 0,5 phân biệt nhỏ 85 Cả hai dãy có 86 số, số khơng vượt q 85 Do đó, tồn hai số mà hai số dãy, giả sử ak  a1 i; k 44; Ta có ak  a1  ak ai  a1 , rõ ràng i, k, đôi khác Tức có người có số tuổi tổng số tuổi hai người Tổng hợp hai trường hợp ta có điều phải chứng minh Hết Lưu ý: - Điểm thi tổng điểm câu, khơng làm trịn - Học sinh làm cách khác đáp án, cho điểm tối đa theo biểu điểm 0,25