Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Môn thi TOÁN – Bảng B Ngày thi 14/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2023 Mơn thi: TỐN – Bảng B Ngày thi: 14/3/2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 P : x 1 x x x x Cho biểu thức , với x 0; x 4; x a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để P Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x x 0 x xy y x y 0 b) Giải hệ phương trình y xy x 0 Câu (4,0 điểm) a) Với n số nguyên, chứng minh giá trị biểu thức A n 2n không chia hết cho 49 b) Tìm tất ba số nguyên tố p; q; r thỏa mãn p 1 q r Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi (I) đường tròn qua A tiếp xúc với BC C Đường trung tuyến AD tam giác ABC cắt đường tròn (I) đường tròn (O) M N (M, N khác A) Đường thẳng CM cắt AB đường tròn (O) K E (E khác C) Đường thẳng BM cắt AC đường tròn (O) H F (F khác B) Chứng minh: a) D trung điểm MN; DAB; b) DBM S c) Tứ giác EFHK tứ giác nội tiếp Câu (1,0 điểm) Một phố nhỏ có 44 người độ tuổi từ đến 85 (tuổi người số nguyên dương) Chứng minh số người có hai người tuổi có ba người mà tuổi người tổng số tuổi hai người ………………… Hết ……………… - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh: ……………… Chữ kí giám thị 1:…………….……… Chữ kí giám thị 2:………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2023 Mơn thi: TỐN – Bảng B Ngày thi: 14/03/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Sơ lược lời giải/ Một số gợi ý Câu (4,0 đ) x 9 x4 x 2 P : x ( x 2)( x 3) a x x : x 1 x ( x 2)( x 3) 1,0 1,0 x 0 x 0; x 4; x x x b) Vì với nên Kết hợp với điều kiện x 0; x 4; x ta x a ĐKXĐ: x 1/ 0,5 0,25 Ta có với x 1/ Theo u cầu tốn dấu “=” phải xảy ra, tức 0,25 x 1 0; 3x 1 0 3x 2 0 x 1 x 1 0 0,5 Kiểm tra ĐKXĐ kết luận phương trình có nghiệm x = (4,0 đ) 1,5 0,75 3x x 20 x4 0 Phương trình tương đương x 1 Điểm 0,25 x xy y x y 0 (1) (2) b y xy x 0 x y (1) ( x y ) x y 1 0 x y Nếu x y Thay vào (2) 3x x 0 , phương trình vơ nghiệm y 1 (suy x 3) y y 0 y (suy x 11) 3 Nếu x y Thay vào (2) 11 3;1 ; ; 3 Hệ có hai nghiệm 2 n 1 49 a Giả sử A49, tức (*) n 1 Suy 2 (vì số nguyên tố) Vậy A không chia hết cho 49 với số nguyên n b Với p, q, r số nguyên tố 0,5 0,5 0,25 0,5 77 n 1 7 n 1 49 749 , vơ lí (4,0 đ) Khi đó, từ (*) suy 0,75 r p 1 q (22 1)(22 2) 30 1,0 0,5 0,75 2 Suy r 24 r > r số lẻ, dẫn đến r lẻ 2 Do đó, hai số p q lẻ p lẻ, suy p =2 0,25 2 p 1 q 3 Nếu q khơng chia hết cho p , q chia dư 1, suy , tức r 63 , dẫn đến r 3 , vơ lí r số ngun tố lớn Suy q = Với p = 2, q = 3, r 49 r 7 p; q; r 2;3;7 Vậy 0,5 0,5 (7,0 đ) a Có B2 C1 ( A2 ) Suy BDN CDM DN DM , suy D trung điểm MN b Chứng minh BMCN hình bình hành, suy BM // CN Suy B1 A3 (C2 ) 1,0 Suy hai tam giác DBM DAB đồng dạng 1,0 AH AM AK c BMNC hình bình hành nên HM//CN; KM//BN, từ AC AN AB 1,5 1,0 1,5 Suy HK//BC Có KHM B1 ; FEC B1 nên KHM FEC Suy EFHK tứ giác nội tiếp Gọi số tuổi người a1 , a2 , a3 , , a44 (1,0 đ) Nếu 44 người có hai người tuổi tốn giải Nếu 44 người khơng có hai người tuổi Khi đó, giả sử a1 a2 a3 a44 85 Xét hai dãy số: Dãy thứ gồm số a2 , a3 , , a44 , dãy có 43 số phân biệt không 1,0 0,25 0,5 vượt 85 Dãy thứ hai gồm số a2 a1 , a3 a1 , a4 a1 , , a44 a1 , dãy có 43 số phân biệt nhỏ 85 Cả hai dãy có 86 số, số khơng vượt 85 Do đó, tồn hai số mà hai số dãy, giả sử ak a1 i; k 44; Ta có ak a1 ak ai a1 , rõ ràng i, k, đơi khác Tức có người có số tuổi tổng số tuổi hai người Tổng hợp hai trường hợp ta có điều phải chứng minh Hết Lưu ý: - Điểm thi tổng điểm câu, khơng làm trịn - Học sinh làm cách khác đáp án, cho điểm tối đa theo biểu điểm 0,25