Toan 9 phu ninh (20 21)

UBND HUYỆN PHÙ NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn:Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm Câu Cho 13  a  b với a, b số nguyên Tính giá trị biểu thức T a  b3 A T 9 B T 7 C T  D T  Câu Giải phương trình x   x   x   x  ta nghiệm 58 A 59 57 B 60 56 55 C  59 D  60 Câu Cho tam giác ABC có BC 16cm Lấy hai điểm M , N thuộc hai cạnh AB, AC cho BM 3 AM , AC 4 AN Độ dài đoạn thẳng MN bằng: A 4cm B 8cm C 12cm D 16 cm Câu Hàm số hàm số đồng biến tập số thực A y (m  m  1) x  B y (m  m  1) x  C y (m  m  1) x  D y ( m  m  1) x  Câu Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , có AH 12cm tan B  Khi độ dài đoạn HB bằng: A 24 cm B 16cm C 8cm D 9cm  60o , C  45o Độ dài cạnh AC Câu Cho tam giác ABC , đường cao AH Biết AB 6cm, B A 3cm B 2cm C 3cm D 6cm Câu Cho ABC vuông A, đường cao AH , biết BH  3cm;CH  4cm Khi diện tích tam giác ABC A 42cm2 B 14 cm2 C 21cm2 D 3cm2 Câu Biết phương trình ( a  b  8) x  2a  b  0 có vơ số nghiệm Khi giá trị biểu thức A a  b A B 15 C 30 D 34 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y  x  ; y 2 x  y (m  1) x  2m  Giá trị m để ba đường thẳng qua điểm B m  {  1;1} A m  C m  {  1;3} D m  Câu 10 Một tịa nhà cao tầng có bóng mặt đất 272m , thời điểm cột đèn cao 7m có bóng mặt đất dài 14m (minh họa hình vẽ bên dưới) Biết tầng cao 3, 4m Khi số tầng tịa nhà A 90 B 98 C 40 D 70 7m 14m 272m Câu 11 Điểm cố định mà đường thẳng y (m  1) x  (2m  1) qua với m A ( 3;1) B ( 2;1) C (3;  1) Câu 12 Giá trị lớn biểu thức A  A Câu 13 Cho B x 3    A 2020 B 2019 D (2;  1)   x 1 x x 1 x  x 1 C D Giá trị biểu thức A  x3  3x  2010 bằng: C 2018 D 2017 Câu 14 Cho ABC vuông A Đường tròn (O ) nội tiếp ABC tiếp xúc với BC D ; BD 4cm; DC 6cm Độ dài đường kính đường trịn (O) A 4cm B 5cm C 6cm D 2cm Câu 15 Cho đường tròn  O;5cm  dây AB 8cm Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng AB cho AI 1cm Qua I vẽ dây cung CD vng góc với AB Độ dài dây CD A 4cm B 6cm C 8cm D 7cm Câu 16 Một nhà toán học trẻ chưa đến 40 tuổi, hỏi: tuổi, trả lời sau: “ Tổng, tích, hiệu, thương tuổi tơi tuổi trai tơi cộng lại 216” Hỏi nhà tốn học trẻ tuổi? A 21 tuổi B 35 tuổi C 30 tuổi II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y  xy  x  0 D 39 tuổi b) Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca 1 Chứng minh T = (a  1)(b  1)(c  1) số phương Câu (3,0 điểm) a) Cho a b c b c a +   +  b c a a b c  1 Chứng minh : Trong ba số a, b, c tồn hai số b)Giải phương trình: x  3x   x   x   x  2x  Câu (4,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường thẳng xy khơng giao Lấy điểm A thuộc xy Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AO K cắt đường tròn C, AO cắt cung nhỏ BC I Chứng minh rằng: a) AC tiếp tuyến đường tròn (O) b) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c) Khi A di động đường thẳng xy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ln qua điểm cố định khác điểm O Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab  b bc  c ca  a    b2  c2  a2 .Hết Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD UBND HUYỆN PHÙ NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn:Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 04 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B D A C B D D D C C B B A A C C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a)Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y  xy  3x  0 b)Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca 1 Chứng minh T = (a  1)(b  1)(c  1) số phương Câu Gợi ý Điểm y  xy  x  0  x  xy  y  x  x   ( x  y ) ( x  1)( x  2) (*) 0,5 VT (*) số phương, VP (*) tích số nguyên 0,5 liên tiếp nên phải có số 2  x  0 2  x   y 1 a) (1,5)  Ta có   x  0  x   y 2 Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán: ( x; y ) ( 1;1) ( x; y ) ( 2; 2) b) (1,5) Thay ab  bc  ca 1 Ta có: ( a  ab  bc  ca )(b  ab  bc  ca )(c  ab  bc  ca ) 0,5 0,5 [a(a  b)  c(b  a )].[b(b  a )  c(b  a)].[c(a  c)  b(a  c)] 0,5 0,25 (a  b)(a  c)( a  b)(b  c)( a  c)(b  c) 0,25 [(a  b)(b  c)(a  c)(c  a )] số phương Câu (3,0 điểm) a) Cho a b c b c a +   +  b c a a b c  1 Chứng minh : ba số a, b, c tồn hai số x  3x   x   x   x  2x  b)Giải phương trình: Câu Gợi ý a) (1,5) b) (1,5) Điểm 0,5 Từ  1  a c + ab + bc = b c + ac + a b 2 2 2 a c + ab + bc = b 2c + ac + a b  a (b - c) - a(c2  b )  bc(c - b) =  (c – b)(a2 – ac = ab + bc) =  (c – b)(a – b)( a – c) =  0,5 0,5  x  1  x   0  x  0  x 2 Điều kiện  x     x  1  x  3 0  (1)   1     x  1  x    x x 1   x 3  x    x 1  x  x 3  0,5  x  1  x  3  1 0,25  0,25 x   0  x   0  x  1 x  0      x 2  x   x   x   x  0  Vậy phương trình có nghiệm x = 0,25 0,25 Bài 3: (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy không giao Lấy điểm A thuộc xy Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AO K cắt đường tròn C, AO cắt cung nhỏ BC I Chứng minh rằng: a)AC tiếp tuyến đường tròn (O) b)I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c) Khi A di động đường thẳng xy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm cố định khác điểm O Bài Gợi ý Điểm a) Chứng minh: ACO = ABO (c.g.c) từ => AC  OC mà C thuộc (O) (gt) => AC tiếp tuyến đường trịn (O; R) b)Vì tam giác BIC cân O ta có OBI OIB  IAB  IBA IBK  KBO  IAB IBK (  KAB KBO  BI phân giác ABC (4,5 đ) (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt AK phân giác BAC (2) Từ (1) (2)  I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC c)Gọi E trung điểm AO Áp dụng tính chất đường trung tuyến 1,25 tam giác vng ta có : AE BE OE CE  AO  AO   Bốn điểm A, B, O, C   E ;    (3) Hạ OH  xy H Vì O xy cố định nên H cố định Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng ta có :  AO  HE  AO  H   E;    1,25 (4) Từ (3) (4)  Khi A di động đường thẳng xy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm H cố định Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương P a, b, c ab  b bc  c ca  a    b2  c2  a2 thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: Câu Gợi ý Điểm AD bất đẳng thức ta có 3(ab  bc  ca ) (a  b  c )2 0,5 (ab  bc  ca)  (a  b  c ) 3 (*) Lại có (1,5) ab  b bc  c ca  a P    b2  c2  a2  ab bc ca   b c2 a2         2  2   1 b 1 c 1 a   1 b 1 c 1 a   ab bc ca   b c a  P          2b 2c 2a   2b 2c 2a  a b c a b c P      3 2 2 2 Dấu a = b =c =1 Vậy GTLN P = a = b = c = Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,5