De thi chon hoc sinh gioi Toan 9 Phu Tho

Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương..[r]

PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x  x  2x x  x  x   A      : 1 x x  1 x x  1 x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17  12 x  0; x  ; x 1 Với c) So sánh A với A Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x3 + y3 b) Chứng minh rằng: Biểu thức Bài 3: (4,0 điểm) B   20082  20082 2008  20092 2009 có giá trị là số tự nhiên x  3x   x   x   x  2x  a) Giải phương trình b) Cho số thỏa mãn điều kiện: x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012 Bài 4.(7,0 điểm) Cho tam gi¸c ABC cã AB = c; AC = b; BC = a, ph©n gi¸c AD a) Chøng minh hÖ thøc AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD? Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x  x  2x x  x  x     A      x  0;x  ;x 1   :  1 x x  1 x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :  x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x   x   x 1 x    :   x x1  x 1 x 1 x 1 x  x      x1  x  :  x       x  x  x x x                      x1 x  x              x 1  x   x x  1  x x x 1 : x1 : x1   x  x  x 1 :   1  x    x1 x x  0.5    0.5 0.25 0.25  0.5 b) Tính giá trị A x 17  12 (1 điểm) Tính  x 17  12   2    2  x 3  2  3 2 5  2   5   2  17  12 15  10 A  3 2 3 2 c) So sánh A với A (1 điểm) 3  2 0.5 3 2 1 A x x  x 1 x x Biến đổi 1 x 2 x  0;x  ;x 1 x Chứng minh với  A x  1  A   A    A A   x   A 0.5  0.25 0.25 0.5 A 0 A  A Bài (4 điểm) a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1) 0.25 x2 y x2 y2 x y    xy   (x  y2 )  (  ) 2 2 2 M=  ( x2  y ) Suy M Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy =  2(x2 + y2) – (x – y )2 =  2(x2 + y2) 1  Do đó : x2 + y2 Dấu “ = “ xảy và x = y = 1 1  ( x2  y )     Ta có M và x2 + y2  M 2 1  Vậy M , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 20082 2008 B   2008   20092 2009 có giá trị là số tự nhiên ) b) Biểu thức 20082 2008 20082 2008 B   20082     2008  2.1.2008     2 2009 2009 2009 2009 Ta có : 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 2 2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009     2009    2009 2009 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 0.75 0.75 0.5 Vậy B có giá trị là số tự nhiên Bài (4điểm) Giải phương trình x  3x   x   x   x  2x  a)   x  1  x    x    x  1  x   0 x   x  1  x  3  1  x  0  x 2  x  0  x  1  x  3 0 Điều kiện   1    x  x 1   x 1  x  x 3  0.5 0.25  x   0  x   0  x  1 x  0     x 2  x   x   x   x  0  x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b).Ta có x2+2y+1 = (1); y2+2z+1 = (2) 0.25 0.5 0.5 z2+2x+1 = (3) 0.25 Cộng vế (1),(2),(3) ta có (x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 2 0.5  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1) 0  x  0    y    x  y  z   z  0  0.75 Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = Bài (7 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) a) Ta cã : Δ ABD ~ Δ CED (g –g) BD AD = ⇒ ⇒ AD.ED = BD.CD ED CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD (1) ⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD L¹i cã: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g) AB AD = ⇒ ⇒ AB.AC = AD.AE (2) AE AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC b) V× AD lµ ph©n gi¸c ⇒ DB BA = DC CA 0.5 A 0.5 0.5 C B D E 0.5 0.5 0.5 0.5 DB DC DB+ DC a = =¿ = c b c+ b b+ c ac ab vµ DC = ⇒ DB = b+c b+c b+ c ¿ ¿ ⇒ AD = bc a bc ¿ ⇒ 0.5 0.5 Bài (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 1  1 Ta có:   2 1   21 1 2 2   3 2 1 3 3   4 3 = 4 1 Tương tự ta có 1 1 A     1 2 3 2009  2010 =  1  2 4   2010  2009 0.5 ( =   2010  2010  Chú ý: Nếu thí sinh làm bài cách khác đúng thì cho điểm tương đương 0.25 0.25