Trờng THCS Yên Thái Đềthihọcsinhgiỏitoán (năm học 2009- 2010) Thời gian làm 150 phút Họ tên ngời đề: Nguyễn Thị Thuý Hằng Đề bài: Câu1 ( điểm) Cho biếu thức 2x x + x x M = x x x+ x x x + x 2x + x x a, Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau rút gọn M b, Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ M? Câu ( điểm) Tìm nghiệm nguyên hệ y x xy + y x = x + y + x y = Câu (4 điểm) Cho A (6,0); B (0,3) a, Viết phơng trình đờng thẳng AB b, Một điểm M (x;y) di chuyển đoạn thẳng AB Gọi C; D theo thứ tự hình chiếu M OA; OB Gọi N điểm chia đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2 Tính toạ độ (x; y) N theo ( x; y) c, Lập hệ thức x; y từ suy quĩ tích N Câu (5 điểm ) Cho ( 0; R )đờng thẳng d cắt ( O ) điểm A; B d lấy điểm M từ kẻ tiếp tuyến MN; MP ( N; P tiếp điểm) a, C/M: PMO = PNO b, Tìm điểm cố định mà đờng tròn ( MNP ) qua M di động d c, xác định vị trí M để MNP Câu 5.( điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= x10 y 10 + 2 y x 16 + x + y 16 + x y Đáp án: Câu (4đ) ( ) ( ) a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x 0, x x#1 (0,5đ) 2x x + x x M = x+ x x x + x x + x x x x x 2x + x x + x x x = + x 2x + x x x x ( = = ) x ( x 1) x x x ( ) (2 x ( )( x ) x +1 ) x +1 + x x = x ( (x + ) x + 1) x +1 (0,5đ) x x + x x (1đ) x +1 x + x +1 (0,5đ) b, Do x nên M Đẳng thức xảy x = (0,5đ) Vậy giá trị nhỏ M x = (1đ) Câu Viết lại hệ cho dới dạng (x+2y+2) ( x-y) =-7 (1) 3 x +y +x-y = (2) (1,5đ) Từ (1) x, y nguyên ta có trờng hợp sau: a, x- y=-1 x+2y+2 = =>x=1 y = thoả mãn ( 2) (0,5đ) b, x-y = x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên (o,5đ) c, x- y= -7 x+ 2y +2 = Giải hệ nàyđợc nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn phơng trình (2) (0,5đ) d, x-y = x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên (0,5đ) Tóm lại hệ cho có hất nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2) (0,5đ) Câu (4đ) a, Gọi phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0) (0,5đ) Đờng thẳng qua điểm A ( 6; 0) nên ta có 6a+ b = (1) qua điểm B ( 0;3) nên ta có b = Thay b = vào (1) => a = (0,5đ) Vậy đờng thẳng AB y = (0,5đ) x +3 2 b, Gọi H hình chiếu N OA, K hình chiếu N OB Tam giác DOC có KN// OC nên => KN DN 2 = = KN = OC x ' = x OC DC 3 (1) (0,5đ) NH CN 1 = = NH = OD y ' = y DO CD 3 Tơng tự NH // OD => (2) (0,5đ) =>N có toạ độ ( x = x ; y = y) 3 (0,5đ) c, Từ (1) => x= 1 x; y= 3y vào y= - x+ => y = - x + 2 (0,5đ) Vậy quĩ tích điểm N phần đờng thẳng y= - x + nằm góc phần t thứ (0,5đ) Câu (5đ) a, MN, MP hai tiếp tuyến ( O) => ON NM ; OP PM ONM = 90 , OPM = 900 (0,5đ) => tứ giác ONMP có góc ONM + OPM = 1800 Do tứ giác ONMP nội tiếp đờng tròn đờng kính OM (1đ) b, Kẻ OQ vuông góc với AB => QA = QB ( đờng kính vuông góc với dây) (0,5) Vì AB cố định => Q cố định (0,5đ) Gọi I trung điểm OM tam giác OQM vuông Q => QI = IO = IM Vậy Q thuộc đờng tròn đờng kính OM (0,5đ) Kết hợp với câu a => điểm M, N, O, Q, P thuộc đờng tròn đờng kính OM => đờng tròn ( MNP) qua hai điểm O, Q cố định M di chuyển d (0,5đ) c, Để tam giác MNP => góc NMP = 600 mà MO phân giác góc NMP => NMO = 300 => ON = OM => OM = 2NO = 2R (0,5đ) Dựng cung tròn tâm O bán kính 2R cắt d M => M điểm cần dựng để tam giác MNP (0,5đ) Thật OM = 2R= 2ON => sin NMO = ON = NMO =300 => OM NMP = 600 Vậy tam giác MNP tam giác (0,5đ) Câu (3đ) áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số không âm ta có: x 10 y 10 x 10 y 10 1.1 + + + 24 = 2x y 2 2 y x x y 16 x + y 16 + + x16 y 16 1.1 = x y 4 x 10 y 10 + + x 15 + y 16 + + x y + x y + y x ( ) ( ) x 10 y 10 16 + + x + y 16 x y + y x Q Do giá trị nhỏ Q - x2 = y2 = ( (1đ) (1đ) ) ( ) ( 1đ)