Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2009-2010 MƠN: TỐN
( Thời gian làm 150 phút, khơng tính thời gian giao đề ) Câu 1: (3 điểm) Cho a > 0, b > Rút gọn biểu thức:
a
2
a b
b a
+ b
2
a b
b a
2
a ab
ab
+
2
a ab
ab
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị lớn hàm số: y = x 2 4 x
và áp dụng để giải phương trình: x 2 4 x = x2 – 6x + 11 Câu 3: (3 điểm)
Cho hàm số: y = mx +m + (d) (m tham số)
a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đường thẳng y = -2 điểm có hồnh độ ? b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số (d)
(đơn vị đo trục toạ độ centimet) Câu 4: (3 điểm)
Hai trường A B phường có tổng cộng 480 học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT, đạt tỷ lệ trúng tuyển 96% Tính riêng trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99% Hỏi trường có học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT?
Câu 5: (4 điểm)
Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N cho AM = CN Gọi E trung điểm MN Tia DE cắt tia BC F Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF H Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MFNH hình thoi b) ND2 = NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi M di động cạnh AB Câu 6: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có AB=c, AC=b, đường phân giác AD=d Gọi E, F thứ tự hình chiếu D AB AC
a) Tính chu vi diện tích tứ giác AEDF ? b) Chứng minh: 2
d =
1 b+
1 c
c) Chứng minh:
1 sin
2 A +
1 sin
2 B +
1 sin
2 C >
HẾT
-( Cán coi thi khơng giải thích điều )
-1 -1
(2)PHÒNG GD&ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2009-2010
MƠN TỐN Câu 1: (3 điểm)
Có: a
2
a b
b a
+ b
2
a b
b a
= a 2b a
a b + b
2a b
a b
= 2ab a 2ab b)
a b
= 2 (ab a b)
a b
= 2ab
Có:
2
a b
b a
+
2
a b
b a
= 2
( )
ab
a a b +
2
( )
ab
b a b
= 2ab [ 1
( )
a a b +
1
( )
b a b ]
= 2ab
( )
a b
ab a b
= ab
Vậy Kết 2ab : ab = ab
0,5đ 0,25đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Câu 2: (3 điểm)
áp dụng bất đẳng thức: (a2 +b2) ≥ (a+ b)2 (x - +4 - x) ≥ ( x + 4 x)2 ≥ ( x 2+ 4 x)2 y ≤ Kết luận: Giá trị lớn y
Mặt khác : x2 - 6x +11 = (x - 3)2 +2 ≥ x Do đó: x 2+ 4 x= x2 - 6x + 11
x 2+ 4 x =
x2 - 6x + 11 = x =
Kết luận
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Câu 3: (3 điểm)
a) Đồ thị HS (d) cắt đt y = -2 điểm có hồnh độ = Ta có x = y = -2
Thay vào tính m = - 1,5 Kết luận
b) Chia m = K/c = ≠ m = -1 K/c = ≠ 2 Vậy có m ≠ 0; m ≠
ĐTHS (d) cắt Oy A (O; m+ 1) nên OA = ﺍm+1ﺍ cắt Ox B ( (m 1)
m
; 0) nên OB = (m 1)
m
Gọi h k/c từ gốc O đến ĐT (d) có 12
h =
1
OA +
1 OB
Thay h = 2, tính m =
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 4: (3 điểm)
Số học sinh dự thi trường 480 : 96
100= 500 (học sinh)
Gọi số học sinh dự thi trường A x (x nguyên; 0<x<500)
0,25đ 0,25đ
-1 -1
(3)Phương trình: 94
100 x + 99
100 (500 – x) = 480
x = 300 (thoả mãn điều kiện) Vậy số học sinh dự thi trường A 300 học sinh số học sinh dự thi trường B là: 200 (học sinh) Số học sinh thi đỗ trường A là: 300 94
100= 282 (học sinh)
Số học sinh thi đỗ trường B là: 480 - 282 = 198 (học sinh)
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Câu 5: (4 điểm) Vẽ hình
a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c) DM = DN D1 = D2 MDN = 90o Và ΔDMN vuông cân
ΔEMH = ΔENF (g.c.g) EH = EF MFNH hình thoi (đpcm)
b) ΔFDN ΔDBN có FDN = DBN = 45o; N chung ΔFDN ΔDBN (g.g) ND2 = NB.NF (đpcm) c) Chu vi ΔBMF = BM +BF +MF = BM +BF + FN = BM +BF +FC +CN
= (BM +AM) + (BF +FC) = 2AB (không đổi) (đpcm)
0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Câu 6: (4 điểm)
Vẽ hình
a) Chứng minh AEDF hình vng Tính cạnh = 2
2 d
Tính chu vi = 2d 2
2 ; S = 1 2d
2
b) SΔABD = 2
4 cd; SΔACD = 2
4 bd; SΔABC = 2 4 bc
2bd + 2dc = 2bc 1
b + 1 c=
2
d (chia vế cho 2dbc) (đpcm)
c) Kẻ BH CK vng góc với AD có: sin
2 a
=BH
AB =
CK
AC =
BH CK AB AC
≤
BC
AB AC
1 sin
2
A≥ AB AC
BC
Tương tự có
1 sin
2
B ≥ AB BC
AC
;
1 sin
2
C ≥ AC CB
AB
Chú ý khơng đồng thời xẩy dấu " = " ΔABC không Cộng vế đpcm
0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ