Toan 9 lam thao (20 21)

1 PHỊNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC HỌC 2020-2021 MƠN: Tốn học Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Cho x0  20  14  20  14 nghiệm phương trình đây? A x  x  40 0 B x  15 x  0 C x  x  15 x  0   1 x    2 Câu Cho  1      Giá trị biểu thức A  x  x  x  x  3 A 21009 B – D x  3x  x  0 2021 C D Câu Cho biểu thức 1 1 M     1   2021 2020  2020 2021 Giá trị biểu thức M 2020 2021  2021 C D 2020  2021 2021  ' 2 Câu Cho đường thẳng (d ) : y 4mx –  m   ( m 0 ) (d ) : y =  3m  1 x   m   A 2020  2020 B Đường thẳng (d ) (d ' ) qua điểm A điểm B cố định Khoảng cách hai điểm A, B A 113 12 B 113 C 113 D 113 Câu Cho đường thẳng  d  : y  m  1 x  2021 Giá trị m để góc tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox 450 A - B C  D 45 Câu Cho A   2;4  B  2;2  Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng y  x  cho MA  MB nhỏ A (0; 3) B   1;2  C (1; 4) D   3;0  mx  y m  Câu Cho hệ phương trình  Tổng tất giá trị nguyên m để 2  m  1 x  y m  hệ phương trình cho có nghiệm số nguyên A B C D 10  xy 1  x  y  Câu Hệ phương trình  yz 3  y  z có nghiệm  x; y; z   xz 7  x  z  Giá trị biểu thức A  x  1 A 25 2  y  1  z  1 B 36 C 49 D 64 2 x  y m Câu Cho hệ phương trình  Giá trị m để hệ có nghiệm x  m y  2  A m  B m 0 C m  D m 1 Câu 10 Cho tam giác ABC có AB 14cm; AC 35cm, đường phân giác AD 12cm Diện tích tam giác ADC A 210 cm B 245 cm C 184 cm D 168 cm Câu 11 Cho  góc nhọn Giá trị biểu thức S  sin   4cos   cos   4sin  A B C D Câu 12 Tam giác ABC có A 600 , AD đường phân giác Hệ thức hệ thức A 1   AD AB AC B 1   AD AB AC C 1   AD AB AC D 1   AD AB AC Câu 13 Cho đường tròn  O;2 R  Đường thẳng d thay đổi ln cắt đường trịn hai điểm A B Diện tích tam giác AOB đạt giá trị lớn 4R B 2R C R D 4R Câu 14 Cho đường trịn  O  đường kính AB 12cm Một đường thẳng qua A cắt  O  M cắt tiếp tuyến B đường tròn N Gọi I trung điểm MN biết AI 13cm Độ dài AM A 8cm B 12cm C 16cm D.18cm A Câu 15 Cho đường tròn  O;29cm  Điểm M cố định OM 21cm Số dây cung qua M đường trịn  O  có độ dài số tự nhiên A 18 B 36 C 19 D 38 Câu 16 Số bàn thắng ghi trận đấu (khơng tính loạt sút ln lưu) giải bóng đá ghi lại bảng sau: Số bàn thắng Số trận 2 Hỏi giải đấu có nhiều trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút thi đấu thức)? A.4 B.7 C.14 D.32 II Phần tự luận (12 điểm) Câu 1(3 điểm)  y  1x a) Tìm cặp số tự nhiên x, y cho   x 1  y b) Cho số a, b thỏa mãn 2a  11ab  3b 0, b 2a, b  2a Tính giá trị biểu thức T Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình sau: a  2b 2a  3b  2a  b 2a  b  x  x  3 3 y   y ( x  1) 4 y x  y  b) Giải hệ phương trình sau:   y ( y  x) 3  y Câu (4điểm) Cho đường tròn (O; R ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Bên ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABDE , ACFG hình bình hành AEKG a) Chứng minh AK BC AK  BC b) DC cắt BF M Chứng minh A, K , M thẳng hàng c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC (O; R) K ln thuộc cung trịn cố định Câu (1,5điểm) Cho số dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 (2 x  y)( x  y ) P    3( x  y ) (2 x  y )3   ( x  y )3   .Hết Họ tên thí sinh: .SBD: Cán coi thi không cần giải thích thêm./ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2020-2021 MƠN:TỐN (Hướng dẫn chấm có: 04 trang) A Một số ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án A B C A B A C D A 10 D 11 C 12 C 13 B 14 A 15 B 16 C II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1(3,0 điểm)  y  1x a) Tìm cặp số tự nhiên x, y cho   x 1  y b) Cho số a, b thỏa mãn 2a  11ab  3b 0, b 2a, b  2a Tính giá trị biểu thức a  2b 2a  3b T  2a  b 2a  b Lời giải sơ lược Điểm y   x  y  x  a) Vì y  1x nên (1) 0,5 x  1 y nên x   y (2) Từ (1) (2) suy x   y  x   Xét y = x – Ta có x  1x   2x   x    1;2  x   2; 3 + Nếu x = y = + Nếu x = y =  Xét y = x Ta có x  1x  1x  x 1  y 1  Xét y = x + Ta có x  2x  2x  x   1; 2 + Nếu x = y = + Nếu x = y = Vậy  x; y   1;1 ,(1;2),(2;3),(3;2),(2;1) 0,25 a  2b 2a  3b 6a  11ab  b   b) T  2a  b 2a  b 4a  b Từ giả thiết 2a  11ab  3b 0   11ab 2a  3b 0,5 6a  2a  3b  b 8a  2b  2 Thay vào biểu thức T ta T  4a  b 4a  b 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình sau:  x  x  3 3 y   y ( x  1) 4 y x  y  b) Giải hệ phương trình sau:   y ( y  x) 3  y Lời giải sơ lược a) ĐK : x  Đặt  x a (a 0); x  b Khi ta có hệ phương trình a  b 3  a  4b 33 Từ a + b = suy a = – b, vào phương trình thứ ta   b   4b3 33  4b3  b  6b  24 0 Biến đổi đưa pt dạng (b – 2)(4b2 + 9b +12) = Chỉ b = cịn phương trình 4b2 + 9b +12= 0: vơ nghiệm Với b = ta có x  2  x  8  x 1 So với điều kiện ta có x = nghiệm phương trình 3 y   y ( x  1) 4 y x  y  (1) b)   y ( y  x ) 3  y (2) ĐK : x  y  0 Khi  1  y  y  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x  y   x  y  x  xy  y  x  y  3 y  x  y  x  y  ( x  y )    x  y   x  y 3 y  x 0  y 1, x 1  x  y  3 y  x   6 xy 9 y  y     Với   y 17 , x  415  xy  y  y   y ( y  x) 3  y 51   Điểm   x  y   x  y   Với   y ( y  x ) 3  y  x  y 0  2 xy  y  y    xy  y  y    y 1, x 1   y   , x  41 (loai) 21   415 17  ;  So với điều kiện, nghiệm hệ phương trình  1;1 ,   51  0,5 0,5 0,5 0,25 Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Bên ngồi tam giác ABC dựng hình vng ABDE , ACFG hình bình hành AEKG a) Chứng minh AK BC AK  BC b) DC cắt BF M Chứng minh A, K, M thẳng hàng c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC (O; R) K ln thuộc cung tròn cố định Lời giải sơ lược Điểm       a) Ta có KEA  EAG 1800 , BAC  EAG 1800  KEA BAC Chứng minh KEA CAB (c  g  c)  Suy KA = BC EAK  ABC 0,5 Giả sử KA cắt BC H Ta có       KAE  EAB  BAH 1800 , EAB 900  KAE  BAH 900   Mà EAK  ABC suy ABC  BAH 900  AHB 900 hay AK  BC      b) Ta có KAB KAE  900 ; DBC  ABC  900 mà KAE  ABC (theo a) suy 0,5   KAB DBC Từ chứng minh KAB CBD (c  g  c )   AKB BCD    Mà AKB  KBH 900  BCD  KBH 900  KB  CD Tương tự ta chứng minh BF  KC KBC có hai đường cao cắt M, suy M trực tâm  M  KH Vậy điểm A, K, M thẳng hàng c) Dựng hình vng BB’C’C hình vẽ Chỉ tứ giác KABB’, KACC’ hình bình hành suy KB’ = AB ; KC’ = AC  ' KC ' BAC  Từ chứng minh KB ' C ' ABC (c  c  c)  B  không đổi Quỹ tích điểm K cung trịn chứa góc  (khơng đổi) dựng đoạn B ' C ' cố định Câu (1,5 điểm) Cho số dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 P (2 x  y )3     (2 x  y)( x  y )  3( x  y ) ( x  y )3   Lời giải sơ lược Đặt 2x + y = a ; x + 2y = b với a, b > 2 ab    Ta có P  3 a 1  b 1  a  b a   (a  1)(a  a  1)  Ta có a 1  a2  a 1 a2   2 a2  a2  a 1    1 2 b Tương tự : b3    1 2 2       Mặt khác a b a b a b a b Vậy 4 ab 2  4 ab 2    ab 2 P       1    1     2      a b a b a a b a b  b  a b Điểm 0,25 0,25 2 ab 2 ab  P     3  1 a b a b  a  a  a   b  b  b   4 Min P 1    1  a b 2  x  y  b a  2 ab  a b   a a 0,25 0,25 0,25 0,25