Toan 9 lam thao (18 19)

PHỊNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN THI: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 02 trang) I TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm ): Hãy chọn phương án trả lời Câu Giá trị x thỏa mãn :  x  x   x : A   x 4 B  x 2 C  x 4 D  x 4 Câu Số nghiệm phương trình  3x  x  x  0 là: A B C D Vô số ngiệm  Câu Cho x    10  Giá trị biểu thức P  x  x   2019  2018 là: 21   A  2019 B  2018 C  2017 D  2016 Câu Giá trị của m để đồ thị hàm số y  x  3, y x  y  m   x   2m  3 đồng quy là: A B C D Câu Cho hàm số y  m  1 x  m  Đồ thì hàm số tạo với trục hồnh trục tung mợt tam giác có diện tích đvdt Số giá trị của m thỏa mãn là: A B C D x  là: D 900 Câu Góc nhọn tạo đường thẳng y  3x  đường thẳng y  A 300 B 450 C 600 Câu Cho đa thức f  x  ax  bx  Giá trị của cặp số  a, b  để đa thức f  x  chia hết cho đa thức x  x  là: A  3;  3 B   3;3 D   3;  3 C  3;3 mx  y m có nghiệm nhất  x  my 3m  C m 1 D m 1 Câu 8.Tìm điều kiện của m để hệ phương trình  A m 1 B m   x  y 3m  Giá trị lớn nhất của biểu  x  y 10  2m Câu Cho  x; y  nghiệm của hệ phương trình  thức P xy là: A B C D Câu 10 Cho tam giác ABC , PQ / / BC với P, Q điểm tương ứng thuộc cạnh AB AC Đường thẳng PC QB cắt tại G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB tại E AC tại F Biết PQ 4cm EF 6cm Độ dài của cạnh BC là: A 8cm B 10cm C 12cm D 16cm Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC 8cm , đường cao AH Kẻ HD  AC tại D , kẻ HE  AB tại E Diện tích lớn nhất của tứ giác ADHE là: A 16cm B 12cm C 8cm D 4cm2 1   600 , phân giác BD Giá trị của biểu thức BD   Câu 12 Cho tam giác ABC có B   BA BC  là: C A 3 B D 2 Câu 13 Cho đường tròn tâm O bán kính R=5cm Bên ngồi đường trịn lấy điểm M cho MO = 13cm, kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn tâm O ( A tiếp điểm), MO cắt đường tròn tâm O tại B Tính diện tích tam giác MAB A 240 cm 17 B 420 cm 13 C 240 cm 13 D 120 cm 13 Câu 14 Cho  O;6  điểm A bên ngồi đường trịn, A cách O mợt khoảng 10 , vẽ cát tuyến bất kì ACD ( C nằm giữa A D ) Gọi M trung điểm của đoạn CD Giá trị của AM  MC là: A B C 36 D 64 Câu 15 Cho  O; R  đường kính AB , dây cung CD vuông góc với AB tại điểm M cho BM  R Độ dài dây AC theo R là: 2 20 30 A R B C D R R R 3 3 Câu 16 Có tấm thẻ, mỗi tấm thẻ ghi một chữ số từ dến Hỏi có cách chọn tấm thẻ cho tổng số ghi thẻ chia hết cho ? A B C 10 D 12 II TỰ LUÂN( 12 điểm): Câu (3,0 điểm): a) Tìm tất cả số nguyên n (n 0) để số M n  n3  13n số chính phương b) Cho x ( x 0 ) thỏa mãn Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình x x4  x2   Q  Tính giá trị biểu thức x2  x  x2 3x   x  2 x  x   x  y  xy  4 y (1) b) Giải hệ phương trình  2  y ( x  y ) 2 x  y  (2) Câu ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R), BC dây cung cố định của đường tròn  BC 2 R  Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE CF của tam giác ABC đồng quy tại H a) Chứng minh rằng AEF ∽ ABC b) Gọi M trung điểm của BC Chứng minh AH 2OM c) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF có giá trị không đổi A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC d) Tìm vị trí của điểm A để EF  FD  DE đạt giá trị lớn nhất Câu (1,5 điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  1  y2   z2  2 x y z - Hết - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) A Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dưới dựa vào lời giải sơ lược của một cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số B.HƯỚNG DẪN CHẤM I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) Mỗi câu 0,5 điểm 1.C 2.A 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.C 12.C 13.C 14.D 15.D 16.A II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) Câu (3,0 điểm): a) Tìm tất cả số nguyên n (n 0) để số M n  n3  13n số chính phương b) Cho x( x 0 ) thỏa mãn x x4  x2   Q  Tính giá trị biểu thức x2  x  x2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm) Ta có M n  n3  13n n (n  n  13) Để M số chính phương thì A n  n  13 phải số chính phương Suy 4A phải số chính phương Giả sử A 4n  4n  52 k , k  N *  (2n  1)  k  51  (2n   k )(2n   k ) 51 50 13 0,25 0,5 Vì 2n   k  2n   k nên ta có bảng 2n   k -1 -3 2n   k 51 17 4n-2 n 0.25 14 -17 -51 -14 -3 -50 -12 Vậy với n    12;  3; 4;13 thì M số chính phương 0,25 0,25 b) (1,5 điểm) 0.5 x x2  x  3   2  x  4 x  2x  x x x  4x  9 Q x   2 x x 0.5 3   Q  x    10 42  10 6 x  Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình 3x   0,5 x  2 x  x   x  y  xy  4 y (1) b) Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y ) 2 x  y  (2) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,75 điểm) Điều kiện x  Ta có 3x   0,25 x  2 x  x   2x   x    x  1 3x   x  1     x  3    x  1  0  3x   x    x  0  1     x  1    3x   x  Từ (1)  x  (thỏa mãn)  1  Ta thấy  x   x  (vì x  )    vô nghiệm x 1 1  3 2 0.25 0,25 0.25 0,25 0.25 Vậy S   0,25 b) (1,75 điểm) Nhận thấy y 0 không thỏa mãn hệ 0,25  x2 1  x  y 4   y Với y 0 , chia cả hai vế của (1) (2) cho y ta được:  ( x  y ) 2 x    y   a x  y  Đặt  x  ta b  y  0,5 0,5 a  b 4   a 2b  b 4  a   a 2(4  a)  b 4  a   a  2a-15=0  a  5, b 9  a 3, b 1  Khi đó  x, y     1;2  ;   2;5   0,5 Câu ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R), BC dây cung cố định của đường tròn  BC 2 R  Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE CF của tam giác ABC đồng quy tại H a) Chứng minh rằng AEF ∽ ABC b) Gọi M trung điểm của BC Chứng minh AH 2OM c) Chứng minh rằng bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF có giá trị khơng đởi A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC d) Tìm vị trí của điểm A để EF  FD  DE đạt giá trị lớn nhất A E = F O H = / B D / M / C / K ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1 điểm) ABE ∽ ACF ( g.g )   AEF ∽ ABC (c.g.c) b) (1 điểm) AE AF  AB AC 0.75 0.75 Vẽ đường kính AK  KB / /CH ; KC / / BH  BHCK hình bình hành 0.25 0.25  M trung điểm của KH 0.25  OM đường trung bình của AHK  AH 2OM 0.25 c) (1 điểm) Ta có AEH  AFH 900 Suy F H tḥc đường trịn tâm I, đường kính AH Suy AH đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Mà AH 2OM , BC cố định nên OM cố định Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF có giá trị khơng đởi A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC 0.5 0.5 d) (0,5 điểm) Gọi B ', C ' trung điểm của AC , AB  OB '  AC , OC '  AB Ta có OA ' R FD ED AA1 , OC ' R Tương tự OB ' R AC AB AA ' 0.25 Mặt khác 2S ABC 2  SOBC  SOAC  SOAB  OA '.BC  OB ' AC  OC ' AB  S ABC R. EF  FD  DE  0.25 Để EF  FD  DE đạt giá trị lớn nhất thì S ABC lớn nhất Mà BC cố định nên A điểm nằm chính giữa cung lớn BC Câu (1,5 điểm): Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  1 2  y   z  x2 y2 z2 ĐÁP ÁN Áp dụng BĐT a  x2  b2  y  ĐIỂM  a  b   x  y  Ta có 1 x   y2   x y  trên)  x  y 1 1     x y 1 x   y2   z2   x y z 2  x  y 1 1      z  (theo z  x y 0.25 2  1 1    A   x  y  z        x  y  z     x y z  xyz 81 80 2  x  y  z    Mặt khác  x  y  z   2  x  y  z  x  y  z  x  y  z2 2  x  y  z  x  y  z  0.25 80 82 (vì x  y  z 1 )  A  82 Cách khác : Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho dãy Vậy Min A  82 Dấu “=” xảy  x  y z  Dãy 1: x ; dãy 2: ; ta có: x   9 1  9  82  x    x    x    x   (1) x   x x x 82   1  9 1  9 2 Tương tự: y    y   (2); z    z   (3) y y z z 82  82  Từ (1);(2);(3) ta có   9 9  9  9  9 /   81x     81y     81z    80  x  y  z    A x yz     x y z x  y  z 82  82      9 A  A/   81x  81 y  81z  80   82 x y z 82   A Vậy Min A  82 Dấu “=” xảy  x  y z  HẾT 0.25 0,25