PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút khơng kể thời gian giao đề (Đề thi gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm ): Hãy chọn phương án trả lời Câu Điều kiện x để biểu thức A A x U x 3 3 x x 2x2 có nghĩa B x 3 C x 3 2 D x Câu Cho x; y; z thỏa mãn xy yz zx 1 Giá trị biểu thức x 2 2 y z y x z z y x x2 A B 1 y2 1 z2 C D 24 24 24 Thì Q (trong Q phần nguyên Q) Câu Cho Q 24 cã 2022 dấu bac ba cú giỏ tr bng A B C D Câu Kết rút gọn biểu thức x x x x A với x 1 B -2 với x 1 C -2 với x 1 D với x 1 Câu Cho hai dường thẳng: (d ) : y (2m 3) x m ;(d ') : y (5 3m) x 2m Các giá trị m để hai đường thẳng vng góc A B 6 C D -2 Câu Cho đường thẳng có phương trình lần lượt d1 : y x , d : y x , d3 : y ax a a Tìm giá trị tham số a để đường thẳng d3 qua giao điểm d1 d 1 A B C D 3 1 41 41 341 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2m 3 x 4m Gọi h khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Tìm giá trị lớn nhất h D C 15 A B 13 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 2;3 ; B 4; ; C 5; 1 Tính diện tích tam giác ABC A 30,5 B 38 C 42 D 28,5 Câu Cho tam giác nhọn ABC có diện tích 2, A 30 , Hai đường cao BD CE, D AC; E AB Diện tích tam giác ADE A B C D Câu 10 Cho tam giác ABC vng A có AB , đường cao AH = Kẻ HK vng góc AC (K tḥc AC) Đợ dài đoạn CK 5 16 A B C D 5 Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có BC 8 cm, cos C Gọi D trung điểm AC , kẻ DH BC Độ dài AH A 10 cm B cm C 10 cm D cm Câu 12 Cho đường tròn (O; R ) điểm M nằm ngồi đường trịn cho MO 2 R Qua M kẻ đường thẳng cắt (O; R) A B ( MA MB ) Biết AB R đợ dài MA A 15 3 R B R C 15 R D R Câu 13 Cho đường trịn (O) mợt điểm P nằm đường trịn Qua P dựng dây cung AP AB cho OAB có giá trị lớn nhất Tính tỉ số BP B C D 2 Câu 14 Thể tích khối gỗ có kích thước (được tính theo đơn vị cm) hình vẽ A A 72 cm3 B 70 cm3 C 78 cm3 D 80 cm3 Câu 15 Mợt bể đựng nước có dạng hình hợp chữ nhật có diện tích xung quanh 24 m 2, chiều cao bể 15 dm Tính một hai kích thước đáy bể để bể đựng nhiều nước nhất A 3m B m C m D 12 dm Câu 16 Sau một bữa tiệc, người bắt tay một lần với người khác phòng Hệ thống camera tự đợng đếm thấy có tất 435 bắt tay Hỏi phịng có người ? A 24 B 45 C 60 D 30 II TỰ LUÂN( 12 điểm): Câu (3,0 điểm): a) Cho ba số thực a, b, c khác thoả mãn a b a c b c Chứng minh rằng: 1 0 a b c b) Cho hai số tự nhiên a ; b thỏa mãn 2022a a 2023b b Chứng minh 2022 a b số chính phương Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình nghiệm nguyên x; y biết x y y y 3 x 1 b) Giải phương trình x 11x 13 3 x Câu 3.( 4,0 điểm ): Cho đường tròn O; R đường kính AB , qua A kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn O; R Điểm M di động tia Ax M A , qua M kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với O; R M A; C (O; R) Qua C kẻ CH vuông góc với AB , BM cắt CH K , AK cắt MC D a) Chứng minh KH KC b) Chứng minh DB tiếp tuyến O; R c) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MOD tḥc tia cố định d) Tìm vị trí điểm M tḥc tia Ax để diện tích tam giác MOD nhỏ nhất; chu vi tam giác ACB lớn nhất Câu (1,5 điểm): b c Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 1 3ab bc 2ac Tìm giá trị lớn nhất P 36a 9b 8c 72a 9b 4c 36a 18b 4c Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Lưu ý : Học sinh sử dụng máy tính cầm tay PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) A Một số ý chấm Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược một cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà cho điểm tối đa ,tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số B HƯỚNG DẪN CHẤM I PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) Mỗi câu 0,5 điểm 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.B 12.A 13.C 14.A 15.B 16.D II PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm ) Câu (3,0 điểm): a) Cho ba số thực a, b, c khác thoả mãn: Chứng minh rằng: a b a c bc 1 0 a b c b) Cho hai số tự nhiên a ; b thỏa mãn 2022a a 2023b b Chứng minh 2022 a b số chính phương ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm) Ta có a b a c b c a b ac bc 0,5 a b a c b c a c b c 2c 2 a c b c ( c) ( a c b c ) c (a c).(b c) 1 c ab ac bc c ab bc ca 0 0 a b c 0,5 0,5 b) (1,5 điểm) Ta có 2022a a 2023b b 2022a 2022b a b b a b 2022a 2022b 1 b 1 0,5 + GT suy Với a b a b Gọi a b; 2022a 2022b 1 d a b d b d bd ad 2022a 2022b d 0,5 2022a 2022b d 1d d 1 a b; 2022a 2022b 1 1 hay a b 2022a 2022b hai số nguyên tố Mặt khác a b 2022a 2022b 1 b số chính phương nên suy 2022 a b số chính phương (đpcm) Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình nghiệm nguyên x; y biết: x y 0,5 y y 3 x 1 x 11x 13 3 x b) Giải phương trình : ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,75 điểm): Ta có x y y y 3 x 1 x xy y y y 6 x x y xy x y y y 16 0,5 x y 3 16 y 16 2 x y 3 ; y số chính phương y 0 y 16 2 x y 3 16 x y 3 0 0,25 y 0 y 0 x y 4 TH 1: x y 3 16 x y x y 0 y 16 y 4 TH 2: x y 3 0 y y x y 4 y x y x y 0 y 2 y y x 9 y x 1 x 1 y 2 x 9 y Vậy x; y 9; , 1; , 1; , 9; b) (1,75 điểm) ĐKXĐ: x 2 Ta có x 11x 13 3 x x x x x x 5 x x 5 3 x2 x 1 x 4 x 1 9x 0,5 0,25 x 0 0 0,75 3 x2 x 5 0 x 1 9x x x 5 0 x 1 9x 0 x nên x 1 9x suy 29 x 7 29 2 x x 0 x 2 29 x 2 29 Vậy S 0,5 29 x 29 x 0,5 0,25 Câu ( 4,0 điểm) Cho đường tròn O; R đường kính AB , qua A kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn O; R Điểm M di động tia Ax M A , qua M kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với O; R M A; C (O; R ) Qua C kẻ CH vng góc với AB , BM cắt CH K , AK cắt MC D a) Chứng minh KH KC b) Chứng minh DB tiếp tuyến O; R c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOD tḥc tia cố định d) Tìm vị trí điểm M thuộc tia Ax để diện tích tam giác MOD nhỏ nhất; chu vi tam giác ACB lớn nhất ĐÁP ÁN ĐIỂM Vẽ hình D N I M C K A H O B 0,25 a) (0,75 điểm) Gọi BC cắt Ax N Ta có ;C MA MC ,(1) A1 C 1 C2 90 ; A1 N 90 C2 N MNC cân suy MC MN ,(2) từ (1),(2) suy MA MN , CH / / AN CK BK KH CK KH ; MN AM CK KH MN BM AM MN AM 0,25 0,5 b) (1,0 điểm) CK DK KH BH ,(1); HK / / AM ,(3); AM DA AM BA DK BH CK KH ,(3); tu (1),(2),(3) KH / / DB; KH AB DB AB DA BA nên DB tiếp tuyến O; R CK / / AM c) (1,0 điểm) Chứng minh MOD 900 gọi I trung điểm MD I đường kính MD qua O; tứ giác AMDB hình thang vng có OI đường trung bình suy OI AB ;O cố định I tḥc tia Oy vng góc AB tia cố định d) (1,0 điểm) OC.MD OC AB R.2 R R 2 2 S MOD ( Min) R MD AB MD / / AB AM R AM / / BD; MD OC S MOD 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ACB 900 ; Gọi chu vi ACB P; P AB AC BC 2 R AC BC Theo BĐT Bunhiacopxki AC BC 2 AC BC 2 AB 8R P 2 R AC BC 2 R 2R 2R AC BC 2 2R 0,5 Max( P) 2 R AC BC R AM R b c Câu (1,5 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 1 3ab bc 2ac Tìm giá trị lớn nhất : P 36a 9b 8c 72a 9b2 4c 36a 18b 4c ĐÁP ÁN ĐIỂM b c a 1 6a 3b 2c 6 đặt 6a x,3b y;2c z; x, y, z 0; x y z 6 6P 6P 18ab 6a 3b 2c xy 2 x y 2z 6bc yz 2 6a 3b 2c 2x y z 0,25 12ac 6a 3b 2c xz 0,25 x2 y2 z Áp dụng BĐT Bunhiacopxky cho dãy Dãy 1: 2; 1; Dãy 1: x 2; y; z ta có 2x y z ;(1) x 2y z x y 2z ;(2); x y z ;(3) Tương tự: x y z 2 Từ(1);(2);(3) yz xz xy 1 P Q xz yz x yxz x y yz ta có x y z x y z 2x2 y z xy xy yz yz xz xz P Q 12 x z y z x y x z x y y z xy yz xy xz yz xz P Q y x z 12 x z yz x y 12 12 0,25 0.5 a x, y, z 0; x y z 6 Max( P ) x y z x y z 2 b x y y z z x c 1 0,25 HẾT