Toan 9 lam thao (19 20)

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho a   17   Tính giá trị biểu thức: P a4  3a2  3a  20 A 30 B 32 C 36 D 29 Câu 2: x0   16  16  nghiệm phương trình đây: A x  x  0 B x  x  0 C x  3x  0 D x  x  15 0 Câu 3: Nếu a , b , c số thực dương thỏa mãn a  b  c  11 6 a   b   c a  b  c bằng: A 15 B 16 D 19 C 17 Câu 4: Biết đường thẳng d : y (7  m)x  3m  17 qua điểm cố định E Độ dài đoạn OE bằng: A B.4 C.5 D Câu 5: Biết hai đường thẳng y mx  n  2, y (5  m)x   n trùng Giá trị của biểu thức S 6m  n là: A 18 B 19 C 20 D 17 Câu 6: Cho các đường thẳng d1 : y  x  1, d : y x  1, d : y (k  5k  1) x  Số các giá trị của tham số k để ba đường thẳng đồng quy là: A B C D  x a nghiệm hệ phương trình  y b Câu 7: Giả sử   2 x  3 y    2 x  y 3 Giá trị biểu thức P a  b là: A P 9 B P 7 C P 3 D P 6  x  y  2 x  y 8   x  my 3 2 x  y 4 Câu 8: Giá trị tham số m cho hai hệ phương trình  tương đương với là: A m 1 B m  Trang 1/3 C m  D m 2  x  y 3 Câu 9: Hệ phương trình  x  my 2  m có nghiệm thỏa mãn 3x  5y 7 m A B C D Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC Biết AH = 12cm , A cm HB = Độ dài đoạn BC HC B cm D 12 cm C cm Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH đường trung tuyến AM ( H , M  BC ) Biết chu vi tam giác 72 cm AM  AH 7 cm Tính diện tích S tam giác ABC A S 48 cm B S 108 cm C S 148 cm D S 144 cm  Câu 12: Cho ABC cân A , BAC 120 , BC 12 cm Tính độ dài đường cao AH A AH 3 cm B AH 2 cm C AH 4 cm D AH 6 cm Câu 13 Cho tam giác ABC, đường cao AH có AB = 4cm, AC = 3cm BC = 5cm Gọi r, r 1, r2 bán kính của đường trịn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH Tổng r + r1 + r2 bằng: A 3,2cm B 3,75cm C 2,5cm D 2,4cm Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = AC = 40cm, BC = 48cm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A 25cm B 20cm C 24cm D 28cm Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (H thuộc BC) Bán kính R của đường tròn bằng: A 8cm B 10cm C 12cm D 14cm Câu 16 Một tơn có dạng nửa đường trịn có bán kính 1m Người ta cắt miếng có hình chữ nhật từ tơn cho cạnh của hình chữ nhật nằm dọc đường kính của đường trịn Diện tích lớn của miếng tơn cắt là: A.0,8m2 B 1m2 C 1,6m2 Trang 2/3 D 2m2 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh n5  5n3  6n chia hết cho 30 với số nguyên dương n b) Tìm x, y nguyên dương để P  x2y2 số nguyên tố x2  y2 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x2  2x  2x x    x3 xy  x  y  x2  2y2 b) Giải hệ phương trình :  x 2y  y x  2x  2y Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn Gọi E F chân các đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:  a) AC tia phân giác của BAE b) CH  AE.BF Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía của AB các hình vng AMCD, BMEF Gọi H giao điểm của AE BC Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, H , F thẳng hàng b) Đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M chuyển động đoạn thẳng cố định AB Câu (1,5 điểm): Cho a; b;c ba số thực dương thoả mãn a  b2  c 3 Chứng minh a  3ab  b2 6a  8ab  11b  b2  3bc  c 6b  8bc  11c -Hết Trang 3/3  c  3ca  a 6c  8ca  11a 3 LÂM THA0 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) CÂU 10 11 12 13 14 15 16 Đ A A C C C A C D A D B D B D A C B B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh n5  5n3  6n chia hết cho 30 với số nguyên dương n Nội dung Điểm Đặt A  n5  5n3  6n ta có         A  n5  5n3  6n  n n  n  n2   n n  n  n2   10         n  2  n  1 n  n  1  n  2  10 n  1 n  n  1   n n  n  n   10n n  n  0,5 Do  n  2  n  1 n  n  1  n  2 tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên tích chia hết cho 2, 3, Mà 2, 3, nguyên tố theo đôi nên  n  2  n  1 n  n  1  n  2 chia hết cho 30 Mặt khác ta lại có  n  1 n  n  1 chia hết cho 2, nên chia hết cho Do    0,5 0,5  10 n  n n  chia hết cho 30.Vậy A chia hết cho 30 hay n5  5n3  6n chia hết cho 30 b) Tìm x, y nguyên dương để P  x2y2 số nguyên tố x2  y2 Nội dung Điểm Giả sử  x;y cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán 2 2 2 2 2 Khi ta có P  x  y   x y Suy Px  py  x y  x  y  P   Py 0,5 Từ ta suy Py x , mà P số nguyên tố nên y x hay yx 2 Lập luận tương tự ta xy Trang 4/3 Từ suy x  y , thay vào đẳng thức ta P 0,5 x4  x2  2P  P 2 2 x x Do P số nguyên tố nên P  , x  y 2 0,5 Vậy  x;y   2;2 cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Câu (3,5 điểm) a (2,0 điểm).Giải phương trình x2  2x  2x x    x  Nội dung Điểm Điều kiện xác định của phương trình x  0,25 Biến đổi tương đương phương trình ta x2  2x  2x x      x   x2  2x x   x   x  x   12    1,0   x  x   x  x   12   x  x   x  x     x  x   0     x  x   0  0,75  x   x    x  3  x  Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm của phương trình S  1 xy  x  y  x2  2y2 b.(1,5 điểm).Giải hệ phương trình  x 2y  y x  2x  2y Nội dung Điểm Điều kiện xác định của hệ phương trình x 1;y  0,25 Phương trình thứ của hệ tương đương với xy  x  y  x2  2y2  x  y x  2y    x 2y     0,5 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta  2y  1     2y  y 2y 2 2y   2y  2y  2y  y 2y 2y  Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta    y 1  2y    2y    y 2  x 2y   Trang 5/3 0,25 0,5 Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm của hệ phương trình  x; y   5;  Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn Gọi E F chân các đường vng góc kẻ từ A B đến d Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:  a) AC tia phân giác của BAE b) CH  AE.BF Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía của AB các hình vng AMCD, BMEF Gọi H giao điểm của AE BC Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, H, F thẳng hàng; b) Đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định Nội dung Điểm 1.( 2,5 điểm) F C E A H O B a) (1,25điểm)   OAC cân O nên CAB  OCA 0,5  AE / / OC nên CAE  OCA (so le trong) 0,5   Suy CAB  CAE , AC tia phân giác của BAE 0,25 b) (1,25 điểm) CAE CAH (cạnh huyền – góc nhọn) => AE  AH Tương tự BF  BH Trang 6/3 0,5 ABC có đường trung tuyến CO ứng với cạnh AB nửa cạnh AB nên 0,25 ABC vuông C Áp dụng hệ thức lượng vào ABC vng A ta có CH  AH BH 0,5 hay CH  AE.BF 2.( 1,5 điểm) * Vẽ hình: D C I H E F O A I' B M a) (1,0 điểm) Xét CAB có CM  AB , BE  AC suy AE  BC AC DM OH  Gọi O giao điểm AC DM  , OH  2 0,5  MHD có đường trung tuyến HO nửa DM nên góc MHD 900 0,25  Tương tự góc MHF 900 Suy ba điểm D, H , F thẳng hàng 0,25 b) (0,5 điểm) Gọi I giao điểm của DF AC , DMF có DO OM , OI / / MF nên I trung điểm của DF 0,25 Kẻ II ’  AB I ’ trung điểm của AB II ’  AD  BF AM  MB AB   2 0,25 Do I điểm cố định: I nằm đường trung trực của AB cách AB khoảng AB Câu (1,5 điểm) Cho a; b;c ba số thực dương thoả mãn a  b2  c 3 Chứng minh a  3ab  b2 6a  8ab  11b  b  3bc  c 6b  8bc  11c  c  3ca  a 6c  8ca  11a Nội dung Đặt vế trái M  a  3ab  b2 6a  8ab  11b  b  3bc  c 6b  8bc  11c Trang 7/3 3 Điểm  c  3ca  a 6c  8ca  11a 2 Ta có 6a  8ab  11b  2a  3b    a  b   2a  3b  , dấu xẩy a b Suy 6a  8ab  11b 2a  3b > mà a  3ab  b2  với a; b  Do ta 0,5 a  3ab  b2 a  3ab  b  2a  3b 6a  8ab  11b Ta chứng minh a  3ab  b 3a  2b  2a  3b 0,5 Thật a  3ab  b2 3a  2b   a  3ab  b  2a  3b   3a  2b    a  b  0 2a  3b   Dấu xẩy a b Do a  3ab  b 2 6a  8ab  11b -Hết - Trang 8/3  3a  2b