PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Đề thi có 03 trang Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) vào tờ giấy thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Cho x− y =−1; xy =12và x >0 Giá trị x + y A B C −6 2 1011 Câu Cho đa thức P ( x )=( x 2− x− ) 2022 =a2022 x D −7 + a2021 x 2021 +…+a x +a0 Giá trị Q=a0 +a 2+ a4 +…+ a2022 A Q=1 B Q=0,5 C Q=0 D Q=−0,5 Câu Số dư phép chia đa thức ( x +1 )( x +3 ) ( x+ ) ( x +7 )+ 2020 cho đa thức x x 10 A 2000 B 2005 C 2010 D 2020 x , y y ≠ 0; x + y ≠ Khi giá trị lớn Câu Cho số nguyên thỏa mãn x −2 y=xy biểu thức Q= x− y x+ y −1 1 C D 5 x−m x −5 + =2 (ẩn x, tham số m) Điều kiện m để phương Câu Cho phương trình x+5 x+ m A −1 B trình có nghiệm A m=−5 B m≠−5 C m≠ ± D m=5 Câu Số cặp số nguyên dương ( x ; y) thỏa mãn x+ y=112 A B C D 2 x −6 x + x−8 Câu Số giá trị nguyên dương x để phân thức có giá trị số nguyên x−3 A B Câu Giá trị nhỏ A= A B −4 C D x−5−9 x C 1 D −1 Câu Tam giác ABC có AB=6 cm , AC =8 cm, trung tuyến BD CE vng góc với Độ dài BC A √ cm B √ cm C √ cm D √ cm Câu 10 Cho tam giác ABC có ^A=1200 , AB=4 cm , AC =6 cm Độ dài đường trung tuyến AM A cm B √ cm C √ cm D √ cm Câu 11 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM , BE , CF Diện tích tam giác có độ dài cạnh AM , BE , CF Diện tích tam giác ABC A B C D Câu 12 Cho hình bình hành ABCD có diện tích Lấy điểm E thuộc cạnh AB cho AB=3 AE, điểm F trung điểm cạnh BC Gọi M , N theo thứ tự giao điểm DE , DF với AC Diện tích tam giác DMN A B C 24 D 24 Câu 13 Cho hình thang cân có đường chéo vng góc với cạnh bên, đáy nhỏ dài 14 cm , đáy lớn dài 50 cm Độ dài đường cao hình thang A 30 cm B 18 cm C 24 cm D 32 cm Câu 14 Cho đa giác có số đường chéo 14 Tổng góc đa giác A 720 B 900 C 1080 D 1260 Câu 15 Một tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng , tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền A 16 81 B C D Câu 16 Một hộp đựng 52 viên bi, có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ, 13 viên màu vàng 13 viên màu trắng Cần phải lấy viên bi (mà khơng nhìn trước) để chắn số có viên bi màu? A 24 B 25 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) C 28 D 29 Câu (3,0 điểm): a) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có số An =7.52 n +12 6nchia hết cho 19 b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức B=n 4−27 n2+ 121có giá trị số nguyên tố Câu (4,0 điểm): Giải phương trình sau: a) b) x+ x−3 ( x −9 ) +6 = x−2 x+2 x −4 ( ) ( ) x x x x 2 x Câu (4,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AC ( E ∈ AB , F ∈ AC ¿ a) Chứng minh FC BA+ AC BE= AB2 chu vi tứ giác AEMF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Chứng tỏ đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm cố định Câu (1,0 điểm): Cho a , b , c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= b+ c c+ a a+b a b c + + + + + a b c b+c c +a a+ b .Hết Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng cần giải thích thêm./ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN LÂM THAO NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) I Một số ý chấm - Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu cho 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A C B D B C B D A B D C C B A B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu (3,0 điểm): a) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có số An =7.52 n +12 6nchia hết cho 19 b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức B=n 4−27 n2+ 121có giá trị số nguyên tố 1a (1,5 đ) + Với n=0 ta có A0 =19⋮ 19 + Với n=1 ta có: A1=247⋮ 19 + Giả sử An ⋮19 với n=k , k ≥2, k ∈ N Nghĩa là: Ak =7.5 2k +12 6k ⋮ 19 Ta chứng minh Ak +1 ⋮ 19 Thật vậy: Ak +1=7 52 (k+ 1) +12.6 k+1=7 52 k 2+12 k ¿ 52 k 19+6 ( 52 k + 12.6 k )=7 52 k 19+ A k Vì 52 k 19 ⋮19 Ak ⋮ 19 suy Ak +1=7 52 k 19+6 Ak ⋮ 19 Theo nguyên lý quy nạp An =7.52 n +12 6nchia hết cho 19 với số tư nhiên n Ta có : B=n 4−27 n2+ 121=( n +22 n2+121 ) −49 n 2 ¿ ( n 2+11 ) −49n 2=(n2+ 11+7 n)(n2 +11−7 n) + Với n=0 không t/m + Với n ∈ N ¿ ( n 2+11+ n ) >(n2 +11−7 n) Do đó: B số ngun tố điều kiện cần là: ( n 2+11−7 n ) =1 ⟹ n=2 n=5 + Với n=2 B=29 số nguyên tố + Với n=5 B=71 số nguyên tố Vậy n=2 n=5 B=n 4−27 n2+ 121 số nguyên tố 1b (1,5đ) Câu (4,0 điểm): Giải phương trình sau: a) x+ x−3 ( x −9 ) +6 = x−2 x+2 x −4 ( ) ( ) b) x x x x 2 x ĐKXĐ : x ≠ ± ( x 2−9 ) x+ x−3 =a ; =b =a b x−2 x +2 x −4 Khi phương trình có dạng: a 2−7 ab+6 b2=0 ⟺ ( a−b ) ( a−6 b ) =0 ⟺ a=b a=6 b x+ x−3 = + Với a=b x−2 x +2 2 ⟹ x +5 x +6=x −5 x +6 ⟺ 10 x=0 ⟺ x=0(TMĐK ) x+ x−3 =6 + Với a=6 b x−2 x +2 ⟹ x2 −7 x+6=0 ⟺ ( x−1 ) ( x−6 ) =0 ⟺ x=1(TMĐK ) x=6(TMĐK ) Vậy phương trình có tập nghiệm S= { ; 1; } y y x 2 x y xy x 0 1 x2 4x y Đặt ( ) ( ) [ 2a (2,0đ) ( )( ) ( ) ( ) [ Đặt ta PT: y x y x xy x 0 y x y x 0 y x (1) 2b (2,0đ) 23 y x x 3x 0 x 0 2 - Nếu PT vô nghiệm x y x x x 0 x x 0 x - Nếu Vậy phương trình có tập nghiệm S= {−2;−4 } Câu (4,0 điểm): 0,5 0,5 0,5 Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AC ( E ∈ AB , F ∈ AC ) a) Chứng minh FC BA + AC BE= AB chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Chứng tỏ đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm cố định A F E B H O M C I N FC MC Ta có (vì vng góc với ) nên AC BC BE BM ME /¿ AC AB (vì vng góc với ) nên BA BC MF /¿ AB 3a (2,5đ) 3b (1,5đ) AC FC BE MC BM 1 FC BA BE AC AC.BA AB Suy AC BA BC BC µ µ µ Tứ giác AEMF có A E F 90 nên hình chữ nhật Chu vi tứ giác AEMF 2( AE+ AF) Mặt khác V BEM vuông E có ^B=450 (Vì ∆ ABC vng cân A ) V BEM vuông cân E ME=BE Mà AF=ME (vì AEMF hình chữ nhật) ⟹ AF =BE Khi chu vi tứ giác AEMF bằng: 2( AE+ BE)=2 AB (không đổi) Chu vi tứ giác AEMF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Gọi I trung điểm BC , O giao điểm AM EF , đường thẳng qua M vng góc với EF H cắt tia AI ti N ả Ta cú F1 M (cùng phụ với góc MEF ); µ1 M ¶2 ¶ ¶ F (vì AEMF hình chữ nhật) M M ¶ ¶ Lại có M M (vì tam giác BEM , MFC vng cân E , F) ¶ M ¶ M ¶ M ¶4 · · · M IMN ·AMI , mà BMH hay BMH (đối ·IMN ·AMI đỉnh) nên Tam giác ABC vng cân A có I trung điểm BC nên AI đường trung tuyến đồng thời đường cao AI BC Khi tam giác AMN có MI vừa đường cao, vừa đường phân giác nên tam giác AMN cân M MI trung trực AN N đối xứng với A qua BC N điểm cố định Vậy, đường thẳng qua M vuông góc với EF ln qua điểm N cố định Câu (1,0 điểm): Cho a , b , c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= b+ c c+ a a+b a b c + + + + + a b c b+c c +a a+ b Ta có: P= ¿ b+ c c+ a a+b a b c + + + + + a b c b+c c +a a+ b b+ c c +a a+b b+c a c+ a b a+b c + + + + + + +( + ) a b c a b+ c b c+a c a+b ( )( )( ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b+ c c +a a+b b a c a c b + + = + + + + + ≥ ( 2+2+2 ) = a b c a b a c b c b+c a b+c a + ≥2 =2 =1 a b+ c a b+c ( (1,0đ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ ( 14 c+b a + c +ab )≥ √( 14 c+b a c+b a )=2 12 =1 a+b c a+b c ( + )≥ + =2 =1 c a+b c a+b √ 15 Đẳng thức xảy a=b=c 15 Vậy Min P= a=b=c Khi đó: P ≥ +1+1+1=