PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021- 2022 Mơn: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 02 trang) I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn đáp án trả lời Câu Cho x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + z2 – 2xy – 2y – 4z + = Tính giá trị biểu thức: A = (x – 1)2020 + ( y – 1)2021 + ( z – 1)2022 ta kết A - B C 22022 D Câu Để đa thức f ( x) 10 x x a chia hết cho đa thức 2x – giá trị a A - 12 B - 10 C 10 D 12 Câu Phân tích đa thức x x x x thành nhân tử ta kết quả: x x3 x x ax bx c a ' x b ' x c ' Tổng a b c a ' b ' c ' A -5 B C 10 D 2 Câu Với a, b hai số thực phân biệt thỏa mãn a 3a b 3b 2 , giá trị a b A B C -6 D -3 4x 1 Câu Rút gọn phân thức A ta đa thức A ' Giá trị nhỏ A ' 2x 2x 1 1 1 1 A B C D 4 a b2 c 3 P Câu Cho a b c 3abc a b c 0 Giá trị biểu thức a b c 1 C D 3 Câu Phương trình ( x 6) 25 0 có nghiệm A -11 11 B C 11 D – -11 2 Câu Với giá trị m phương trình (m 25) x 2(m 5) x 60 0 trở thành phương trình bậc ẩn? A m 5 B m C m 5 D m Câu Một hình thang vng có cạnh đáy 10cm 17cm, chiều cao 24cm Chu vi hình thang A 76 cm B 86cm C 66cm D 56cm Câu 10 Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, M trung điểm AD Hạ CE vng góc AEM với AB Tỉ số EMD A B B C D 3 Câu 11 Một đa giác có số đường chéo lần số cạnh Số cạnh đa giác A B C 12 D 13 Câu 12 Cho tam giác ABC có ba đường cao 60cm, 65cm 156cm Khi diện tích tam giác ABC A 1950cm B 5070cm C 4680cm D 10 140cm A Câu 13 Một bể chứa hình hộp chữ nhật Chiều rộng chiều dài tỉ lệ với 5, chiều rộng chiều cao tỉ lệ với Thể tích bể chứa 64m3 Khi chiều cao bể 11 16 m A 4m B m C D 5m 5 Câu 14 Cho tam giác ABC vuông cân C Từ C kẻ tia vng góc với đường trung tuyến BD AM cắt AB D Tính tỉ số ta kết AD A B C D 3 Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH BC , H BC Kẻ HM AB; HN AC Các hệ thức sau, hệ thức đúng? AM AN A B MN BH CH C AB.BC AC AH D AM AB AN BC MB NC Câu 16 Ba khối học sinh 6, 7, tham quan Số học sinh khối tổng số học sinh Số học sinh khối số học sinh khối Số học sinh khối 135 em Tổng số học sinh tham quan A 400 B 420 C 450 D 460 II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 3 3 a) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a b 2 c 8d Chứng minh rằng: a b c d chia hết cho b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: y xy x 0 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau 2 48( x 4) x 2 x2 a) 20 5 x2 x 1 x 1 b) x x 1 x 16 Câu (4,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB 4 AC.BD b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ x2 1 Câu ( 1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x x 1 .HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC: 2021-2022 MƠN: TỐN I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn đáp án trả lời Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B A C D A B C C A C D B C A B C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 3 3 a) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a b 2 c 8d Chứng minh rằng: a b c d chia hết cho b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: y xy x 0 Đáp án a) Ta có a a a (a 1)(a 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 3 Suy a b c d a b c d chia hết cho với a, b, c, d số nguyên 3 3 3 3 3 3 Ta có a b 2 c 8d a b c d 3c 15d 3(c 5d )3 Điểm 0,5 0,25 0,5 Từ suy a b c d chia hết cho b) Biến đổi phương trình y xy 3x 0 x y x 1 ( x 2) Với x, y số nguyên vế trái pt số phương, vế phải pt tích hai số nguyên liên tiếp suy ( x y ) 0 ( x 1)( x 2) 0 0,25 0,5 ( x y ) 0 x 1; y 1 x 2; y 2 ( x 1)( x 2) 0 Vậy nghiệm pt (-2, 2) ; ( -1; 1) 0,5 0,5 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau 2 48( x 4) x 2 x2 a) 20 x2 x 1 x 1 b) x x 1 x 16 Đáp án 48( x 4) x 2 x2 a) 20 (1) x2 x 1 x 1 x x2 u; v , biến đổi (1) thành ĐKXĐ: x 1 Đặt x 1 x 20u 48uv 5v 0 (10u v)(2u 5v) 0 x x2 5 0 x x 14 0 +) 2u 5v 0 x 1 x HS giải pt kết luận pt vô nghiệm x 3 +) 10u v 0 x 33 x 18 0 (3 x 9)(3 x 2) 0 x 2 Vậy nghiệm pt (1) x= x = Điểm 2 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 b) Ta có: 3x x 1 x 16 x x x 144 Đặt x t x t 5;3x t Ta có phương trình: t t t 144 0,5 0,5 t 25t 144 0 t t 16 0 0,5 t 9 t 3 t 5 t 16 Xét trường hợp ta tìm x 0; x 2; x ; x 3 0,5 Câu (4,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB 4 AC.BD b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Điểm Đáp án D I M C A K H B O a) Chứng minh OAC đồng dạng DBO (g-g) OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AC.BD AB 4 AC.BD 2 b) Theo câu a) ta có: ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) OAC đồng dạng ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) DBO (g-g) 0,5 0,5 0,5 OC AC OD OB OC AC OD OA +) Chứng minh: ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) OAC đồng dạng ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) DOC (c-g-c) ACO OCM +) Chứng minh: ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) OAC = ΔOAC đồng dạng ΔDBO (g-g) OMC (ch-gn) Ta có OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA = OM = OB AMB vuông M OC//BM BM cắt Ax I ABI có OC qua trung điểm AB, song song với BI suy OC qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH MH // AI theo hệ định lí ta lét ta có IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC qua trung điểm MH Mà OA = OB c) Tứ giác ABDC hình thang vng S ABDC ( AC BD) AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT cauchy ta có AB AB S ABDC AB AB Dấu ‘ =’ xảy AC = BD = =OA Vậy C thuộc Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 AC+BD 2 AC.BD 2 0,25 Điểm Đáp án x2 1 Câu ( 1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x x 1 Đáp án Điểm x2 1 x2 2x x2 x x 1 a) Ta có: P 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 Vì x 1 x 1 0 x nên P 2 2 x x2 x 1 x x 1 Dấu "=" xảy x 1 Vậy maxP 2 x 1 2 2 2 x x x2 x b) Ta có: P x 3 3 3 x 1 x2 x 1 x2 x 1 3 x2 x 1 x 1 0,25 0,25 2 x 1 0 x nên P x x x 1 3 x x 1 Dấu "=" xảy x Vậy P x Vì 0,25 0,25