PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TÂN SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) Đề thi có 03 trang - Thí sinh làm vào tờ giấy thi I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Cho x y 7, xy 8 Giá trị x y bằng: A 33 B 65 Câu Cho a, b, c thỏa mãn A C 47 D 15 1 bc ca ab 0 Giá trị biểu thức A là: a b c a b c B C D Câu Các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x2y – 2xy + 2x – = A (1; -7); (3; 1) B ( -7;1); (3; 1) C (1; -7); (-3; 1) D (2; -7); (3; 1) Câu Giá trị lớn biểu thức A 6x x 1 B -9 C -1 D Câu Kết rút gọn biểu thức a b a b 6ab là: A 12ab2 B 2a C 2a 12ab2 D 2b3 Câu Biết đa thức x 2017 x 2018 ax b chia hết cho đa thức x –1 Kết a b là: A B C - D Câu Số dư phép chia x99 x55 x11 x cho đa thức x là: A B -3 C D 11 Câu Kết phép nhân (x2017 – 3x – 5)(x2018 + 2x – 1) đa thức có tổng hệ số A -12 B -14 C 10 D 2018 Câu Giá trị biểu thức M x17 –12 x16 12 x15 –12 x14 –12 x 12 x –1 với x 11 là: A 11 B 10 C -12 D 12 Câu 10 Tổng giá trị x thỏa mãn (x – 1)3 + (x + 2)3 = (2x + 1)3 A 3 B -3 C D 5 Câu 11 Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo 24cm 10cm Chu vi hình thoi A 52cm B 62cm C 68cm D 72cm Câu 12 Một tam giác vng có cạnh góc vng tỉ lệ với : 24, chu vi 112cm Độ dài cạnh huyền A 21cm B 28cm C 30cm D 50cm Câu 13 Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm I, tia đối tia DC lấy điểm K cho BI = KD Biết AI = 8cm, độ dài đoạn AK A.12cm B 9cm C 8cm D 5cm Câu 14 Cho tứ giác ABCD, có AC vng góc với BD O, gọi M trung điểm AB Biết OM = 5cm OA = cm Khi độ dài OB A 8cm B 10cm C 12cm D 15cm Câu 15 Cho hình thang cân ABCD có góc C 600, đáy nhỏ AD cạnh bên hình thang Biết chu vi hình thang 20 cm Độ dài cạnh BC A 4cm B 6cm C 8cm D 10cm Câu 16 Công ty A sản xuất xe đạp với số vốn ban đầu 600 triệu đồng để thuê mặt xây dựng nhà xưởng Chi phí sản suất xe đạp 2.500.000 đồng Giá bán xe đạp 3.000.000 đồng Hỏi công ty A phải bán xe đạp thu hồi vốn ban đầu A 800 B 900 C 1.000 D 1.200 II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17 (3,0 điểm) a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ b) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 Câu 18 (4,0 điểm) Giải phương trình 2 1 1 a) x x x x x x x x x b) x 4x 2 2. x 43 Câu 19 (4,0 điểm) Cho tam giác vng ABC vng A , biết góc B lớn góc C Điểm M chạy cạnh AC , kẻ CH BM ; ( H BM ) , CH cắt tia BA D a) Chứng minh DAH đồng dạng với DCB b) Chứng minh rằng: BM BH CM CA có giá trị khơng đổi c) Tìm vị trí M thuộc AC để diện tích tam giác BHC lớn Câu 20 (1,0 điểm): Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Cán coi thi không giải thích thêm (Chú ý: Thí sinh sử dụng máy tính cầm tay theo quy định) PHỊNG GD&ĐT TÂN SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN: Tốn ( Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang) I PHẦN TRẶC NGHIỆM KHÁCH QUAN: ( 8,0 điểm) ( Mỗi câu cho 0,5 điểm) Câu Đáp án B C A D B C A B Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B A A D C A C D Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN: ( 12,0 điểm) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 1,5 Gọi hai số a2 (a + 1)2 Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số chẵn a2 + a + số lẻ b) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 1,5 Ta có x2 = y2 + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y - 1) = 12 Do x + y + – (x - y - 1) = 2y + số chẵn x , y N* nên x + y + > x – y – Do x + y + x – y – hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp: x + y + = x – y – = x = y = Vậy (x; y) = (4; 1) a) Giải phương trỡnh: 2,0 2 1 1 x x x x x x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 1 1 (2) x x x x x x x x x 2 1 2 x x x x 16 x x x 0 hay x x 0 Vậy phương trình cho có nghiệm x b) Giải phương trình: x x 2. x 43 Ta có: x x 2. x 43 x x x x 43; đặt x2 - 4x = t ta được: t2 + 2t – 35 = 0; t = -7, t = Ta có: x2 - 4x + = vô nghiệm; x2 - 4x – = , x = 5, x = -1 Cho tam giác vuông ABC vuông A , biết góc B lớn góc C Điểm M chạy cạnh AC , kẻ CH BM ; ( H BM ) , CH cắt tia BA D a) Chứng minh DAH đồng dạng với DCB b) Chứng minh : BM BH CM CA có giá trị khơng đổi c) Tìm vị trí M thuộc AC để diện tích tam giác BHC lớn 2,0 B K A M C H D a) Chứng minh DAH đồng dạng với DCB 1,5 Ta có BHD CAD 900 ; CDA BDH (chung) Nên CAD đồng dạng với BHD (g.g) Suy AD CD AD DH DH BD CD BD Xét DAH DCB có ADH CDB (chung); AD DH (cmt) CD BD Suy DAH đồng dạng với DCB (c.g.c) b) Chứng minh : BM BH CM CA có giá trị khơng đổi Kẻ MK BC ; (K BC) xét BHC BKM có BHC BKM 900 ; CBH MBK (chung) Nên BHC đồng dạng với BKM (g.g) Suy BH BC BH BM BC.BK ; (1) BK BM xét CAB CKM có CAB CKM 900 ; ACB KCM (chung) Nên CAB đồng dạng với CKM (g.g) Suy CA BC CA.C M BC.C K ; (2) CK CM Từ (1); (2) ta có: BM BH CM CA BC.BK BC CK BC ( BK CK ) BC 1,5 (không đổi) c) Tìm vị trí M thuộc AC để diện tích tam giác BHC lớn 1,0 x2 y S BHC BH HC Áp dụng Bất đẳng thức xy dấu ‘’=” 2 x y Ta có S BHC 1 BH CH BC BH HC ( không đổi) 2 Max S BHC BC BH CH BHC vng cân H Khi M AC cho CBM 450 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên a ab ab ab a a a 2 1 b 1 b 2b Tương tự ta có : b bc c ca b c ; 2 1 c 1 a mà a + b + c = nên a b c ab bc ca 3 (1) 2 1 b 1 c 1 a Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) Từ (1) (2) suy a b c 3 đpcm b2 c2 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tuyệt đối 1,0