PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 16 Câu; 8,0 điểm) Thí sinh lựa chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi x x x2 Câu Số giá trị x Z để biểu thức A có giá trị nguyên x1 A B C D Câu Cho x b2 c2 a a (b c) ,y với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Giá 2bc (b c) a trị biểu thức x y xy A B C Câu Tìm tất giá trị m để hàm số y (m 3m D 2m 6) x đồng biến A m B m C m D m m Câu Tìm m để điểm A 2; 1 ; B 3; m 1 ; C 1;1 ; thẳng hàng? A m B m C m 3 D m Câu Cho đường thẳng d có phương trình y mx m Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d lớn nhất? 1 A m 2 B m C m 1 D m 2mx y 5 có nghiệm x, y (m 1) x y 2 Câu Điều kiện tham số m để hệ phương trình thỏa mãn x y A m B m C m D m m mx y 5 Câu Giá trị nguyên nhỏ m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều 2 x my 7 kiện x 0, y A m B m C m D m 0 2 Câu Cho phương trình x x m 0 (với m tham số) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm 2 phương trình Giá trị lớn biểu thức P x1 x1 1 x2 x2 1 1 1 A B C D 4 Câu Tìm m để phương trình: x (m 4) x m 0 có hai nghiệm x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 26 ? A m 2 B m1 C m1 2; m2 D m1 2; m2 8 Câu 10 Cho ABC có AB 15cm, AC 20cm; BC 25cm Đường phân giác góc BAC cắt BC D Tỷ số diện tích ABD ACD 1 A B C D 16 BC a ; AC b ; AB c Câu 11 Cho ABC , Biết thỏa mãn a bc b c Số đo góc A A 1350 B 1200 C 600 D 300 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A; AH BC H Biết chu vi hai tam giác AHB AHC 72 cm 96 cm Chu vi tam giác ABC A 168 cm B 120 cm C 144 cm D 192 cm Câu 13 Với góc nhọn Giá trị lớn biểu thức P sin cos A B C D Câu 14 Cho O; R đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Biết AM 4cm ; R 6,5cm Thì diện tích BCD A 50 cm B 52(cm ) C 54(cm ) D 56(cm ) Câu 15 Cho O; R , từ điểm M cách tâm O khoảng 2R kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với O; R ( A, B tiếp điểm) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MAB R A R B R C R D Câu 16 Trên đường học về, ba bạn Tốn, Hạ, Hịa phát xe máy vượt đèn đỏ Các công an muốn ba bạn cung cấp thông tin biển số xe, bạn nhớ chi tiết sau: - Bạn Hạ nói: “Đó số có chữ số” - Bạn Hịa nói: “Hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau” - Bạn Toán khẳng định: “Đó số phương” Nhờ thơng tin cơng an tìm xe vi phạm khen ngợi ba bạn học sinh Hai chữ số biển số xe là: A 33 B 55 C 77 D 99 II PHẦN TỰ LUẬN: (12điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho biểu thức: P a b b c c a 5abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho P chia hết cho b) Cho a b số thoả mãn: a 2019 a b 2019 b 2019 Tính: P a 2019 b 2019 2020 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x x x y 20 x y x b) Giải hệ phương trình: 20 x y x Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ABH , ACH Gọi giao điểm đường thẳng AJ , AK với cạnh BC E F a) Chứng minh: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF b) Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn biểu thức: B a 1 b2 c2 -HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( điểm) Mỗi câu đúng: 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án C B D A B C C A A D C B B D C D II PHẦN TỰ LUẬN: (12điểm) Đáp án Điểm a) Cho biểu thức: P a b b c c a 5abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho P chia hết cho 1,5 Câu (3,0 điểm) Vì a b c chia hết cho , đặt a b c 4k , với k nguyên, ta có P 4k c 4k b 4k a 5abc 4 A abc 5abc 4 A 6abc (Với A=……) 0,5 Vì a b c chia hết số a,b,c số chẵn có số lẻ, số chẵn suy tích abc chia hết cho 0,5 6abc 4 P 4 A 6abc 4 Vậy P chia hết cho 0,5 b) Cho a b số thoả mãn: a 2019 a b 2019 b 2019 1,5 Tính: P a 2019 b2019 2020 Ta thấy a + 2019 - a ¹ 0, ( a 2019 a)( b 2019 b) 2019 ( a 2019 a)( a 2019 a)( b 2019 b) 2019( a 2019 a) (a 2019 a )( b 2019 b) 2019( a 2019 a) 2019( b 2019 b) 2019( a 2019 a) 0,25 ( b2 2019 b) ( a 2019 a) (1) Tương tự ta có: ( a 2019 a) ( b2 2019 b) (2) 0,25 Từ (1) (2) a = - b Nên P a 2019 b 2019 2020 a 2019 a 2019 2020 2020 0,5 Câu (3,5 điểm) 0,5 Đáp án a)( 1,75 điểm) ĐKXĐ x Điểm x x x x 3x x x 3x x 1 5x x 5x x 0 0 x 3x x 3x 0 x x 0 x 1 5x x 5x 1 x 0 x 5x 0,5 0,5 x 1 x 3x 0 x 1 x 0 x 2 Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy S 1;2 0,25 y b) (1,75 điểm) Giải hệ phương trình: 20 x y x 3 20 x 2 y x ĐKXĐ: y 0; y x; x 20 0,25 y 20 x y x 3 20 x 2 y x 0,5 y 5 20 x y 25(20 x) Từ 20 x 2 y x 20 x y x (1) Thay y 25(20 x) vào (1) ta pt: 20 x 25 20 x x x 16 y 25 (Thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 0,25 0,25 Vậy HPT có nghiệm (x,y)=(16;25) 0,25 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ABH , ACH Gọi giao điểm Đáp án Điểm đường thẳng AJ , AK với cạnh BC E F a) Chứng minh: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF b) Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính A L T I K J C B E Vẽ hình: H M F a) (1,5 điểm) 0,5 Ta có: AEC EAH 900 ; CAE EAB 900 ; EAH EAB AEC CAE AEC cân C Có CI phân giác góc C nên CI đồng thời đường trung trực AE 0,5 Tương tự, BI trung trực AF I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF 0,5 b) (2,5đ) Gọi M hình chiếu I BC M trung điểm EF IM=r (r bán kính đường trịn nội tiếp ABC ) 0,5 Tam giác ABF cân B, tam giác ACE cân C nên EF AB AC BC 0,5 Hạ IT; IL vng góc với AB; AC ta có ATIL hình vng nên AT=AL=IT=IL=r đồng thời BT=BM; CL=CM (T/c tt cắt nhau) suy ra: AB+AC-BC=2r 0,5 Vì A đối xứng với E qua góc KEC KAC KAC KAH ; KAH KFE 900 KEC KFE 900 KEF vuông K CI nên mà 0,5 Đáp án MK Điểm EF r 0,5 Tương tự MJ EF r MI MJ MK r ( Điều phải chứng minh) Câu 4: (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn biểu thức: B a 1 2 b 4 c 9 b c Đặt x a, y , z x, y, z số dương x y z xyz , đồng thời B Ta có x2 1 Tương tự có Khi B 1 x2 1 y2 xyz x x y z xyz 1 z2 y z 1 y z x y x z x y x z 1 x z , y 1 y x y z 0,25đ 1 x y z 1 z x z y 0,5đ 0,25đ x y xz yz 2 x y 2 x z 2 y z Đẳng thức xảy x y z a 3, b 2 3, c 3 Vậy giá trị lớn biểu thức B 0,5đ PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 16 Câu; 8,0 điểm) Thí sinh lựa chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi x x x2 Câu Số giá trị x Z để biểu thức A có giá trị nguyên x1 A B C D 2 2 b c a a (b c) ,y Câu Cho x với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác 2bc (b c) a Giá trị biểu thức x y xy A B C D Câu Tìm tất giá trị m để hàm số y (m 3m 2m 6) x đồng biến A m B m C m D m m Câu Tìm m để điểm A 2; 1 ; B 3; m 1 ; C 1;1 ; thẳng hàng? A m B m C m 3 D m Câu Cho đường thẳng d có phương trình y mx m Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d lớn nhất? A m 2 B m 1 2 D m C m 1 2mx y 5 Câu Điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm (m 1) x y 2 x, y thỏa mãn x y A m B m C m D m m mx y 5 có nghiệm thỏa 2 x my 7 Câu Giá trị nguyên nhỏ m để hệ phương trình mãn điều kiện x 0, y A m B m C m D m 0 Câu Cho phương trình x x m 0 (với m tham số) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm 2 phương trình Giá trị lớn biểu thức P x1 x1 1 x2 x2 1 A B C D Câu Tìm m để phương trình: x (m 4) x m 0 có hai nghiệm x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 26 ? A m 2 B m1 C m1 2; m2 D m1 2; m2 8 Câu 10 Cho ABC có AB 15cm, AC 20cm; BC 25cm Đường phân giác góc BAC cắt BC D Tỷ số diện tích ABD ACD A B C 16 D Câu 11 Cho ABC , Biết BC a; AC b; AB c thỏa mãn a bc b c Số đo góc A A 1350 B 1200 C 600 D 300 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A; AH BC H Biết chu vi hai tam giác AHB AHC 72 cm 96 cm Chu vi tam giác ABC A 168 cm B 120 cm C 144 cm D 192 cm Câu 13 Với góc nhọn Giá trị lớn biểu thức P sin cos A B C D Câu 14 Cho O; R đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Biết AM 4cm ; R 6,5cm Thì diện tích BCD A 50 cm B 52(cm ) C 54(cm ) D 56(cm ) Câu 15 Cho O; R , từ điểm M cách tâm O khoảng 2R kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với O; R ( A, B tiếp điểm) Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MAB A R B R C R D R Câu 16 Trên đường học về, ba bạn Tốn, Hạ, Hịa phát xe máy vượt đèn đỏ Các công an muốn ba bạn cung cấp thông tin biển số xe, bạn nhớ chi tiết sau: - Bạn Hạ nói: “Đó số có chữ số” - Bạn Hịa nói: “Hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau” - Bạn Tốn khẳng định: “Đó số phương” Nhờ thơng tin cơng an tìm xe vi phạm khen ngợi ba bạn học sinh Hai chữ số biển số xe là: A 33 B 55 C 77 II PHẦN TỰ LUẬN: (12điểm) Câu (3,0 điểm) D 99 a) Cho biểu thức: P a b b c c a 5abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho P chia hết cho b) Cho a b số thoả mãn: a 2019 a b 2019 b 2019 Tính: P a 2019 b 2019 2020 Câu (3,5 điểm) c) Giải phương trình: x x x y 20 x y x d) Giải hệ phương trình: 3 20 x 2 y x Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ABH , ACH Gọi giao điểm đường thẳng AJ , AK với cạnh BC E F a) Chứng minh: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF b) Chứng minh: Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn biểu thức: B a 1 b2 c2 -HẾT Họ và tên thí sinh .SBD Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm