chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến. c) Chứng minh tích không đổi khi di động trên nửa đường tròn.. Vậy MC MD.. Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông [r]
(1)1 ĐỀ THI HKI MƠN TỐN LỚP
NĂM HỌC 2019-2020
CÁC QUẬN – HUYỆN THÀNH PHỐ HÀ NỘI MỤC LỤC
PHẦN I: ĐỀ BÀI
ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY
ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG
ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM
ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI
ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM
ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN
ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM
ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG 10
ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH 11
ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA 12
ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH 13
ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM 14
ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN 15
PHẦN B: ĐÁP ÁN 16
ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY 16
ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG 21
ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM 26
ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI 31
ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM 35
ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN 42
ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN 47
ĐÁP ÁN QUẬN HOÀN KIẾM 53
ĐÁP ÁN: QUẬN HÀ ĐÔNG 57
ĐÁP ÁN: QUẬN BA ĐÌNH 62
ĐÁP ÁN: QUẬN ĐỐNG ĐA 70
ĐÁP ÁN: QUẬN ĐÔNG ANH 75
(2)2
PHẦN I: ĐỀ BÀI
ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY Bài I. (3 điểm): Cho biểu thức: 1 :
2 2
x A
x x x x
với x0, x4
a) Chứng minh
2 A
x
b) Tìm x biết A
c) Cho x số nguyên, tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số ym1x3 d (m tham số, m 1) a) Tìm m để hàm số hàm số đồng biến
b) Khi m2, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy tính khoảng cách
từ O đến đường thẳng d
c) Đường thẳng d cắt đường thẳng 3
y x d điểm M Gọi N P lần lượt giao điểm đường thẳng d d với trục hồnh Ox Tìm m để diện tích tam giác OMP 2 lần diện tích tam giác OMN
Bài III.(4 điểm)
1) Một máy bay bay lên với vận tốc 500km/h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang góc 30 Hỏi sau phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng?
2) Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa
đường trịn Trên tia Ax lấy điểm M cho AM R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn O (C tiếp điểm) Tia MC cắt By D
a) Chứng minh MDMA BD OMD vuông b) Cho AM 2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM
c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OK BM
Bài IV.(0,5 điểm): Giải phương trình:
(3)3
ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Thực phép tính: a) 20 125 45
b) 32
3
2) Một cột cờ vng góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 350 (hình vẽ bên) Tính chiều cao cột cờ?
Bàì 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 x A
x
1
4 2
x B
x x x
(ĐK: x0; x4) 1) Tính giá trị biểu thức A x36
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P A.B có giá trị số nguyên
Bài (2,0 điểm) Cho hàm số bậc ym1x2 có đồ thị d (mlà tham số m 1) a) Vẽ d m0
b) Xác định m để đường thẳng d song song với đường thẳng y2x1
c) Xác định m để d cắt hai trục Ox Oy, A B cho tam giác AOB có diện
tích (đơn vị diện tích)
Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm , đường kính Trên nửa mặt phẳng
có bờ chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Từ điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ( khác ) vẽ tiếp tuyến cắt Gọi là giao điểm giao điểm .
a) Chứng minh điểm thuộc đường tròn b) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật
c) Chứng minh tích không đổi di động nửa đường trịn
d) Tìm vị trí nửa đường trịn cho diện tích tứ giác nhỏ
(4)4
ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM
Bài 1.(2,0 điểm) Cho hai biểu thức:
3
A
x x
2
9
x B
x x
với x0; x9 1) Tính giá trị biểu thức A x4
2) Rút gọn biểu thức MA B:
3) Tìm giá trị x để 3 x 5 2M
Bài (2,0 điểm)
1) Thực phép tính: 3 8 50 1 2 2) Giải phương trình sau:
a
6
x x b 2 12x3 3x4 48x 17
Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y (m 1)x 6 (1) với m 1
1) Vẽ đồ thị hàm số (1) m 2
2) Gọi đồ thị hàm số (1) đường thẳng ( )d , tìm m để đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m 2 điểm nằm trục tung
3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d 3 2
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho điểm M nằm ngồi đường trịn O R; Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB, tới đường tròn tâm O (A B, là tiếp điểm) Gọi H giao điểm MO với AB.
a) Chứng minh rằng: điểm M A O B, , , cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: MOAB tạiH
c) Nếu OM2R tính độ dài MAtheo Rvà tính số đo góc AMB, AOB?
d) Kẻ đường kính AD đường tròn O , MDcắt đường tròn O tại điểm thức hai C
Chứng minh rằng:MHCADC
Bài 5 (0,5 điểm)Cho x y, là số dương thỏa mãn x2y
Tìm giá trị nhỏ biểu thức M với
2
x y
M
xy
(5)5
ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI
Bài I (2,5 điểm)
Cho hai biểu thức :
1
x A
x
1
4 2
x x
B
x x x
với x0; x4
1) Tính giá trị biểu thức A x16 2) Rút gọn biểu thức B
3) Đặt M A B
Tìm x để biểu thức M thỏa mãn M8 x 8 0
Bài II (2,5 điểm)Cho hàm số y x 2 có đồ thị đường thẳng d a) Vẽ đường thẳng d mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Xác định hệ số a b; hàm số bậc yax b biết đồ thị hàm số đường thẳng qua điểm A1; 5 song song với đường thẳng d
c) Tìm giá trị m để đường thẳng ym3x5 (với m tham số m3) cắt đường thẳng d điểm nằm bên phải trục tung
Bài III (1,0 điểm)Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 42 Cùng thời điểm
đó bóng cột đèn mặt đất dài 7, 2m Tính chiều cao cột đèn (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn O R; có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường trịn
O cho AM MB Tiếp tuyến A đường tròn O cắt tia OM S Đường cao AH tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn O D
1) Chứng minh:
OH.OS=R
2) Chứng minh: SD tiếp tuyến đường tròn O
3) Kẻ đường kính DE đường trịn O Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác SAD Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD tính độ dài đoạn thẳng AE theo R r
4) Cho AM R, gọi K giao điểm BM AD Chứng minh:
MD
KH KD
Bài V (0,5 điểm) Cho hai số dương x y, thỏa mãn điều kiện x y 1 Chứng minh:
2
4
x x
x y
(6)6 D
E a
b
60°
K
ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM
Bài I (2,0 điểm).
1 Tính: a) 5
5 1 1 b)
2
1
5
2 Giải phương trình sau:
a) x 1 9x 9 4x 4 12 b)
x 5x x 5
Bài II (2,0 điểm).Cho hai biểu thức
3 x A
x
9
3
x x x
B
x
x x
với x0,x9
a) Tính A x25 b) Chứng minh:
3 x B
x
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức PA B
Bài III (2,0 điểm) Cho đường thẳng d1 :y2x2 a) Vẽ đường thẳng d1 mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm d1 và d2 : y x
c) Cho đường thẳng d3 :ymx5 Tìm giá trị mđể ba đường thẳng d1 ; d2 ; d3 cắt nhau điểm
BÀI IV (3,5 điểm)
1 Một thuyền địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình 2km/h, vượt qua khúc sông
nước chảy mạnh 20 phút Biết đường thuyền DE, tạo với bờ sơng góc 60o Tính chiều rộng khúc sơng
2 Lấy điểm A O R; , vẽ tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy B, O R; lấy C cho BC AB
a) Chứng minh rằng: CB tiếp tuyến O
b) Vẽ đường kính AD O , kẻ đường CK vng góc với AD Chứng minh CD// OB
và BC DC CK OB
c) Lấy điểm M cung nhỏ AC O , vẽ tiếp tuyến M cắt AB BC, E F, Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE Chứng minh MAC∽IFE
Bài V (0,5 điểm) Cho x y z, , 0 xyyzzx3xyz.Tính giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
2 2 2
x y z
A
z z x x x y y y z
(7)7
ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN
Bài (1,5điểm) Thực phép tính
a) 3 807 45 500 b) 322 19 3
c) 14 28
7
Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức :
1
1
x x x
P x
x
x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P với x 4 3
c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên
Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y 0,5x có đồ thị d1 hàm số y x 2 có đồ thị d2 a) Vẽ đồ thị d1 d2 mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Xác định hệ số a b, đường thẳng d :yax b biết d song song với d1 và d cắt d2 điểm có tung độ 3
Bài 4. (4,0 điểm)
1)(1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn
góc
ACB30 Tìm độ dài AB
2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B C tiếp điểm.)
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn AOBC
b) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm M (M B, M C, M AO) Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC D, E Chứng minh: Chu vi ADE 2AB
c) Đường thẳng vng góc với AO O cắt AB AC P Q Chứng minh: 4PD.QE = PQ2
Bài (1,0 điểm) Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm quốc lộ kéo dài, nối xã
(8)8
ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN
Bài 1: (2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
0
0
sin15 os15
cot 75 os15
c A
c
2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27
16
Bài 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức 2
2 2x
x P
x x
và
1
;
1
x Q
x x x
(Với x1,x2,x3)
1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 2) Chứng minh Q 2 x
3) Tìm x để P Q 0
Bài 3: (2 điểm)
Cho hàm số bậc y(m1)x2m y(2m1)x3m
1) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song 2) Tìm giá trị m để giao điểm hai đồ thị nằm trục hoành
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nửa đường trịn O R; đường kính AB Gọi C D, hai điểm di chuyển cung trịn sao cho góc COD ln
90 (C nằm A D) Tiếp tuyến C,D cắt đường thẳng AB F,G Gọi E giao điểm FC GD
1) Tính chu vi tam giác ECD theo R
2) Khi tứ giác FCDG hình thang cân Hãy tính tỉ số AB FG
3) Chứng minh FC DG ln số
4) Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: (0,5 điểm)
Với hai số ,x y dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2
1 1 1 1 4
1 1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
T
x x y y x y
(9)9
ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM
Bài (2,0 điểm)
1 Tính giá trị 2 2
P
2 Giải phương trình
1 x x
với xlà ẩn số thực
Bài (2,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x A
x
1
1
x B
x x
với x0;x1 1 Tính giá trị A khi
4 x 2 Rút gọn biểu thức P B
A 3 Tìm x để biểu thức P1
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho hàm số bậc ym2x m 1 với m tham số có đồ thị đường thẳng d 1.Tìm m để d qua điểm A ;1 1 Vẽ d với mvừa tìm
2.Với giá trị m d và đường thẳng d ' : y 1 3x song song với ? 3.Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d
Bài (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O;4cm), đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn AO cho OH= 1cm Kẻ dây cung DC vng góc với AB H
1 Chứng minh: ABC vng tính độ dài AC
2 Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Chứng minh CBD cân EC EA
DH DB
3 Gọi I trung điểm EA, đoạn IB cắt (O) Q Chứng minh CI tiếp tuyến (O) và từ suy ICQCBI
4 Tiếp tuyến B (O) cắt IC F Chứng minh ba đường thẳng IB,HC, AF đồng quy
Bài 5. (0,5 điểm) Cho x, y,z số thực thỏa mãn đẳng thức xyyzzx5 Tìm giá trị lớn nhất biểu thức
3
6 5
x y z
P
x y z
(10)10
ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG
Bài (1,5 điểm) Tìm x,biết 1)2 x 81x x20
3
2) x 4
Bài 2 (2,5 điểm) Cho hai biểu thức
1 x A
x
2 3
3 12
x x x x
B
x x x x
với x0;x9;x16 1) Tính giá trị biểu thức A x25
2) Rút gọn B
3) Đặt P2 x2B A: Tìm giá trị nhỏ P
Bài (2,0 điểm) Cho hàm số
1
y m x m (m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Vẽ đồ thị hàm số với m =
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3 3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng d1 :y2x 3
Bài (3,5 điểm)Cho điểm M nằm ngồi đường trịn O R; cho OM 2R Từ M kẻ
tiếp tuyến MA, MB với O R; ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường trịn ( )O Gọi H giao điểm AB OM.
a) C/m: điểm A , O , B , M thuộc đường trịn b) Tính tỉ số OH
OM
c) Gọi E giao điểm CM đường tròn ( )O Chứng minh : HEBE
Bài (0,5 điểm) Với x,y số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ
biểu thức 2
2x 2020
Q y x
x
(11)11
ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH
Bài (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A 12
2
b) Một chiếu thang dài 3,5m Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng để tạo với phương nằm ngang mặt đất góc an tồn 750 (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 2. (2,0 điểm)
x x x x x
A ; B ,
x 25 x x
với x0; x9; x25 a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị
b) Rút gọn biểu thức B
c) Đặt P=B:A So sánh P với
Bài 3.(2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :ym1x m (với m tham số)
a) Vẽ đường thẳng d m3;
b) Tìm m để d qua điểm A 1; 3;
c) Tìm m để d với hai đường thẳng 1
2 :
3
d y x d2 :y x 1 đồng quy
Bài 4.(3,5 điểm) Cho điểm C thuộc đường trịn tâm O đường kính AB, (ACBC) Gọi H
trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn ( )O cắt tia OH D
a) Chứng minh rằng:
DH DODB ;
b) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn ( )O ;
c) Đường thẳng AD cắt đường tròn ( )O E Gọi M trung điểm AE
Chứng minh bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn
d) Gọi I trung điểm DH, BI cắt ( )O tại F Chứng minh ba điểm A H F, , thẳng hàng
Bài (0,5 điểm) Giải phương trình :
2 x 8 x 8
A
B
(12)12
ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA
Bài I ( 2,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức T 1 4,5 12,5 2 2
2) Giải phương trình: 2
x 6x 5 Bài II ( 2,0 điểm)
Cho biểu thức A x x 2 x
B 2x x 4 x 1
x x x 2
với x 0
1) Tính giá trị A x = 2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P A B
Tính giá trị nguyên x để P có giá trị âm
Bài III ( 2,0 điểm) Cho hai hàm số: y x d và y x d'
1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ 2) (d) cắt (d’) điểm M Tìm tọa độ điểm M
3) (d) cắt Ox A, cắt Oy B; (d’) cắt Ox C, cắt Oy D Tính diện tích tam giác BCM
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng
d vng góc với OA A Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME MF tới đường tròn (O) ( E F tiếp điểm) EF cắt OM OA lần lượt H K
1) Chứng minh: H trung điểm EF
2) Chứng minh bốn điểm O,M,A,F thuộc đường tròn 3) Chứng minh : OK.OA=R2
4) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn
Bài V (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x y 1và x0
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
M
4
x y
y
(13)13
ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH
Bài I: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) 122 75 27 3 b) 5
5
Bài II: (2 điểm): Giải phương trình: a) x 1
b) 25 50
5
x x x
Bài III: (2 điểm) Cho
2 x A
x
2
4
x B
x x
(ĐK: x0,x4) a) Tính giá trị biểu thức A x = 36
b) Rút gọn biểu thức P = B:A c) Tìm giá trị x để P >
Bài IV: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = x + có đồ thị (d1) hàm số y = -2x - 1có đồ thị (d2)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ giao điểm A hai đồ thị hàm số phương pháp đại số c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai đồ thị trục hoành
Bài V: (3 điểm) Cho đường tròn (O:R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn đó, qua A vẽ
các tiếp tuyến AB, AC với (O:R), B C tiếp điểm vẽ đường kính BOD (O) a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn
b) Chứng minh rằng: DC // OA
c) Đường trung trực BD cắt đường thẳng CD E Chứng minh tứ giác OCEA là hình thang cân
Bài VI: (0,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z =1
Chứng minh: x2y y2z z2x 3
(14)14
ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM
Bài 1: (2,0 điểm)
Câu 1) Rút gọn biểu thức: a) 7 3 363 48
b) 3 7 11 7
Câu 2) Giải phương trình hệ phương trình: a) 4x12 3 x 9x27 20
b)
3
x y x y
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức x A
x
x16
b) Rút gọn biểu thức sau:
2
x x
B
x x x x
(Với x0,x1)
c) Tìm giá trị x để biểu thức M = A.B < 0
Bài 3: (2,0 điểm) Cho ba đường thẳng:
d1 :y x 2 d2 :y2x1
2
3 :
d y m x m a) Vẽ d1 ; d2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Xác định m để ba đường thẳng đồng quy
Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O R; và điểm A nằm ngồi ( )O Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với ( )O (B C, tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC.
a) Chứng minh bốn điểm A B O C, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh: OA đường trung trực BC
c) Lấy D điểm đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn thẳng AD với O ( E không trùng với D) Chứng minh: DE BA BD BE .
d) Tính số đo góc HEC
Bài 5: (0,5 điểm) Cho : a b 1 Chứng minh: 2
(15)15
ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN
Bài (2,5 điểm): Cho biểu thức 2
4
2
x x x
P
x
x x
a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P
4 x
c) Tìm x để P2
Bài (1,5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình:
a)
2
x y
x y
b) 5 x 5 9x45 4x2018
Bài (3 điểm) Cho hàm số ym1x26 Hãy xác định m để: a) Hàm số đồng biến
b) Đồ thị hàm số qua A1; 2
c) Đồ thị hàm số cho song song với đồ thị hàm số y4023m x 11
Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính 3cm Từ điểm A cách O 5cm vẽ
tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C, tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với BC
b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC
d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt tia DC E
Đường thẳng AE OC cắt I, đường thẳng OE AC cắt G Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA
Bài (0,5 điểm)Với x0 tìm giá trị nhỏ biểu thức 2017
4
S x x
x
(16)16 PHẦN B: ĐÁP ÁN
ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY Bài I. (3 điểm): Cho biểu thức: 1 :
2 2
x A
x x x x
với x0, x4
a) Chứng minh A x
b) Tìm x biết A
c) Cho x số nguyên, tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải
a) 1 :
2 2
x A
x x x x
:
2
2 2
x x x
A
x x
x x x x
2 2:
2
2
x x x
A x x x x
4 :
2 2
x A
x x x x
2 x x A x x x A x
b)
3
A
x
2
x x
16
x
(TMĐK) Vậy x16
c) Ta có: x nguyên x0, x4 x1, x4, x
Ta có: x 1 x 1 x 2 4 4
3 3
2 P
x x
(17)17 Dấu “” xảy x
Vậy giá trị nhỏ P
x1
Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số ym1x3 d (m tham số, m 1) a) Tìm m để hàm số hàm số đồng biến
b) Khi m2, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d
c) Đường thẳng d cắt đường thẳng 3
y x d điểm M Gọi N P giao điểm đường thẳng d d với trục hồnh Ox Tìm m để diện tích tam giác OMP lần diện tích tam giác OMN
Lời giải a) Hàm số cho đồng biến m 1 0 m b) Khi m2 hàm số có dạng y3x3
* Cho x0 y3 Cho y0 x 1
Đường thẳng qua hai điểm 0; 1; 0 đồ thị hàm số y3x3 * Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy
Gọi A 0; B1; 0 nên OA3, OB1 Kẻ OH vng góc với d H
Xét tam giác OAB vng O, đường cao OH Có 2 12 12
OH OA OB (hệ thức lượng tam giác vuông)
x y
A
B H
3
(18)18
2 2 1 OH
10 OH
3 10 10 OH
c) Hai đường thẳng d d cắt
m
2
m
Hoành độ giao điểm M d d nghiệm phương trình
1 3
2
m x x x
Mà 3
2
y x y
d cắt d điểm M 0;
N giao điểm d với trục Ox nên ; N
m
P giao điểm d với trục Ox nên P 2; Suy
1 ON
m
; OP2
Ta có SOMP 2SOMN .1
2OM OP OM ON OP ON
3
2 2;
1 m m
m
(TMĐK)
Vậy m2; 4 Bài III. (4 điểm)
1) Một máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang góc 30 Hỏi sau phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao ki-lô-mét theo phương thẳng đứng 2) Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn Trên
tia Ax lấy điểm M cho AM R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn O (C tiếp điểm) Tia MC cắt By D
a) Chứng minh MDMA BD OMD vuông b) Cho AM 2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OKBM
(19)19 Gọi AB đoạn đường máy bay bay lên phút BC độ cao máy bay đạt sau phút Sau phút máy bay bay quãng đường AB500.0,1 50 km
Độ cao máy bay BC50.sinA50.sin 30 25km 2)
a) * Xét O :
MA, MC tiếp tuyến cắt M với tiếp điểm A C MAMC DC, DB tiếp tuyến cắt D với tiếp điểm B C DBDC Mà MDMC CD
MD MA DB
* Xét O :
MA, MC tiếp tuyến cắt M với tiếp điểm A C OM tia phân giác AOC DC, DB tiếp tuyến cắt D với tiếp điểm B C OD tia phân giác COD Mà AOC COB hai góc kề bù
OM OD
D 90
MOD
nên OMD vuông O b) AM2RMC2R
Xét tam giác MOD vng O, đường cao OC, có:
30°
A B
C
y x
H
K
A B
C
D
(20)20
2
MC DCOM (hệ thức lượng tam giác vuông)
2
2 R
R CD R CD
2 R
CD DB
Do chu vi tứ giác ABDM là:
AB BD DM MAAB DB DC CM AM
2 2
2
R R
R R R R
c) * Chứng minh: AMO đồng dạng với BAK (MAO ABK 90 ; AOM BKA phụ với KAB) Suy AM AO AM BO
AB BK AB BK tanMBAtanOKBMBA OKB
Gọi H giao điểm OK BM Ta có MBA OKB HBO OKB
Mà OKB KOB 90 (OBK vuông B)
90 HBO KOB
Hay HBO HOB 90 OHB 90 OKBM H
Bài IV. (0,5 điểm): Giải phương trình: 2020x2019 2019 x2019 2019x2020 Lời giải
ĐK: 2020 2019 x
2020x2019 2019 x2019 2019x2020
2020x 2019 2019x 2020 2019 x
2020x 2019 2019x 2020 2019 x 2020x 2019 2019x 2020
x 1 2019 2020x 2019 2019x 2020
(21)21
ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG Bài 1. (2,0 điểm)
1) Thực phép tính: a) 20 125 45
b)
2
3
2 3
2) Một cột cờ vng góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 350 (hình vẽ bên) Tính chiều cao cột cờ?
Lời giải 1)
a) 20 125 45 2 15 15 5 2 5
b)
2
2
3
2
3 3 2 3 2 2
3
2)
* Chiều cao cột cờ AB Do ABC vuông A nên ta có:
0
.tan =12.tan35 =8,402
AB AC C
m
Bàì 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 x A
x
1
4 2
x B
x x x
(ĐK: x0; x4)
1) Tính giá trị biểu thức A x36 2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức PA.B có giá trị số nguyên
12m
350 C B
(22)22
Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức A x36
Có: x36TM x 6 Thay x6 vào biểu thức A có:
6 6
A
Vậy
A x36 2) Rút gọn biểu thức B
1
4 2
x B
x x x
(ĐK x0; x4)
1 2 2 2 2 2 2 2 x B x x x x
x x x
B x x x x B x x x x B x x x B x
3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức PA.B có giá trị số nguyên
2
x x
P A.B P .
x x ( ĐK: x0; x4) 4 x P x x 4
1 4 4; 2; 1;1; 2; 0; 2;3;5;6;8
4
P Z Z Z x x
x x
¦
Kết hợp điều kiện: x0; x 4 x 0 8; ; ; ; ; PA.B có giá trị số nguyên Bài (2,0 điểm)
(23)23 b) Xác định m để đường thẳng d song song với đường thẳng y2x1
c) Xác định m để d cắt hai trục Ox Oy, A B cho tam giác AOB có diện tích (đơn vị diện tích)
Lời giải a) Khi m0 ta có hàm số y x
Hàm số xác định với x 1 0
a hàm số đồng biến Lập bảng:
x 0 2
y 2 0
Đồ thị hàm số đường thẳng qua hai điểm 0; 2;0 Vẽ đồ thị:
b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 1 2
m
y x m
c) Xét hàm số: ym1x2 d Gọi Avà Blà giao điểm d với trục hoành trục tung
Giao với Ox: Cho 0 1 2 0 2 ; 0
1
y m x x A
m m
Giao với Oy: Cho x 0 y B 0;
Ta có 2 ;
1
OA OB
m m
, tam giác OABvuông Osuy
1 2
.2
2 1
OAB
S OA OB
m m
m 1
1
1
m m
m m
(Tm đk)
(24)24 Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm , đường kính Trên nửa mặt phẳng có bờ
chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Từ điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ( khác
) vẽ tiếp tuyến cắt Gọi giao điểm giao điểm
a) Chứng minh điểm thuộc đường tròn b) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật c) Chứng minh tích khơng đổi di động nửa đường trịn
d) Tìm vị trí nửa đường trịn cho diện tích tứ giác nhỏ Lời giải
a) Vì tiếp tuyến đường tròn
⇒ ̂ ̂ ⇒ điểm thuộc đường trịn đường kính b) Xét đường trịn tiếp tuyến cắt tiếp tuyến và nên ta có
⇒
Mà ⇒ trung trực trung trực
⇒ ̂ ̂
Xét đường tròn tiếp tuyến cắt tiếp tuyến và nên ta có
⇒ ̂ ̂; ̂ ̂
Mà ̂ ̂ ̂ ̂ ⇒ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂⇒ tứ giác hình chữ nhật
F 4 3 2 1
y x
E
D
C
O
A B
(25)25 c) Xét tam giác vng có đường cao
⇒ không đổi d) Gọi trung điểm
Tứ giác hình thang cân có đường trung bình
⇒
⇒ Diện tích tứ giác nhỏ trùng vng góc Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A x 2 2 x 1 2019x
Lời giải Điều kiện x2
Ta có
2A2 x 2 4 x 1 4038 2 x x 2 x 2 1 x 1 x 1 4 4042
2 2
2 1 4042
x x
2A 4042
A 2021
Đẳng thức xảy 1 x
x
(26)26
ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM Bài 1
1) Thay x4 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:
2 4
A
Vậy với x4 A 3 2)
2
: :
9 3
x M A B
x x
x x
2
6 :
3 3
x x
x x x x
. 3 3
3
x x x
x
x x
3) x 5 2M 3 x x
x
3 x x 2. x 3
3x x x
3x x
2
x x
2
x x x
2 2
x x x
x 2 x 1
1
x
(Vì x 2 x TMĐK) 1( )
x TM
(27)27 Bài 2
a Ta có:
2
2
6 3
3
x x
x x x x
x x
Vậy: b) Điều kiện: x0 Ta có:
2 12x3 3x4 48x 17 4 3x3 3x16 3x 17
1 17 17 3
3
x x x x tm
Bài 3:
1) Vẽ đồ thị hàm số (1) m 2
Khi m 2, ta có: y (2 1)x 3x
x 2
3
y x 6
0
(28)28 2) Gọi đồ thị hàm số (1) đường thẳng ( )d , tìm m để đường thẳng ( )d cắt đường thẳng
5
y x m điểm nằm trục tung
Đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m điểm nằm trục tung
1 m
m m
1 m m m
8
m
Vậy m 8 đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m điểm nằm trục tung
3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d
Đồ thị hàm số y (m 1)x với m 1 đường thẳng cắt trục Ox điểm ; A
m
và cắt trục Oy điểm B 0;6
Suy ra: 6
1
OA
m m OB 6
Kẻ OH AB H OH khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có:
2 2
1 1
OH OA OB
2
2
1 1
36 36
(3 2)
(m 1)
2
1 ( 1)
18 36 36
m
2
1 ( 1)
18 36
m
2
2 ( 1)
36 36
m
2
(m 1)
2 2 1 1 2
m m
2 2 2 2
(29)29
2 2 2 2 0
m m
2 2 0
m m
( 2)
m m
0
m m 2 0
0
m (thỏa điều kiện) m 2 (thỏa điều kiện)
Vậy m 0; m 2 khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d Bài 4:
a) Gọi I trung điểm OM Ta có MAO 90 IO IA IM Ta có MBO 90 IO IB IM
Vậy M A O B, , , thuộc đường tròn tâm I IA, b) OAOB R O thuộc đường trung trực AB
MAMBM thuộc đường trung trực AB Vậy MOAB tạiH
c) Xét tam giác MAO vuông A
2 2
3 OM OA AM AM R
1
sin 30 60
2 OA
AMO AMO AMB
OM
3
sin 60 120
2 AM
AOM AOM AOB
OM
d) Chứng minh tương tự ta có ACD 90
Xét tam giác MAD vuông A, đường cao AC Ta có MA2 MC MD Xét tam giác MAO vng A, đường cao AH Ta có MA2 MH MO Vậy MC MD MH MO MC MO
MH MD
Xét hai tam giác MHC MDO
H
C I
D B
M O
(30)30 OMD chung
MC MO
MH MD
Vậy MHC∽MDO c g c MHCADC
Bài 5:
Cách 1: x 2y x y 2
1 3 5
4 4 2
x y x y x y x x y
M M
xy y x y x y y x
Giá trị lớn 2
M x y
Cách 2: 2 y
x y
x
2
2 2 2 2
4 4
4
x y
x y x xy y xy y y
M
xy xy xy x
2 M
Giá trị lớn 2
M x y Cách 3: x2y x 2y0
2 2 2 2
2 5 5
2 2
x y x y
x y x xy y xy
M
xy xy xy
2 M
Giá trị lớn 2
M x y
Cách 4: 2 y x y x 2
2 2 2 2
2
4
3
2 x y
x y x y y x y y
M
xy xy xy x xy
2 M
Giá trị lớn 2
(31)31
ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI
BÀI Ý Nội dung Điểm
I 2, 5 đ
1) Tính giá trị biểu thức A x16 1 đ
16
x (tmđk)
Thay x16 vào biểu thức A
0, 25đ 0,25đ Tính 25
2 A
Kết luận
0, 25đ 0,25đ
2) Rút gọn biểu thức B 1 đ
1
4 2
x x
B
x x x
0, 25đ
2
2
x x x x
B
x x
0, 25đ
2 2
x B
x x
0, 25đ
1 B
x
hay
1 B
x
0, 25đ
3) Tìm x để biểu thức M A B: thỏa mãn M8 x 8 0 0, 5đ Biến đổi
2
1
M x
2
8
M x x
0, 25đ
Lập luận :
2
3
x với x thỏa mãn đkxđ Tìm : x9 (tmđk)
Kết luận:
0, 25đ
II 2,5đ
a) Vẽ đường thẳng d mặt phẳng tọa độ Oxy 1đ Lập luận đường thẳng d qua 0; 2 2;
Vẽ đồ thị
(32)32 b) Xác định hệ số a b; hàm số bậc yax b biết đồ thị hàm số
là đường thẳng qua điểm A1; 5 song song với đường thẳng d 0,75đ * Lập luận, tìm a1 b 2 0,25đ * Thay x1;y 5 vào công thức yax b
* Tính b 6 (thỏa mãn)
0,25đ
Vậy a1;b 6 0,25đ
c) Tìm giá trị m để đường thẳng ym3x5 (với m tham số
m ) cắt đường thẳng d điểm nằm bên phải trục tung
0,75đ
Đường thẳng d đường thẳng ym3x5 cắt m Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng x 2 m3x5
Tìm x
m
Lập luận x0
Tìm m4;m3 trả lời
0,25đ
0,25đ
0,25đ
III
Học sinh vẽ tam giác vuông DEF 0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ Giả sử DF chiều cao cột đèn điện, DE
bóng cột đèn mặt đất Góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất góc E
Lập luận DFDE.tanE
Tính
0
7, 2.tan 42 6, 48( ) DF
DF m
kết luận
IV 3,5đ
1 Chứng minh
OH OSR 1đ
Vẽ hình đến câu a 0,25đ
Chứng minh SAO900 SAO vuông A 0,25đ F
(33)33 Chứng minh
OH OSOA 0,25đ
Suy OH OS R2 0,25đ
2 Chứng minh: SD tiếp tuyến đường tròn (O) 1đ Chứng minh OH phân giác AOD 0,25đ
Chứng minh SAO SDO 0,25đ
Chứng minh SD tiếp tuyến đường tròn
(O) 0,5đ
3 Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp SAD tính độ dài đoạn thẳng AE
theo R r 1đ
Chứng minh SO phân giác SAD 0,25đ
Chứng minh OAM cân OOMAOAM
Chứng minhSAM MAH (cùng phụ với hai góc nhau) AM phân giác SAD
0,25đ
Lập luận, suy M tâm đường tròn nội tiếp SAD 0,25đ
Suy MHr OH R r
Chứng minh
2 AE OH
Tính AE2(R r )
0,25đ
4
Chứng minh
2
MD
KH KD
0,5đ
- Chứng minh tứ giác AMDO hình thoi - Chứng minh K trọng tâm MOD - Chứng minh
3
KD HD,
3 KH HD
2
9
KH HD HD
0,25đ
D H S
A
O B
M
E
D H S
A
O B
M
K
E
D
H S
A
O B
(34)34
Tính
.sin 60
2
HDMD R
=
2
2
9
R HD Kết luận
0,25đ
V Áp dụng BDT Cô si ta chứng minh
2 1 1
2
4 4 4 4
x x x
x x x
Suy
2 1
1
4 4
x x
3
4
x x
(1)
Ta có 4y y 2.2
y y
1
1 4 4
x y x y x
y
2
4x x y
(2)
(35)35
ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM
Bài I (2 điểm): 1 Tính:
a) 5
5 1 1 b)
2
1
5
Giải
a) 5
5 1 1
15 5 15 1 15. 5 15 1
5 5 5 5
5
b)
1
5
5
5
5
5
6
5
2 Giải phương trình sau:
a) x 1 9x 9 4x 4 12 (ĐK : x1)
x x x 12
6 x 12
x 1 2
x
x TM
(36)36 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5
b) x2 5x x 5 (ĐK: x5)
x x x
x x
x x
x TM x KTM
Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5
Bài II ( điểm)
Cho hai biểu thức x A
x
9
3
x x x
B x x x
với x0,x9 a) Tính A x25
b) Chứng minh: 3 x B x
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức PA B
Hướng dẫn giải
a) x25 (TMĐK) x 5
Thay x = 25 x 5 vào A ta có: 32 15 A
Vậy x25 32 15 A
b) Chứng minh: 3 x B x Giải:
2 7
9
3 3 3
x x x x x x
B
x
x x x x x x
2 3 2 6 4 3 7 3
3 3
x x x x x x x x x x
x x x x
(37)37
3
3
3
3 3
x x
x x x
x
x x x x
(đpcm)
c) 7 16 16
3 3 3
x x x
P A B x x
x x x x x
Với x0,x9 16 x
x
Áp dụng bất đằng thức Cô-si cho số x3 16
x ta có:
16 16
3
3
x x
x x
Suy
16
3
3 x
x
Nên P2
Vậy giá trị nhỏ P Dấu “=” xáy
2
16
3
3
3 16
3 4( ) x
x
x x TM
x
x L
Câu III.(2 điểm): Cho đường thẳng d1 :y2x2 a) Vẽ đường thẳng d mặt phẳng tọa độ 1 Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm d 1 d2 : y x
c) Cho đường thẳng d3 :ymx5 Tìm giá trị m để ba đường thẳng d1 ; d2 ; d3 cắt điểm
Lời giải
a) Ta có: d1 y2x2
Với x0thì y2 d1 qua điểm A 0; + Với y0thì x 1 d1 qua điểm B1; 0
(38)38 b) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là:
2x 2 x 3 x y
Vậy tọa độ giao điểm d1 ; d2 C 5; 8
c) Ta có d1 d2 Cnên để ba đường thẳng qua điểm C d3
8 m 5
13 m
Vậy với 13
m d1 ; d2 ; d3 qua điểm
Bài IV (3,5 điểm):
1 Một thuyền địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh 20 phút Biết đường thuyền DE, tạo với bờ sông góc 60o
Tính chiều rộng khúc sơng
Lời giải
Đổi 20 phút 1 h
Quãng đường DE dài là: 2.1 3
2
km
Qua E kẻ EK a DKE 90 Xét KDEvuông K có:
2
.sin sin 60 0,577( )
3
EK DE EDK km
Vậy chiều rộng khúc sông 0,577(km)
2 Lấy điểm A O R; , vẽ tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm B, O R; lấy điểm C cho BCAB
a) Chứng minh rằng: CB tiếp tuyến O
b) Vẽ đường kính AD O , kẻ đường CK vng góc với AD D
E a
b
60°
(39)39 Chứng minh CD// OB BC DC CK OB
c) Lấy điểm M cung nhỏ AC O , vẽ tiếp tuyến M cắt AB BC, E F, Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE Chứng minh MAC~IFE
Lời giải
a) Xét AOB COB, có: ABBC(gt)
OB chung
OAOC R
( )
AOB COB c c c
Suy BAOBCO 90 Nên BC tiếp tuyến O
b) Ta có ACD nội tiếp O , AD đường kính ACD 90 hay CDAC Lại có OBAC(O B cách A C)
Suy CD // OB(Từ vng góc đến song song) I
F
E
K D
C
O A
B
(40)40 Ta có: KCDCAO (cùng phụ góc KDC)
Mà CAOACO (OA = OC = R) Nên KCDACO (Tính chất bắt cầu)
Suy BOCCDK (cùng phụ với ACO KC, D)
(Cách khác: Ta có BOCOCD(SLT), mà OCDODC(do OC = CD = R) nên
BOCCDK(Tính chất bắt cầu) ) Xét BCO CKD, có
BOCCDK(cmt)
90 BCOCKD
~
BCO CKD g g
BC BO
BC DC CK OB
CK CD
c) Ta có EI tia phân giác góc BEF (gt) EO tia phân giác góc AEM (định lý) Suy EI EO Mà AM EOnên EI // AM Chứng minh tương tự ta OFIFvà IF // MC Từ đó: IEF EMA(slt) IFEFMC (slt) Lại có: IEFIFE180 EIF
180
EMAFMC AMC
Suy EIF AMC 1
Ta có: 1 1 180
2
IFEIBF EBFEFB BEF
Lại có:
180 180
MOA
BEF MEA
MEA
MOABEF Suy
1 1
180
2 2
(41)41
IFE MAO IBF
Lại có IBCKCD (vì BCO~CKD cmt( ))
nên IFEMAO KCD MAO KAC MAC 2 Từ 1 2 Suy MAC~IFE(g.g)
Bài V (0,5 điểm) : Cho x y z, , 0 xyyzzx3xyz Tính giá trị nhỏ của:
2 2
2 2 2
x y z
A
z z x x x y y y z
Lời giải: Từ xy yz zx 3xyz 1
x y z
Đặt a,1 b,1 c
x y z ta a b c 3 a b c, , 0 Lúc 2 2 x c a c
z z x ;
2
2 2
y a
a b
x x y ;
2
2 2
z b
b c
y y z
Khi
3 3
2 2 2
a b c
A
a b b c a c
Xét :
3
2 2
a ab
a
a b a b
Ta có
2
2
2
2
ab b
b a b
a b với a b, 0, Dấu a b Suy
3
2 2 (1)
2
a ab b
a a
a b a b Tương tự với a b c, , 0ta được:
3
2 (2)
2
b c
b
b c ;
2 (3)
2
c a
c
a c
Từ (1), (2), (3) ta có:
3 3
2 2 2
3
2
a b c a b c
A
a b b c a c
Dấu a b c x y z Vậy A =
3
(42)42
ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN
Bài (1,5điểm). Thực phép tính
a) 3 807 45 500 b)
2
32 19 3 c) 14 28
7
Lời giải
a) 3 807 45 500 12 21 10
5
b)
2
32 19 3
2
3
2
c) 14 28
7
5 2
1
2 5 2
Bài (2 điểm) Cho biểu thức :
1
x x x
P x x x x Lời giải
a) Rút gọn P: :
1
x x x
P x x x x :
1 1
x x x
x x x
x x x
2 4
: :
1 1 1
1
2
1 2
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x x x
b) Tính giá trị P với x 4 ĐKXĐ x0;x1;x4 Với x 4 3 1 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 1
Thay x 1 vào P, ta có :
2 1
3 1 3 3 3
2 2
3 P
Vậy 3
(43)43 c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên
1 3
1
2 2
x
P x
x x x
2 x
Ư(3) 1;3 x 1 x ( khơng thỏa mãn điều kiện ) Vậy khơng có gía trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y 0,5x có đồ thị d1 hàm số y x có đồ thị d2 a) Vẽ đồ thị d1 d2 mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Xác định hệ số a b, đường thẳng d :yax b biết d song song với d1 d cắt d2 điểm có tung độ 3
Lời giải
(44)44 b) Ta có: d song song với d1 0,
0 a b
Khi d :y 0,5x b Gọi M x y 0; 0 toạ độ giao điểm d cắt d2
Ta có: d cắt d2 điểm có tung độ 3 y0 3
0; 0 2
M x y d y0 x0 2 x0 y0 2 x0 3 x0 5 d cắt d2 điểm có toạ độ M 5; 3
5; 3 M
thuộc d
3 0,5 b b 5,5
Bài 4 (4,0 điểm)
1)(1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn góc
0
ACB30 Tìm độ dài AB
2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B C tiếp điểm.)
a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn AOBC
b) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm M (M B, M C, M AO) Tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Chứng minh: Chu vi ADE 2AB
c) Đường thẳng vng góc với AO O cắt AB AC P Q Chứng minh: 4PD.QE = PQ2
Giải 1) Tính HC = 3cm; BH = – 3cm
(45)45 a) Gọi N trung điểm AO
suy được:NBNANONC
Vậy A, B, O, C thuộc đường trịn tâm N, đường kính AO Lập luận AO trung trực đoạn BC
Suy được: AO vng góc BC b)Chu vi ADE = AD + DE + AE
Mà: DM = DB (tiếp tuyến MD DB cắt D) ME =CE (tiếp tuyến ME CE cắt E) Suy
Chu vi ADE = AD + DB + AE + EC = AB + AC = AB c)Theo tính chất hai tiếp tuyến đường trịn, ta có:
1 DOM BOM
2
, MOE 1MOC
2
Cộng vế theo vế, ta được:
1 DOE BOC
2
Mà 1BOC AOC OQE
2 ( Vì AOC OQE phụ với QAO )
Nên DOEOQE
Xét tam giác ODE tam giác QOE, ta có:
DOEQOE (cmt)
OEDOEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ODE QOE
∽ (g,g) Cm tương tự ODE∽PDO
QOE PDO
(46)46
2
2
QOQEPD.QEPO.QO PQ PQ PQ PD PO
2
4PD.QE PQ
Bài (1,0 điểm) Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm quốc lộ kéo dài, nối xã Đơng Hội, huyện Đơng Anh phía Bắc Hà Nội phường Ngọc Thuỵ, quận Long Biên phía Nam Hà Nội Nhịp dài 120m thiết kế vịm thép nhồi bê tơng có hình cung tròn Khoảng cách điểm cao mái vòm xuống mặt sàn cầu 47m (được mô hình vẽ dưới) Hãy tính độ dài bán kính R đường tròn chứa cung tròn nhịp cầu Đơng Trù? (Kết làm trịn đến chữ số thập phân)
Lời giải
Xét đường trịn O R; có OH vng góc với dây cung AB H
H trung điểm AB
120 60
2
AB
HA HB m
Ta có MH khoảng cách từ M đến AB nên MH AB Mà OH ABH O M, , thẳng hàng HOMO MH HO R 47 m
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OHB, ta có
2 2
OB OH HB
2
47 60 5809
62, 00 94
R R
R m
(47)47
ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN
Bài 1:(2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
0 0 sin15 os15 cot 75 os15 c A c
2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27
16
Lời giải
Bài 1:(2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
0 0 sin15 os15 cot 75 os15 c A c
0 0
tan15 cot 75 tan15 tan15
2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27
16 ĐKXĐ: x
2
5x 27 5 5x 5x
4
1 27 27
7 5x 5x
4 4
27 27
5x 5x
28 28 27
x
5 28
( tm ĐK)
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức 2
2 2x x P x x
1
;
1
x Q
x x x
(Với x1,x2,x3)
1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 2) Chứng minh Q 2 x
(48)48
Lời giải
1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 Với x16( thỏa mãn ĐKXĐ) x 4 Thay x16, x4vào P, ta có :
2 4
4 4 16 16 4
P
2) Chứng minh Q 2 x
1
1
1
1 1 2
3
1
1
1 2
x Q
x x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x x
x x x x Q x
3) Tìm x để P Q 0
2
2 2x
x
M P Q x
x x
2 2
x
x x x
x
x x
P Q x
x
mà x 0 2 x 0 x 0x2 Kết hợp ĐKXĐ : x1,x2,x3 1 x P Q 0
Bài 3: (2 điểm)
Cho hàm số bậc y(m1)x2m y(2m1)x3m
1) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song 2) Tìm giá trị m để giao điểm hai đồ thị nằm trục hoành
Lời giải
(49)49 1) Hai đường thẳng song song 1 2 1 0
2 3 0
m m m
m m m
Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu đề
2) Để đường thẳng cắt điểm trục hồnh Khi ta có phương trình hồnh độ (m1)x2m(2m1)x3mxm m
- Nếu m0 đường thẳng trùng
- Nếu m 0 x 1 y (m1).( 1) 2m m 1
Để điểm cắt nằm trục hồnh y 0 m 1 0 m 1 (t/m)
Bài (3,5 điểm):
Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB Gọi C D, hai điểm di chuyển cung trịn cho góc COD ln
90 (C nằm A D) Tiếp tuyến C,D cắt đường thẳng AB F,G Gọi E giao điểm FC GD
1/ Tính chu vi tam giác ECD theo R
2/ Khi tứ giác FCDG hình thang cân Hãy tính tỉ số AB
FG
3/ Chứng minh FC DG số
4/ Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn
Hướng dẫn giải
1/ Xét tứ giác CODE có: C O D900
Suy tứ giác CODE hình chữ nhật
Mà ECED (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
(50)50 Xét COD vuông O CD OC2 OD2 R2 R2 R
Vậy chu vi ECD PECD CDECEDR 2 R R 2 2R 2/ Hãy tính tỉ số AB
FG
Ta có: GD OD GD OC
OC OD
FC OC
FC OD
OD OC
Xét tứ giác CDGO có: GD OC CD OG
Suy tứ giác CDGO hình bình hành CDOG R Xét tứ giác CDOF có: FC OD CD OF
Suy tứ giác CDOF hình bình hành CDOFR
Vậy tỉ số
2
2
2
AB AB R
FG OF OG R R
(51)51 Ta có: FC ODCFODOG (hai góc vị trí đồng vị)
Xét CFO DOG có CFODOG C D900
CFO DOG
(g.g)
2
FC OC
FC DG OC OD R R R
OD DG
Vậy FC DG số
4/ Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn
Gọi giao điểm cuẩ CB AD I
Khi ta có tam giác ACI;BDI vng cân C, D
Đặt AC x BD; y suy 2
2
AD BC yx xy xy x y Ta có: AC2CB2BD2AD2 8R2
2 2
4 8
8 R
x y xy R xy xy xy
Dấu xảy x y
Ta có
2 2AD BC 8R 2xy Vậy để tích AD BC lớn x y C, D điểm cung phần tư thứ thứ hai nửa đường tròn cho
Câu 5: (0,5 điểm)
Với hai số x y, dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2
1 1 1 1 4
1 1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
T
x x y y x y
(52)52
Lời giải
Với a0 ta có 1 12 1 2 1 1 1 1 1 1
( 1) 1 1
a a a a a a
2 2
1 1 1 1 4
1 1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
T
x x y y x y
1 1 1 1 1 1 4
1 1 ( 1)( 1)
T
x x y y x y
T 1 1 1
x y
Giả sử M 0 giá trị lớn T
Khi chọn 1 1 1 (0;1) 1
M x
x M ;
1
2 0
1 y
M
x y, vừa chọn
thỏa mãn số dương x y 2 Với x y, vừa chọn ta có
1 1
1 2 1
T M M
x y
(53)53
ĐÁP ÁN QUẬN HỒN KIẾM Câu 1. (2 điểm)
1 Tính giá trị 2 2
P
2 Giải phương trình x x
với xlà ẩn số thực Lời giải Ta có:
2 2 2
P
4 2 2 P
P Vậy P3 Giải phương trình
ĐKXĐ: x0;x1
Với điều kiện xác định trên, phương trình tương đương
1
x x
Biến đổi ta x 3 x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x9
Câu (2 điểm)
Cho biểu thức 1 x A
x
1
1
x B
x x
với x0;x1 Tính giá trị A
4 x Rút gọn biểu thức P B
A Tìm x để biểu thức P1
Lời giải Tính giá trị A
Ta có
(54)54 Thay vào A, ta
1 3 A Rút gọn P
Ta có 2
1 1 x x B x x x
Từ
1 B x P A x
Vậy 1 x P x
với x0;x1 Tìm x để biểu thức P1
Xét 1 1
1 1
x x x x
P
x x x x
Với x0thì 1
x
P
x (đúng) Với x0thì 1
1 x
x x
x
Kết hợp với điều kiện xác định P 1 x x1
Bài 3. Cho hàm số bậc ym2x m 1 với m tham số có đồ thị đường thẳng
d
4 Tìm m để d qua điểm A ;1 1 Vẽ d với mvừa tìm
5 Với giá trị m d đường thẳng d ' : y 1 3x song song với ?
6 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d Lời giải
1 Vì d qua A ;1 1 nên thay tọa độ A vào d ta
1 m 1. m
Từ tìm m0(thỏa mãn) Tìm m để d song song với d '
Ta có 1
1
m m
d / / d ' m
m m
(55)55 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d
Ta có d cắt Oy điểm Bm0;m1 d cắt Ox điểm m
C ;
m
Kẻ OH vng góc với d Ta có 2 12 12 OH OB OC Giải tìm
3
m (thỏa mãn)
Bài ( 3,5 điểm)Cho đường tròn (O;4cm), đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn AO cho OH= 1cm Kẻ dây cung DC vng góc với AB H
1 Chứng minh: ABC vng tính độ dài AC
2 Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Chứng minh CBD cân EC EA
DH DB
3 Gọi I trung điểm EA, đoạn IB cắt (O) Q Chứng minh CI tiếp tuyến (O) từ suy ICQCBI
4 Tiếp tuyến B (O) cắt IC F Chứng minh ba đường thẳng IB,HC, AF đồng quy Lời giải
a) ABC nội tiếp (O) AB đường kính
ABC vuông C
2
3.8 24
AC AH AB
AC
b) Xét (O) có ABCD={H}
H trung điểm CD
(56)56 Xét CAE HBD có
AECHDB 90 ACEDHB
CAE HBD
EC EA
DH DB
3) Chứng minh IEC cân COB cân
0
90
ECI OCB
IC OC
Vậy IC tiếp tuyến (O)
Chứng minh IC=IA IQC ICBICQCBI 4) Gọi G giao điểm IB HC
Có CG//BF IC IG IA IG
CF GB BF GB
Mà IGAGBF AIG FBGIGABGF A;G;F thẳng hàng
Vậy AF,IB,CH đồng quy G
Bài 5. Cho x, y,z số thực thỏa mãn đẳng thức xyyzzx5 Tìm giá trị lớn biểu thức
3
6 5
x y z
P
x y z
Lời giải
2 2
2 2
6 5
6
6
3
2 2
9
3
2
x y z
x xy yz zx y xy yz zx z xy yz zx
x y x z y z y x z x z y x y x z x y y z z x z y
x y z
x y z
3 2
3
6 5
x y z P
x y z
Đẳng thức xảy ra x y 1;z2 Vậy
min
(57)57
ĐÁP ÁN: QUẬN HÀ ĐƠNG
Bài 1: (1,5 điểm) Tìm x,biết
1)2 81 20
2 20
10 20 4( )
x x x x
x x x
x x x tmdk S
2) 4 27 31 31 x x x S
Bài 2: (2,5 điểm) Cho hai biểu thức
1 x A x
2 3
3 12
x x x x
B
x x x x
với x0;x9;x16 1) Tính giá trị biểu thức A x25
25 5( )
x x tm
Thay x 5(tm)vào A, ta có 6 A
Vậy A6khi x25 2) Rút gọn B
2 3
3 12
2 3
3 4
2 3 6
3 4
3
3
1
x x x x
B
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
(58)58 3) Đặt P2 x2B A: Tìm giá trị nhỏ P
1
2 :
4
2 4
4
2
1
1
x
P x
x x
x x
x x
x x
x
Vì 0, 1 1 6
1 1
x x dkxd x
x x x
Min P 4, dấu xảy x 0(tm)
Bài (2,0 điểm)
Cho hàm số ym21x m (m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3 3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng d1 :y2x 3
Giải
Ta có hàm số ym21x m
(m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Với m = ta có: d :y2x 3
x
2 2x
y
(d)
1 x
y 3
(59)59 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3
Để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3 m m Vậy m 5 đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 3
3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng d1 :y2x 3 Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng d1 :y2x 3
2
1
1
2
m m
m
m m
Vậy m 1 đường thẳng (d) song song với đường thẳng d1 :y2x 3 Bài
Cho điểm M nằm đường tròn O R; cho OM 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với O R; ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường trịn ( )O Gọi H giao điểm AB OM
a) C/m: điểm A , O , B , M thuộc đường tròn
b) Tính tỉ số OH OM
c) Gọi E giao điểm CM đường tròn ( )O Chứng minh : HEBE
(60)60 a) Ta có:
+ 90
MAO ( MA tiếp tuyến ( )O ) A thuộc đường tròn đường kính MO + MBO900 ( MB tiếp tuyến ( )O ) B thuộc đường trịn đường kính MO
Suy ra: điểm A , O , B , M thuộc đường trịn đường kính MO b) ta có: MAMB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R
MO đường trung trực đoạn thẳng AB MOAB H
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AOM, đường cao AH có:
2 2
2
2
OA R R
OH OM OA OH
OM R
R OH
OM R
c) Vẽ tia Bx tia đối tia BM
Vì AEC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AC AEC vng E Áp dụng hệ thức lượng hai tam giác vng AMO AMC có: MH MO ME MC MA2 MB2 (1)
(1) MH MC
ME MO
Suy ra: MHE MCO c g c( ) HEC AOH (1) Tương tự, ta có: MEB MBC c g c( )CEBCBx
(61)61
0
vi 90
HEC CBE AOH OBH
AOH OAH OBH OAH
Suy ra: HEBE
Bài (0,5 điểm) Với x,y là số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2x2 y2 x 2020
x
Giải
Có x,y là số thực dương thỏa mãn x y x y, 1;y 1 x
2
2x 2020
Q y x
x
2
2
2x 2020
Q x x
x
2
x 2019
Q x
x
2 1 8075
x
4
Q x x
x
2
1 8075
4
2
Q x x
x
Mà
2
1
4 2;
2
Q x Q x
x
Suy 8075 8083
4
Q
Dấu “=” xảy x y
Vậy giá trị nhỏ Q 8083
(62)62
ĐÁP ÁN: QUẬN BA ĐÌNH Bài 1:
a) Rút gọn biểu thức: A 12 3
b) Một chiếu thang dài 3,5m Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng để tạo với phương nằm ngang mặt đất góc an tồn 750
(làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
a) A 2( 2) 3 3 4
b)Gọi AB khoảng cách chân thang với tường BC chiều dài thang.
Trong tam giác ABC vuông A có:
0
AB
AB BC 3,5.c 0,9m BC
cosB= cosB os75
Bài 2: (2 điểm)
x x x x x
A ; B ,
x 25 x x
với x0; x9; x25 a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị
b) Rút gọn biểu thức B
c) Đặt P=B:A So sánh P với LỜI GIẢI
A x x
0 x 25 x x x
d)
A
B
(63)63
2 x x x B
x x
2 x x x x x x 2x x x x
x x
x x x
x x x
c)
P B : A
x x x :
x 25 x
x x x
:
x x x x
x
x x
x
1
x x
Bài 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :ym1x m (với m tham số)
a) Vẽ đường thẳng d m3;
b) Tìm m để d qua điểm A 1; 3;
c) Tìm m để d với hai đường thẳng 1 :
d y x d2 :y x đồng quy Lời giải
(64)64 - Cho x0 y 3A0; 3 d
- Cho 3;
2
y x B d
Nối A với B ta đồ thị đường thẳng d
b) Để đường thẳng d qua điểm A 1; 3
x
; y 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng d m 1 m
2m 4 m
Vậy với m2 đường thẳng d qua điểm A 1; 3 c) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d2 ta có:
2 5
1
3
x x x x
Với
6
x thay vào phương trình đường thẳng d1 y
5 ; 6
C
giao điểm d1 d2
Để đường thẳng d , d1 , d2 đồng quy 1; 6
C d
5 x
;
(65)65
1
1
6 m m 6m m
Vậy với m 6 đường thẳng d , d1 , d2 đồng quy
Bài 4.(3,5 điểm) Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB, (ACBC) Gọi H trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn ( )O cắt tia OH D
e) Chứng minh rằng:
DH DODB ;
f) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn ( )O ;
g) Đường thẳng AD cắt đường tròn ( )O E Gọi M trung điểm AE Chứng minh bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn
h) Gọi I trung điểm DH, BI cắt ( )O F Chứng minh ba điểm A H F, , thẳng hàng
Lời giải a)
Xét ( )O có:
H trung điểm dây BC OH BC mà HOD ODBC H Ta có OD cắt tiếp tuyến kẻ từ B ( )O B
0 90
DB OB OBD
OBD
vuông B
Xét tam giác vng OBD có BH đường cao
2
BD OH OD
(66)66 b)
Ta có OBOCR OBC cân O
mà H trung điểm BC OH đường trung tuyến OH
đồng thời đường phân giác
BOH COH BOD COD
Xét tam giác OBD tam giác OCD có:
OD cạnh chung ( )
BOD COD cmt
OBOC
OBD OCD
(c – g - c)
0 90
OBD OCD
,
DC OC
mà C( )O DC
tiếp tuyến ( )O
(67)67 Xét ( )O có :
M trung điểm dây AE OM AE M OMD
vuông M M thuộc đường trịn đường kính OD(1) Ta lại có: DCOC C
OCD
vng C C
thuộc đường trịn đường kính OD(2) Mặt khác, tam giác OBD vuông B
B
thuộc đường trịn đường kính OD(3)
Từ (1), (2) (3) suy bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn đường kính OD
(68)68 Gọi N trung điểm HB
Xét tam giác HBD có N trung điểm HB, I trung điểm HD IN
đường trung bình tam giác HBD / /
IN DB
mà DBOB
IN OB
Xét tam giác OBI có BHOI NI, OB mà BHOI N N
trực tâm tam giác IOB
ON IB
Xét tam giác BAH có N trung điểm HB, O trung điểm AB NO
đường trung bình tam giác BAH / /
NO AH
mà NOBI
AH BI
(5)
Xét tam giác AFB có: AB đường kính, F( )O AFB
vng F
AFBF mà B I F, , thẳng hàng
AF BI
(6)
Từ (5) (6) suy đường thẳng AH đường thẳng AF trùng , ,
A H F
thẳng hàng
Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình : 2x2 8 x38 (1) Lời giải
Điều kiện: x 2
(1) 2x2 8 x2x22x4 (2) Đặt
2
2
a x
b x x
2 2a b x
(2) 2 a b ab 2
2 2a b 25ab
2
8a 17ab 2b
(69)69
8a b a 2b
8
2 a b
a b
TH1 : 8a b 0
8 x x 2x
2
10 12
x x
2
10 25 37
x x
2 37 x
5 37 37
5 37 37
x x
x x
(thỏa mãn)
TH2 : a2b0 2
x x x
2
2x 5x
(vơ lí)
Vì
2
2 23
2
2 x x x
(70)70
ĐÁP ÁN: QUẬN ĐỐNG ĐA
Bài I ( điểm)
1) Tính giá trị biểu thức T 1 4,5 12,5 2 2
Ta có
1
T 4,5 12,5 2 1 9 25 1 5 9
2
2) Giải phương trình: x26x 5
2 2
x 6x 5 x 3 6 x 3 6
x 6 x 9
x 3 6 x 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 9; x = -3
Bài II ( điểm)
Cho biểu thức A x x 2
x
B 2x x 4 x 1
x x x 2
với x 0 1) Tính giá trị A x =
2) Rút gọn biểu thức B
3) Cho P A B
Tính giá trị ngun x để P có giá trị âm Giải
1) Thay x = ( TMĐKXĐ) vào biểu thức A ta được:
9 2 5
A
3 9
Vậy x = giá trị biểu thức A 5 3
(71)71
2x x 4 x 1
B
x x x 2
x 1 x
2x x 4
x x 2 x x 2
2x x x x x 4
x x 2 x x 2
x 2 x 2 x 2
x
x x 2
3) Cho P A
B
Tính giá trị ngun x để P có giá trị âm
Ta có:
2
x 1 1
A x x 2 x x x 2
P . 0
B x x 2 x 2 x 2
Mà
2
x 1 1 0 nên x 0 x 2 x 4
Kết hợp điều kiện: x 0 0 x 4, x nguyên, suy x1; 2; 3 Vậy với x1; 2; 3thì P có giá trị âm
Bài III ( điểm) Cho hai hàm số: y x d và y x d'
1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ 2) (d) cắt (d’) điểm M Tìm tọa độ điểm M
3) (d) cắt Ox A, cắt Oy B; (d’) cắt Ox C, cắt Oy D Tính diện tích tam giác BCM Giải
1) Đồ thị hàm số y x d đường thẳng qua điểm:
x
y
(72)72
x -4
y
2) Hoành độ điểm M nghiệm phương trình:
x 4 x 2 2x 2 x 1
Thay x = -1 vào y = x + ta y = Vậy tọa độ điểm M ( -1; 3)
3) Kẻ MHOx, Ta có
BCM MAC BAC
1 1
S S S MH.AC BO.AC
2 2
1 1
.3.6 .2.6 3 dvdt
2 2
(73)73 a)Chứng minh H trung điểm EF
ME, MF tiếp tuyến (O) (gt)
ME MF
( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OE=OF=R
b)Chứng minh bốn diểm O, M , A, F thuộc đường trịn Ta có: AM OA(gt)
⇒∆OAM vng A
⇒∆OAM nội tiếp đường trịn đường kính OM
⇒O,A,M thuộc đường trịn đường kính OM OFMF(MF tiếp tuyến (O)
⇒∆OFM vuông F
∆OFM nội tiếp đường trịn đường kính OM
⇒O,F,M thuộc đường trịn đường kính OM c)Chứng minh : OK.OA = R
OHK
(74)74 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OEM: OH OM OE2 R2
d)Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn
HQ,HI đường cao trung tuyến OHK,
OHK
S HQ OK
Ta có
2 OK HQHI mà
2 R OK
OA
không đổi nên
2 max
4
OHK
OK
S
Bài 5: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x y 1và x0
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
M
4
x y
y
x
2
2
2 8 1 1
4 4 2
x y x x
M y x x y y
x x x
1
2
4 2
M x
x
Giá trị nhỏ M 2khi
(75)75
ĐÁP ÁN: QUẬN ĐÔNG ANH
Bài I:(1 điểm) Rút gọn biểu thức:
a) 122 75 27 3 (2 10 3 3) 3 5 3 15 b) 5
5
=
5( 2) 5
Bài II: (2 điểm): Giải phương trình: a) x 1 ( ĐK: x1)
2
1 (2 3) 3( )
x x x tm
Vậy PT có nghiệm x 8 b) 25 50
5
x x x ( ĐK: x2)
2 2
1
2 2 ( )
2 4
x x x
x x x x tm
Vậy PT có nghiệm x
Bài III:(2 điểm) Cho x A x
2 x B x x
(ĐK: x0,x4) a) Thay x = 36 (tmđk) vào biểu thức A
36 10 36
A
b) x B x x ( 2)( 2)
x
x x x
2( 2) ( 2)( 2)
x x x x ( 2)( 2)
x x x x ( 2)( 2)
x x x (2 )( 2)
x x x :
(2 )( 2) x
P B A
x x : x x (2 )( 2)
x x x x x x
c)P > 2
2 x x x x
(76)76 Vậy 0 x
Bài IV:(1,5 điểm)
Cho hàm số y = x + có đồ thị (d1) hàm số y = -2x - 1có đồ thị (d2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ
x -5
y = x + 5
x
2 y = -2x - -1
b) Hoành độ điểm A nghiệm phương trình: x + = -2x - 1x = -2 Thay x = -2 vào hàm số y = x + y =
Vậy tọa độ giao điểm A hai đồ thị hàm số (-2; 3)
c) Gọi B C giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , AHOx (HOx)
1
.3.4,5 6, 75
2
ABC
S AH BC (đvdt)
Vậy diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai đồ thị trục hoành 6,75
Bài V:(3 điểm)
-1/2
A
C O B
5
-1 3
(77)77 a) Vì AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , B C tiếp điểm (gt) nên
0
90 ; 90
ABO ACO ( t/c tiếp tuyến) ABO
vuông B nên ba điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO (1) ACO
vng C nên ba điểm A, C, O thuộc đường trịn đường kính AO (2) Từ (1) (2), suy bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính AO b) Xét O R; , có:
+) AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , B C tiếp điểm (gt) nên ABAC; AO phân giác góc BAC BOC ( t/c hai tiếp tuyến cắt )
+) BCD có cạnh BD đường kính đường trịn O R; ngoại tiếp BCD (gt) nên BCD vuông C DCB900DCBC(3)
Xét BOC,có:
OBOC R BOC tam giác cân O
Mà OA phân giác BOC (cmt) OA chứa đường cao kẻ từ đỉnh O BOC( t/c tam giác cân )
(4)
OA BC
Từ (3) (4), suy ra: DC/ /OA ( quan hệ từ vng góc đến song song ) c) Chứng minh tứ giác OCEA hinhd thang cân
Có DC/ /OA ( cmt ) nên EC/ /OAtứ giác OCEA hình thang có hai đáy OA CE ( 5) Xét DOC,có: ODOC R DOClà cân O ODCO DC ( t/c tam giác cân ) Mà AOCOCD slt AOCODCAOC ODE
Có: O trung điểm BD ( Do BD đường kính O R; ) , đường trung trực BD cắt
DC E (gt)
90
OE BD DOE
Xét EODvuông O ACOvng C, có:
EDO
AOC cmt
E
D C
B
(78)78 D
OCO R
D O
EO AC g c g OE AC
( cạnh tương ứng ) (6) Từ (5) (60, suy ra: Tứ giác OCEA hình thang cân
Bài VI:
Vì
2 , , ( ) 2z 2x
x y
x y z gt y
z
Áp dụng Bắt đẳng thức Co – Si, có:
2
2
x y
x y Dấu "" xảy x2y1
2
2
y z
y z Dấu "" xảy y2z1
2
2
z x
z x Dấu "" xảy z2x1
3
3x 3z 3
3
2 2
x y z
y
VT
Dấu "" xảy 2z 2x 1 x y y z x y z
(79)79
ĐÁP ÁN: HUYỆN GIA LÂM
Bài 1:(2,0 điểm)
Câu 1) Rút gọn biểu thức:
a) 3 363 487 11 14 3.
b)
2
3 7 11 7 3 7 2.2 7 4 7 72 3 7 7 2 72 Câu 2) Giải phương trình hệ phương trình:
a) 4x12 3 x 9x2720x 3
4 3 20 3 21 20 20 20
3
2
x x x
x x x
x x x
x TM
Vậy phương trình có nghiệm x = -
b) 9 14
3 5
x y x y x x x x
x y y x y x y x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 2;3
Bài 2: (2,0 điểm)
a) 3 0
x
A x
x
Thay x16 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có: 16 16
A
Vậy
(80)80
b)
2
x x
B
x x x x
(Với x0,x1)
2 1
2 1
2 2
1
2 1
1
2
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x
c) Tìm giá trị x để biểu thức M = A.B <0
3
1
x x x
M A B
x x x
* Có x 0 nên M0 x 3 x 3 x Kết hợp ĐKXĐ ta có 0 x 9;x1
Vậy 0 x 9;x1 M = A.B <0
Bài 3: (2,0 điểm) Cho ba đường thẳng:
d1 :y x 2 d2 :y2x1
2
3 :
d y m x m a) Vẽ d1 ; d2 mặt phẳng tọa độ Oxy
* d1 :y x
Cho x = y = Ta (0; 2) thuộc Oy Cho y = x = -2 Ta (- 2; 0) thuộc Ox
Vẽ đường thẳng qua hai điểm vừa tìm ta có đồ thị hàm số y = x + * d2 :y2x1
(81)81 Cho y = x =
2
Ta (
; 0) thuộc Ox
Vẽ đường thẳng qua hai điểm vừa tìm ta có đồ thị hàm số y = 2x +
b) Xác định m để ba đường thẳng đồng quy
Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 ; d2 ta có: 2x 1 x x
Thay x = vào y = x + ta có y =
d1 ; d2 cắt (1; 3)
Để ba đường thẳng đồng quy d3 qua điểm (1; 3)
Thay x = 1; y = vào ym21x m , ta có:
3 m 1 1 m m m m1 m 2
2
m
; m =
Với m = d3 trùng d2
Với m = - thỏa mãn
Vậy m = - ba đường thẳng đồng qui
6
4
2
2
10 5 10 y
x
(82)82
Bài 4:
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn
Vì AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , ( B C tiếp điểm ) (gt) nên
0
90 ; 90
ABO ACO ( t/c tiếp tuyến) ) ABO
vuông B nên ba điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO (1) ) ACO
vuông C nên ba điểm A, C, O thuộc đường trịn đường kính AO (2) Từ (1) (2), suy ra: bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính AO b) Chứng minh OA đường trung trực BC
Có:
+) AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , ( B C tiếp điểm ) (gt) nên
AB AC( t/c hai tiếp tuyến cắt ) A thuộc đường trung trực BC ( định lí ) +) Có B C; O R; OBOC R O thuộc đường trung trực BC ( định lí ) Vậy OA đường trung trực BC
c) Chứng minh DE BA B BED
Có: EO R; ; BD đường kính đường trịn O R; (gt) BEDlà vng E ( định lí ) Xét ABD BED, có:
0 D D 90
AB BE ; EDB chung D
D D( ) B BA D
AB BE g g DE BA B BE
ED EB
∽
d) Tính số đo HEC
Gọi M giao điểm AD với BC; N giao điểm AO với BE
Có: CO R; ; BD đường kính đường trịn O R; (gt) BCDlà vng C ( định lí ) Xét DCM BEM, có: DCMBEM 900; DMCBME ( góc đối đỉnh )
DM ME
DCM BEM g g( ) MC MC
BM ME BM MD
∽
Xét DMB CME, có: ME MC
BM MD( cmt); DMBCME ( góc đối đỉnh ) E
O H N
M
D C
B
(83)83 DMB CME c g c( ) DBM CEM
∽ ( góc tương ứng )
Chứng minh tương tự, có: BNA∽HNE c g c( )NABNEH ( góc tương ứng ) Mà NABMBD ( phụ với ABH ) CEM NEH
Lại có: NEHHEM 900 CEMHEM 900HEC900 Vậy HEC900
Bài 5: Cho a b 1 Chứng minh rằng: 2
a b Cách 1:
Ta có:
2 2
2 2
1 1
4 4
1 1 1 1
1
2 2 2
VT a b a a b b a b
a b a b
VT
Dấu "" xảy 1 2 a
b a b
a b
Vậy với a b 1 2 a b
Cách 2:
Áp dụng Bđt Cô – Si cho số dương có:
Dấu xảy
Vậy với
2 2 4
1 1
1
2 2
a a
b b
a b a b
""
2 1 a
b a b
a b
a b 2