Đề thi và đáp án HKI toán 9 Hà Nội năm 2019 2020

chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến. c) Chứng minh tích không đổi khi di động trên nửa đường tròn.. Vậy MC MD.. Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông [r]

1 ĐỀ THI HKI MƠN TỐN LỚP

NĂM HỌC 2019-2020

CÁC QUẬN – HUYỆN THÀNH PHỐ HÀ NỘI MỤC LỤC

PHẦN I: ĐỀ BÀI

ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY

ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM

ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI

ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM

ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN

ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN

ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM

ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG 10

ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH 11

ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA 12

ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH 13

ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM 14

ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN 15

PHẦN B: ĐÁP ÁN 16

ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY 16

ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG 21

ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM 26

ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI 31

ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM 35

ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN 42

ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN 47

ĐÁP ÁN QUẬN HOÀN KIẾM 53

ĐÁP ÁN: QUẬN HÀ ĐÔNG 57

ĐÁP ÁN: QUẬN BA ĐÌNH 62

ĐÁP ÁN: QUẬN ĐỐNG ĐA 70

ĐÁP ÁN: QUẬN ĐÔNG ANH 75

2

PHẦN I: ĐỀ BÀI

ĐỀ SỐ 1: QUẬN CẦU GIẤY Bài I. (3 điểm): Cho biểu thức: 1 :

2 2

x A

x x x x

 

  

  

  với x0, x4

a) Chứng minh

2 A

x  



b) Tìm x biết A 

c) Cho x số nguyên, tìm giá trị nhỏ biểu thức A

Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số ym1x3  d (m tham số, m 1) a) Tìm m để hàm số hàm số đồng biến

b) Khi m2, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy tính khoảng cách

từ O đến đường thẳng  d

c) Đường thẳng  d cắt đường thẳng 3

y  x  d điểm M Gọi N P lần lượt giao điểm đường thẳng  d  d với trục hồnh Ox Tìm m để diện tích tam giác OMP 2 lần diện tích tam giác OMN

Bài III.(4 điểm)

1) Một máy bay bay lên với vận tốc 500km/h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang góc 30 Hỏi sau phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng?

2) Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa

đường trịn Trên tia Ax lấy điểm M cho AM R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O (C tiếp điểm) Tia MC cắt By D

a) Chứng minh MDMA BD OMD vuông b) Cho AM 2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM

c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OK BM

Bài IV.(0,5 điểm): Giải phương trình:

3

ĐỀ SỐ 2: QUẬN HAI BÀ TRƯNG

Bài 1. (2,0 điểm)

1) Thực phép tính: a) 20 125 45 

b)  32

3   

2) Một cột cờ vng góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 350 (hình vẽ bên) Tính chiều cao cột cờ?

Bàì 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức:

2 x A

x 



1

4 2

x B

x x x

  

   (ĐK: x0; x4) 1) Tính giá trị biểu thức A x36

2) Rút gọn biểu thức B

3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P A.B có giá trị số nguyên

Bài (2,0 điểm) Cho hàm số bậc ym1x2 có đồ thị  d (mlà tham số m 1) a) Vẽ  d m0

b) Xác định m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y2x1

c) Xác định m để  d cắt hai trục Ox Oy, A B cho tam giác AOB có diện

tích (đơn vị diện tích)

Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm , đường kính Trên nửa mặt phẳng

có bờ chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Từ điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ( khác ) vẽ tiếp tuyến cắt Gọi là giao điểm giao điểm .

a) Chứng minh điểm thuộc đường tròn b) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật

c) Chứng minh tích không đổi di động nửa đường trịn

d) Tìm vị trí nửa đường trịn cho diện tích tứ giác nhỏ

4

ĐỀ SỐ 3: QUẬN BẮC TỪ LIÊM

Bài 1.(2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

 3

A

x x





2

9

x B

x x

 

  với x0; x9 1) Tính giá trị biểu thức A x4

2) Rút gọn biểu thức MA B:

3) Tìm giá trị x để 3 x 5 2M

Bài (2,0 điểm)

1) Thực phép tính: 3 8 50  1 2 2) Giải phương trình sau:

a

6

x  x  b 2 12x3 3x4 48x 17

Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số y (m 1)x 6 (1) với m 1

1) Vẽ đồ thị hàm số (1) m 2

2) Gọi đồ thị hàm số (1) đường thẳng ( )d , tìm m để đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m 2 điểm nằm trục tung

3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d 3 2

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho điểm M nằm ngồi đường trịn O R;  Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB, tới đường tròn tâm O (A B, là tiếp điểm) Gọi H giao điểm MO với AB.

a) Chứng minh rằng: điểm M A O B, , , cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: MOAB tạiH

c) Nếu OM2R tính độ dài MAtheo Rvà tính số đo góc AMB, AOB?

d) Kẻ đường kính AD đường tròn  O , MDcắt đường tròn  O tại điểm thức hai C

Chứng minh rằng:MHCADC

Bài 5 (0,5 điểm)Cho x y, là số dương thỏa mãn x2y

Tìm giá trị nhỏ biểu thức M với

2

x y

M

xy 

5

ĐỀ SỐ 4: QUẬN HOÀNG MAI

Bài I (2,5 điểm)

Cho hai biểu thức :  

1

x A

x  



1

4 2

x x

B

x x x

  

   với x0; x4

1) Tính giá trị biểu thức A x16 2) Rút gọn biểu thức B

3) Đặt M A B

 Tìm x để biểu thức M thỏa mãn M8 x 8 0

Bài II (2,5 điểm)Cho hàm số y x 2 có đồ thị đường thẳng  d a) Vẽ đường thẳng  d mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Xác định hệ số a b; hàm số bậc yax b biết đồ thị hàm số đường thẳng qua điểm A1; 5  song song với đường thẳng  d

c) Tìm giá trị m để đường thẳng ym3x5 (với m tham số m3) cắt đường thẳng  d điểm nằm bên phải trục tung

Bài III (1,0 điểm)Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 42 Cùng thời điểm

đó bóng cột đèn mặt đất dài 7, 2m Tính chiều cao cột đèn (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường trịn O R;  có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường trịn

 O cho AM MB Tiếp tuyến A đường tròn  O cắt tia OM S Đường cao AH tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn  O D

1) Chứng minh:

OH.OS=R

2) Chứng minh: SD tiếp tuyến đường tròn  O

3) Kẻ đường kính DE đường trịn  O Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác SAD Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD tính độ dài đoạn thẳng AE theo R r

4) Cho AM R, gọi K giao điểm BM AD Chứng minh:

MD

KH KD



Bài V (0,5 điểm) Cho hai số dương x y, thỏa mãn điều kiện x y 1 Chứng minh:

2

4

x x

x y

6 D

E a

b

60°

K

ĐỀ SỐ 5: QUẬN NAM TỪ LIÊM

Bài I (2,0 điểm).

1 Tính: a) 5

5 1  1 b)  

2

1

5

 

2 Giải phương trình sau:

a) x 1  9x 9 4x 4 12 b)

x 5x x 5

Bài II (2,0 điểm).Cho hai biểu thức

3 x A

x 



9

3

x x x

B

x

x x

 

  



  với x0,x9

a) Tính A x25 b) Chứng minh:

3 x B

x 



c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức PA B

Bài III (2,0 điểm) Cho đường thẳng  d1 :y2x2 a) Vẽ đường thẳng  d1 mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm  d1 và  d2 : y x

c) Cho đường thẳng  d3 :ymx5 Tìm giá trị mđể ba đường thẳng      d1 ; d2 ; d3 cắt nhau điểm

BÀI IV (3,5 điểm)

1 Một thuyền địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình 2km/h, vượt qua khúc sông

nước chảy mạnh 20 phút Biết đường thuyền DE, tạo với bờ sơng góc 60o Tính chiều rộng khúc sơng

2 Lấy điểm A O R; , vẽ tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy B, O R;  lấy C cho BC AB

a) Chứng minh rằng: CB tiếp tuyến  O

b) Vẽ đường kính AD  O , kẻ đường CK vng góc với AD Chứng minh CD// OB

và BC DC CK OB

c) Lấy điểm M cung nhỏ AC  O , vẽ tiếp tuyến M cắt AB BC, E F, Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE Chứng minh MAC∽IFE

Bài V (0,5 điểm) Cho x y z, , 0 xyyzzx3xyz.Tính giá trị nhỏ biểu thức:

     

2 2

2 2 2

x y z

A

z z x x x y y y z

  

7

ĐỀ SỐ 6: QUẬN LONG BIÊN

Bài (1,5điểm) Thực phép tính

a) 3 807 45 500 b)  322  19 3

c) 14 28

7



 

 

Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức :

1

1

x x x

P x

x

x x

 

 

 

      

 

   

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P với x 4 3

c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên

Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y 0,5x có đồ thị  d1 hàm số y x 2 có đồ thị  d2 a) Vẽ đồ thị  d1  d2 mặt phẳng toạ độ Oxy

b) Xác định hệ số a b, đường thẳng  d :yax b biết  d song song với  d1 và  d cắt  d2 điểm có tung độ 3

Bài 4. (4,0 điểm)

1)(1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn

góc

ACB30 Tìm độ dài AB

2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B C tiếp điểm.)

a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn AOBC

b) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm M (M B, M  C, M AO) Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC D, E Chứng minh: Chu vi ADE 2AB

c) Đường thẳng vng góc với AO O cắt AB AC P Q Chứng minh: 4PD.QE = PQ2

Bài (1,0 điểm) Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm quốc lộ kéo dài, nối xã

8

ĐỀ SỐ 7: QUÂN THANH XUÂN

Bài 1: (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

0

0

sin15 os15

cot 75 os15

c A

c 

 

2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27

16



    

Bài 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức 2

2 2x

x P

x x



 

  và

1

;

1

x Q

x x x



 

    (Với x1,x2,x3)

1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 2) Chứng minh Q 2 x

3) Tìm x để P Q 0

Bài 3: (2 điểm)

Cho hàm số bậc y(m1)x2m y(2m1)x3m

1) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song 2) Tìm giá trị m để giao điểm hai đồ thị nằm trục hoành

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho nửa đường trịn O R;  đường kính AB Gọi C D, hai điểm di chuyển cung trịn sao cho góc COD ln

90 (C nằm A D) Tiếp tuyến C,D cắt đường thẳng AB F,G Gọi E giao điểm FC GD

1) Tính chu vi tam giác ECD theo R

2) Khi tứ giác FCDG hình thang cân Hãy tính tỉ số AB FG

3) Chứng minh FC DG ln số

4) Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: (0,5 điểm)

Với hai số ,x y dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

1 1 1 1 4

1 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

T

x x y y x y

      

9

ĐỀ SỐ 8: QUẬN HOÀN KIẾM

Bài (2,0 điểm)

1 Tính giá trị 2 2

P  

 2 Giải phương trình

1 x x

 

 với xlà ẩn số thực

Bài (2,0 điểm)

Cho biểu thức

1 x A

x

 



1

1

x B

x x



 



 với x0;x1 1 Tính giá trị A khi

4 x 2 Rút gọn biểu thức P B

A  3 Tìm x để biểu thức P1

Bài 3. (2,5 điểm)

Cho hàm số bậc ym2x m 1 với m tham số có đồ thị đường thẳng  d 1.Tìm m để  d qua điểm A ;1 1  Vẽ  d với mvừa tìm

2.Với giá trị m  d và đường thẳng  d ' : y 1 3x song song với ? 3.Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d

Bài (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O;4cm), đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn AO cho OH= 1cm Kẻ dây cung DC vng góc với AB H

1 Chứng minh: ABC vng tính độ dài AC

2 Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Chứng minh CBD cân EC EA

DH  DB

3 Gọi I trung điểm EA, đoạn IB cắt (O) Q Chứng minh CI tiếp tuyến (O) và từ suy ICQCBI

4 Tiếp tuyến B (O) cắt IC F Chứng minh ba đường thẳng IB,HC, AF đồng quy

Bài 5. (0,5 điểm) Cho x, y,z số thực thỏa mãn đẳng thức xyyzzx5 Tìm giá trị lớn nhất biểu thức

    3

6 5

x y z

P

x y z

  

10

ĐỀ SỐ 9: QUẬN HÀ ĐÔNG

Bài (1,5 điểm) Tìm x,biết 1)2 x 81x x20

3

2) x 4

Bài 2 (2,5 điểm) Cho hai biểu thức

1 x A

x  



2 3

3 12

x x x x

B

x x x x

  

  

    với x0;x9;x16 1) Tính giá trị biểu thức A x25

2) Rút gọn B

3) Đặt P2 x2B A: Tìm giá trị nhỏ P

Bài (2,0 điểm) Cho hàm số  

1

y m  x m (m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Vẽ đồ thị hàm số với m =

2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ  3 3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1 :y2x 3

Bài (3,5 điểm)Cho điểm M nằm ngồi đường trịn O R;  cho OM 2R Từ M kẻ

tiếp tuyến MA, MB với O R;  ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường trịn ( )O Gọi H giao điểm AB OM.

a) C/m: điểm A , O , B , M thuộc đường trịn b) Tính tỉ số OH

OM

c) Gọi E giao điểm CM đường tròn ( )O Chứng minh : HEBE

Bài (0,5 điểm) Với x,y số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức 2

2x 2020

Q y x

x

11

ĐỀ SỐ 10: QUẬN BA ĐÌNH

Bài (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: A 12

2

  



b) Một chiếu thang dài 3,5m Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng để tạo với phương nằm ngang mặt đất góc an tồn 750 (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 2. (2,0 điểm)

x x x x x

A ; B ,

x 25 x x

 

  

   với x0; x9; x25 a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị

b) Rút gọn biểu thức B

c) Đặt P=B:A So sánh P với

Bài 3.(2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d :ym1x m (với m tham số)

a) Vẽ đường thẳng  d m3;

b) Tìm m để  d qua điểm A 1; 3;

c) Tìm m để  d với hai đường thẳng  1

2 :

3

d y x  d2 :y  x 1 đồng quy

Bài 4.(3,5 điểm) Cho điểm C thuộc đường trịn tâm O đường kính AB, (ACBC) Gọi H

trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn ( )O cắt tia OH D

a) Chứng minh rằng:

DH DODB ;

b) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn ( )O ;

c) Đường thẳng AD cắt đường tròn ( )O E Gọi M trung điểm AE

Chứng minh bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn

d) Gọi I trung điểm DH, BI cắt ( )O tại F Chứng minh ba điểm A H F, , thẳng hàng

Bài (0,5 điểm) Giải phương trình :  

2 x  8 x 8

A

B

12

ĐỀ SỐ 11: QUẬN ĐỐNG ĐA

Bài I ( 2,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức T 1 4,5 12,5 2 2

 

   

 

2) Giải phương trình: 2

x 6x 5   Bài II ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức A x x 2 x

 

 B 2x x 4 x 1

x x x 2

  

 

  với x 0

1) Tính giá trị A x = 2) Rút gọn biểu thức B

3) Cho P A B

 Tính giá trị nguyên x để P có giá trị âm

Bài III ( 2,0 điểm) Cho hai hàm số: y  x d và y x d' 

1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ 2) (d) cắt (d’) điểm M Tìm tọa độ điểm M

3) (d) cắt Ox A, cắt Oy B; (d’) cắt Ox C, cắt Oy D Tính diện tích tam giác BCM

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng

d vng góc với OA A Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME MF tới đường tròn (O) ( E F tiếp điểm) EF cắt OM OA lần lượt H K

1) Chứng minh: H trung điểm EF

2) Chứng minh bốn điểm O,M,A,F thuộc đường tròn 3) Chứng minh : OK.OA=R2

4) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn

Bài V (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x y 1và x0

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

M

4

x y

y

13

ĐỀ SỐ 12: QUẬN ĐÔNG ANH

Bài I: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:

a)  122 75 27 3 b) 5

5

 



Bài II: (2 điểm): Giải phương trình: a) x  1

b) 25 50

5

x  x  x 

Bài III: (2 điểm) Cho

2 x A

x  



2

4

x B

x x

 

  (ĐK: x0,x4) a) Tính giá trị biểu thức A x = 36

b) Rút gọn biểu thức P = B:A c) Tìm giá trị x để P >

Bài IV: (1,5 điểm)

Cho hàm số y = x + có đồ thị (d1) hàm số y = -2x - 1có đồ thị (d2)

a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ

b) Xác định tọa độ giao điểm A hai đồ thị hàm số phương pháp đại số c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai đồ thị trục hoành

Bài V: (3 điểm) Cho đường tròn (O:R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn đó, qua A vẽ

các tiếp tuyến AB, AC với (O:R), B C tiếp điểm vẽ đường kính BOD (O) a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn

b) Chứng minh rằng: DC // OA

c) Đường trung trực BD cắt đường thẳng CD E Chứng minh tứ giác OCEA là hình thang cân

Bài VI: (0,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z =1

Chứng minh: x2y y2z z2x 3

14

ĐỀ SỐ 13: HUYỆN GIA LÂM

Bài 1: (2,0 điểm)

Câu 1) Rút gọn biểu thức: a) 7 3 363 48

b) 3 7 11 7

Câu 2) Giải phương trình hệ phương trình: a) 4x12 3  x 9x27 20

b)

3

x y x y

  

  



Bài 2: (2,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức x A

x  

 x16

b) Rút gọn biểu thức sau:

2

x x

B

x x x x

 

 

  

  

  (Với x0,x1)

c) Tìm giá trị x để biểu thức M = A.B < 0

Bài 3: (2,0 điểm) Cho ba đường thẳng:

 d1 :y x 2  d2 :y2x1    

2

3 :

d y m  x m a) Vẽ    d1 ; d2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Xác định m để ba đường thẳng đồng quy

Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O R; và điểm A nằm ngồi ( )O Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC, với ( )O (B C, tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC.

a) Chứng minh bốn điểm A B O C, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh: OA đường trung trực BC

c) Lấy D điểm đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn thẳng AD với  O ( E không trùng với D) Chứng minh: DE BA BD BE .

d) Tính số đo góc HEC

Bài 5: (0,5 điểm) Cho : a b 1 Chứng minh: 2

15

ĐỀ SỐ 14: HUYỆN THƯỜNG TÍN

Bài (2,5 điểm): Cho biểu thức 2

4

2

x x x

P

x

x x

 

  



 

a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P

4 x

c) Tìm x để P2

Bài (1,5 điểm) Giải phương trình hệ phương trình:

a)

2

x y

x y

  

    

b) 5 x 5 9x45 4x2018

Bài (3 điểm) Cho hàm số ym1x26 Hãy xác định m để: a) Hàm số đồng biến

b) Đồ thị hàm số qua A1; 2 

c) Đồ thị hàm số cho song song với đồ thị hàm số y4023m x 11

Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính 3cm Từ điểm A cách O 5cm vẽ

tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C, tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với BC

b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC

d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt tia DC E

Đường thẳng AE OC cắt I, đường thẳng OE AC cắt G Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA

Bài (0,5 điểm)Với x0 tìm giá trị nhỏ biểu thức 2017

4

S x x

x

16 PHẦN B: ĐÁP ÁN

ĐÁP ÁN QUẬN CẦU GIẤY Bài I. (3 điểm): Cho biểu thức: 1 :

2 2

x A

x x x x

 

  

  

  với x0, x4

a) Chứng minh A x   

b) Tìm x biết A 

c) Cho x số nguyên, tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải

a) 1 :

2 2

x A

x x x x

 

  

  

 

      :

2

2 2

x x x

A

x x

x x x x

                

 2 2:

2

2

x x x

A x x x x       

 4  : 

2 2

x A

x x x x

          2 x x A x x x      A x   

b)

3

A

x

  

  



2

x x

     16

x

  (TMĐK) Vậy x16

c) Ta có: x nguyên x0, x4 x1, x4, x

Ta có: x 1 x 1 x  2 4 4

3 3

2 P

x x

  

     

17 Dấu “” xảy  x

Vậy giá trị nhỏ P 

x1

Bài II. (2,5 điểm): Cho hàm số ym1x3  d (m tham số, m 1) a) Tìm m để hàm số hàm số đồng biến

b) Khi m2, vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d

c) Đường thẳng  d cắt đường thẳng 3

y  x  d điểm M Gọi N P giao điểm đường thẳng  d  d với trục hồnh Ox Tìm m để diện tích tam giác OMP lần diện tích tam giác OMN

Lời giải a) Hàm số cho đồng biến m 1 0  m b) Khi m2 hàm số có dạng y3x3

* Cho x0 y3 Cho y0 x 1

 Đường thẳng qua hai điểm  0; 1; 0 đồ thị hàm số y3x3 * Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy

Gọi A 0; B1; 0 nên OA3, OB1 Kẻ OH vng góc với d H

Xét tam giác OAB vng O, đường cao OH Có 2 12 12

OH OA OB (hệ thức lượng tam giác vuông)

x y

A

B H

3

18

2 2 1 OH

  

10 OH

 

3 10 10 OH

 

c) Hai đường thẳng  d  d cắt

m 

2

m 

 

Hoành độ giao điểm M  d  d nghiệm phương trình

 

1 3

2

m x  x  x

Mà 3

2

y x  y

 d cắt  d điểm M 0;

N giao điểm  d với trục Ox nên ; N

m 

 

     P giao điểm  d với trục Ox nên P 2; Suy

1 ON

m 

 ; OP2

Ta có SOMP 2SOMN .1

2OM OP OM ON OP ON

   

 

3

2 2;

1 m m

m

       

 (TMĐK)

Vậy m2; 4  Bài III. (4 điểm)

1) Một máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang góc 30 Hỏi sau phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao ki-lô-mét theo phương thẳng đứng 2) Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn Trên

tia Ax lấy điểm M cho AM R Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O (C tiếp điểm) Tia MC cắt By D

a) Chứng minh MDMA BD OMD vuông b) Cho AM 2R Tính BD chu vi tứ giác ABDM c) Tia AC cắt tia By K Chứng minh OKBM

19 Gọi AB đoạn đường máy bay bay lên phút BC độ cao máy bay đạt sau phút Sau phút máy bay bay quãng đường AB500.0,1 50 km

Độ cao máy bay BC50.sinA50.sin 30 25km 2)

a) * Xét  O :

MA, MC tiếp tuyến cắt M với tiếp điểm A C MAMC DC, DB tiếp tuyến cắt D với tiếp điểm B C DBDC Mà MDMC CD

MD MA DB

  

* Xét  O :

MA, MC tiếp tuyến cắt M với tiếp điểm A C OM tia phân giác AOC DC, DB tiếp tuyến cắt D với tiếp điểm B C OD tia phân giác COD Mà AOC COB hai góc kề bù

OM OD

  D 90

MOD

   nên OMD vuông O b) AM2RMC2R

Xét tam giác MOD vng O, đường cao OC, có:

30°

A B

C

y x

H

K

A B

C

D

20

2

MC DCOM (hệ thức lượng tam giác vuông)

2

2 R

R CD R CD

   

2 R

CD DB

  

Do chu vi tứ giác ABDM là:

AB BD DM  MAAB DB DC CM   AM

2 2

2

R R

R R R R

     

c) * Chứng minh: AMO đồng dạng với BAK (MAO ABK 90 ; AOM BKA phụ với KAB) Suy AM AO AM BO

AB  BK  AB  BK tanMBAtanOKBMBA OKB

Gọi H giao điểm OK BM Ta có MBA OKB HBO OKB

Mà OKB KOB  90 (OBK vuông B)

90 HBO KOB

   

Hay HBO HOB   90 OHB  90 OKBM H

Bài IV. (0,5 điểm): Giải phương trình: 2020x2019 2019 x2019 2019x2020 Lời giải

ĐK: 2020 2019 x

2020x2019 2019 x2019 2019x2020

 

2020x 2019 2019x 2020 2019 x

      

  

2020x 2019 2019x 2020 2019 x 2020x 2019 2019x 2020

         

x 1 2019  2020x 2019 2019x 2020

       

21

ĐÁP ÁN QUẬN HAI BÀ TRƯNG Bài 1. (2,0 điểm)

1) Thực phép tính: a) 20 125 45 

b)  

2

3

2 3   

2) Một cột cờ vng góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 350 (hình vẽ bên) Tính chiều cao cột cờ?

Lời giải 1)

a) 20 125 45  2 15 15 5  2 5

b)

 

 

 

2

2

3

2

3 3 2 3 2 2

3

  

 

   



    

    

 2)

* Chiều cao cột cờ AB Do ABC vuông A nên ta có:

 

0

.tan =12.tan35 =8,402

AB AC C

m 

Bàì 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức:

2 x A

x 



1

4 2

x B

x x x

  

   (ĐK: x0; x4)

1) Tính giá trị biểu thức A x36 2) Rút gọn biểu thức B

3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức PA.B có giá trị số nguyên

12m

350 C B

22

Lời giải 1) Tính giá trị biểu thức A x36

Có: x36TM x 6 Thay x6 vào biểu thức A có:

6 6

  



A

Vậy 

A x36 2) Rút gọn biểu thức B

1

4 2

  

  

x B

x x x

(ĐK x0; x4)

              1 2 2 2 2 2 2 2                         x B x x x x

x x x

B x x x x B x x x x B x x x B x

3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức PA.B có giá trị số nguyên

2

  

 

x x

P A.B P .

x x ( ĐK: x0; x4) 4 x P x x            4

1 4 4; 2; 1;1; 2; 0; 2;3;5;6;8

4

P Z Z Z x x

x x

              

  ¦

Kết hợp điều kiện: x0; x  4 x 0 8; ; ; ; ;  PA.B có giá trị số nguyên Bài (2,0 điểm)

23 b) Xác định m để đường thẳng  d song song với đường thẳng y2x1

c) Xác định m để  d cắt hai trục Ox Oy, A B cho tam giác AOB có diện tích (đơn vị diện tích)

Lời giải a) Khi m0 ta có hàm số y x

Hàm số xác định với x 1 0

a  hàm số đồng biến Lập bảng:

x 0 2

y 2 0

Đồ thị hàm số đường thẳng qua hai điểm  0; 2;0 Vẽ đồ thị:

b) Đường thẳng  d song song với đường thẳng 1 2

m

y x     m 

c) Xét hàm số: ym1x2 d Gọi Avà Blà giao điểm  d với trục hoành trục tung

Giao với Ox: Cho 0  1 2 0 2 ; 0

1

y m x x A

m m

 

          

   

Giao với Oy: Cho x   0 y B 0;

Ta có 2 ;

1

OA OB

m m

   

  , tam giác OABvuông Osuy

1 2

.2

2 1

OAB

S OA OB

m m

        m 1

1

1

m m

m m

  

 

 

    

  (Tm đk)

24 Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm , đường kính Trên nửa mặt phẳng có bờ

chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Từ điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ( khác

) vẽ tiếp tuyến cắt Gọi giao điểm giao điểm

a) Chứng minh điểm thuộc đường tròn b) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật c) Chứng minh tích khơng đổi di động nửa đường trịn

d) Tìm vị trí nửa đường trịn cho diện tích tứ giác nhỏ Lời giải

a) Vì tiếp tuyến đường tròn

⇒ ̂ ̂ ⇒ điểm thuộc đường trịn đường kính b) Xét đường trịn tiếp tuyến cắt tiếp tuyến và nên ta có

⇒

Mà ⇒ trung trực trung trực

⇒ ̂ ̂

Xét đường tròn tiếp tuyến cắt tiếp tuyến và nên ta có

⇒ ̂ ̂; ̂ ̂

Mà ̂ ̂ ̂ ̂ ⇒ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂⇒ tứ giác hình chữ nhật

F 4 3 2 1

y x

E

D

C

O

A B

25 c) Xét tam giác vng có đường cao

⇒ không đổi d) Gọi trung điểm

Tứ giác hình thang cân có đường trung bình

⇒

⇒ Diện tích tứ giác nhỏ trùng vng góc Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A x 2 2 x 1 2019x

Lời giải Điều kiện x2

Ta có

2A2 x 2 4 x 1 4038 2 x  x 2 x  2 1  x 1 x  1 4 4042

  2 2

2 1 4042

x x

       

2A 4042

   A 2021

Đẳng thức xảy 1 x

x

    



  

26

ĐÁP ÁN QUẬN BẮC TỪ LIÊM Bài 1

1) Thay x4 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:

 

2 4

A   

 

Vậy với x4 A 3 2)

  2

: :

9 3

x M A B

x x

x x

 

    

 

  

    

2

6 :

3 3

x x

x x x x

 



  

 . 3 3

3

x x x

x

x x

  

 



3) x 5 2M 3 x x

x    

3 x  x 2. x 3

   

3x x x

    

3x x

   

2

x x

   

2

x x x

    

 2  2

x x x

    

 x 2 x 1

   

1

x

   (Vì x  2 x TMĐK) 1( )

x TM

 

27 Bài 2

a Ta có:

 2

2

6 3

3

x x

x x x x

x x

  

 

              

  Vậy: b) Điều kiện: x0 Ta có:

2 12x3 3x4 48x  17 4 3x3 3x16 3x 17  

1 17 17 3

3

x x x x tm

       

Bài 3:

1) Vẽ đồ thị hàm số (1) m 2

Khi m 2, ta có: y (2 1)x 3x

x 2

3

y x 6

0

28 2) Gọi đồ thị hàm số (1) đường thẳng ( )d , tìm m để đường thẳng ( )d cắt đường thẳng

5

y x m điểm nằm trục tung

Đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m điểm nằm trục tung

1 m

m m

1 m m m

8

m

Vậy m 8 đường thẳng ( )d cắt đường thẳng y 5x m điểm nằm trục tung

3) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d

Đồ thị hàm số y (m 1)x với m 1 đường thẳng cắt trục Ox điểm ; A

m

và cắt trục Oy điểm B 0;6

Suy ra: 6

1

OA

m m OB 6

Kẻ OH AB H OH khoảng cách từ O đến đường thẳng ( )d Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có:

2 2

1 1

OH OA OB

2

2

1 1

36 36

(3 2)

(m 1)

2

1 ( 1)

18 36 36

m

2

1 ( 1)

18 36

m

2

2 ( 1)

36 36

m

2

(m 1)

2 2 1 1 2

m m

2 2 2 2

29

2 2 2 2 0

m m

2 2 0

m m

( 2)

m m

0

m m 2 0

0

m (thỏa điều kiện) m 2 (thỏa điều kiện)

Vậy m 0; m 2 khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( )d Bài 4:

a) Gọi I trung điểm OM Ta có MAO  90 IO IA IM Ta có MBO  90 IO IB IM

Vậy M A O B, , , thuộc đường tròn tâm I IA,  b) OAOB R O thuộc đường trung trực AB

MAMBM thuộc đường trung trực AB Vậy MOAB tạiH

c) Xét tam giác MAO vuông A

2 2

3 OM OA AM AM R

1

sin 30 60

2 OA

AMO AMO AMB

OM

       

3

sin 60 120

2 AM

AOM AOM AOB

OM

       

d) Chứng minh tương tự ta có ACD 90

Xét tam giác MAD vuông A, đường cao AC Ta có MA2 MC MD Xét tam giác MAO vng A, đường cao AH Ta có MA2 MH MO Vậy MC MD MH MO MC MO

MH MD

  

Xét hai tam giác MHC MDO

H

C I

D B

M O

30 OMD chung

MC MO

MH  MD

Vậy MHC∽MDO c g c    MHCADC

Bài 5:

Cách 1: x 2y x y    2

1 3 5

4 4 2

x y x y x y x x y

M M

xy y x y x y y x

 



          

 

Giá trị lớn 2

M   x y

Cách 2: 2 y

x y

x   

 2

2 2 2 2

4 4

4

x y

x y x xy y xy y y

M

xy xy xy x



    

       

2 M  

Giá trị lớn 2

M   x y Cách 3: x2y x 2y0

  

2 2 2 2

2 5 5

2 2

x y x y

x y x xy y xy

M

xy xy xy

 

   

    

2 M  

Giá trị lớn 2

M   x y

Cách 4: 2 y x y x    2

2 2 2 2

2

4

3

2 x y

x y x y y x y y

M

xy xy xy x xy

   

     

2 M  

Giá trị lớn 2

31

ĐÁP ÁN: QUẬN HOÀNG MAI

BÀI Ý Nội dung Điểm

I 2, 5 đ

1) Tính giá trị biểu thức A x16 1 đ

16

x (tmđk)

Thay x16 vào biểu thức A

0, 25đ 0,25đ Tính 25

2 A 

Kết luận

0, 25đ 0,25đ

2) Rút gọn biểu thức B 1 đ

1

4 2

x x

B

x x x

  

  

0, 25đ

   

  

2

2

x x x x

B

x x

   



 

0, 25đ

 2 2

x B

x x

 



 

0, 25đ

1 B

x  

 hay

1 B

x 



0, 25đ

3) Tìm x để biểu thức M  A B: thỏa mãn M8 x 8 0 0, 5đ Biến đổi  

2

1

M  x

 2

8

M  x   x 

0, 25đ

Lập luận :  

2

3

x  với x thỏa mãn đkxđ Tìm : x9 (tmđk)

Kết luận:

0, 25đ

II 2,5đ

a) Vẽ đường thẳng  d mặt phẳng tọa độ Oxy 1đ Lập luận đường thẳng  d qua 0; 2   2;

Vẽ đồ thị

32 b) Xác định hệ số a b; hàm số bậc yax b biết đồ thị hàm số

là đường thẳng qua điểm A1; 5  song song với đường thẳng  d 0,75đ * Lập luận, tìm a1 b 2 0,25đ * Thay x1;y 5 vào công thức yax b

* Tính b 6 (thỏa mãn)

0,25đ

Vậy a1;b 6 0,25đ

c) Tìm giá trị m để đường thẳng ym3x5 (với m tham số

m ) cắt đường thẳng  d điểm nằm bên phải trục tung

0,75đ

Đường thẳng  d đường thẳng ym3x5 cắt  m Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng x 2 m3x5

Tìm x

m



 Lập luận x0

Tìm m4;m3 trả lời

0,25đ

0,25đ

0,25đ

III

Học sinh vẽ tam giác vuông DEF 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ Giả sử DF chiều cao cột đèn điện, DE

bóng cột đèn mặt đất Góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất góc E

Lập luận DFDE.tanE

Tính

0

7, 2.tan 42 6, 48( ) DF

DF m



 kết luận

IV 3,5đ

1 Chứng minh

OH OSR 1đ

Vẽ hình đến câu a 0,25đ

Chứng minh SAO900 SAO vuông A 0,25đ F

33 Chứng minh

OH OSOA 0,25đ

Suy OH OS R2 0,25đ

2 Chứng minh: SD tiếp tuyến đường tròn (O) 1đ Chứng minh OH phân giác AOD 0,25đ

Chứng minh SAO SDO 0,25đ

Chứng minh SD tiếp tuyến đường tròn

(O) 0,5đ

3 Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp SAD tính độ dài đoạn thẳng AE

theo R r 1đ

Chứng minh SO phân giác SAD 0,25đ

Chứng minh OAM cân OOMAOAM

Chứng minhSAM MAH (cùng phụ với hai góc nhau)  AM phân giác SAD

0,25đ

Lập luận, suy M tâm đường tròn nội tiếp SAD 0,25đ

Suy MHr OH  R r

Chứng minh

2 AE OH 

Tính AE2(R r )

0,25đ

4

Chứng minh

2

MD

KH KD

 0,5đ

- Chứng minh tứ giác AMDO hình thoi - Chứng minh K trọng tâm MOD - Chứng minh

3

KD HD,

3 KH  HD

2

9

KH HD HD

 

0,25đ

D H S

A

O B

M

E

D H S

A

O B

M

K

E

D

H S

A

O B

34

Tính

.sin 60

2

HDMD R

=

2

2

9

R HD  Kết luận

0,25đ

V Áp dụng BDT Cô si ta chứng minh

2 1 1

2

4 4 4 4

x x x

x x x

       

Suy

2 1

1

4 4

x x

   

3

4

x x

     (1)

Ta có 4y y 2.2

y y

   

1

1 4 4

x y x y x

y        

2

4x x y

   (2)

35

ĐÁP ÁN: QUẬN NAM TỪ LIÊM

Bài I (2 điểm): 1 Tính:

a) 5

5 1  1 b)  

2

1

5

 

Giải

a) 5

5 1  1  

 15 5 15 1  15. 5 15 1 

 

 

   

5 5 5 5

  





5



b)  

1

5

 

5

5

  

5

5

  

6

5

 

2 Giải phương trình sau:

a) x 1  9x 9 4x 4 12 (ĐK : x1)

x x x 12       

6 x 12   

x 1 2   

x

  

 

x TM

36 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

b) x2 5x  x 5 (ĐK: x5)

 

x x x

    

  x x

   

x x

           

x TM x KTM

   

 

Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

Bài II ( điểm)

Cho hai biểu thức x A

x 



9

3

x x x

B x x x      

  với x0,x9 a) Tính A x25

b) Chứng minh: 3 x B x  

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức PA B

Hướng dẫn giải

a) x25 (TMĐK)  x 5

Thay x = 25 x 5 vào A ta có: 32 15 A

Vậy x25 32 15 A

b) Chứng minh: 3 x B x   Giải:   

2 7

9

3 3 3

x x x x x x

B

x

x x x x x x

                           

2 3 2 6 4 3 7 3

3 3

x x x x x x x x x x

x x x x

           

 

37

      

3

3

3

3 3

x x

x x x

x

x x x x

 

  



    (đpcm)

c) 7 16 16

3 3 3

x x x

P A B x x

x x x x x

 

         

   

Với x0,x9 16 x

x

   



Áp dụng bất đằng thức Cô-si cho số x3 16

x ta có:

 

16 16

3

3

x x

x x

    

 

Suy

16

3

3 x

x

   

 Nên P2

Vậy giá trị nhỏ P Dấu “=” xáy

 2  

16

3

3

3 16

3 4( ) x

x

x x TM

x

x L

  

         

    

Câu III.(2 điểm): Cho đường thẳng  d1 :y2x2 a) Vẽ đường thẳng  d mặt phẳng tọa độ 1 Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm  d 1  d2 : y x

c) Cho đường thẳng  d3 :ymx5 Tìm giá trị m để ba đường thẳng      d1 ; d2 ; d3 cắt điểm

Lời giải

a) Ta có:  d1 y2x2

Với x0thì y2  d1 qua điểm A 0; + Với y0thì x 1 d1 qua điểm B1; 0

38 b) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là:

2x  2 x 3     x y

Vậy tọa độ giao điểm    d1 ; d2 C 5; 8

c) Ta có    d1  d2 Cnên để ba đường thẳng qua điểm C d3

 

8 m 5

     13 m  

Vậy với 13

m      d1 ; d2 ; d3 qua điểm

Bài IV (3,5 điểm):

1 Một thuyền địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc trung bình 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh 20 phút Biết đường thuyền DE, tạo với bờ sông góc 60o

Tính chiều rộng khúc sơng

Lời giải

Đổi 20 phút 1  h 

Quãng đường DE dài là: 2.1   3

2

km

 Qua E kẻ EK a DKE 90 Xét KDEvuông K có:

2

.sin sin 60 0,577( )

3

EK DE EDK     km

Vậy chiều rộng khúc sông 0,577(km)

2 Lấy điểm A O R; , vẽ tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm B, O R;  lấy điểm C cho BCAB

a) Chứng minh rằng: CB tiếp tuyến  O

b) Vẽ đường kính AD  O , kẻ đường CK vng góc với AD D

E a

b

60°

39 Chứng minh CD// OB BC DC CK OB

c) Lấy điểm M cung nhỏ AC  O , vẽ tiếp tuyến M cắt AB BC, E F, Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE Chứng minh MAC~IFE

Lời giải

a) Xét AOB COB, có: ABBC(gt)

OB chung

  OAOC R

( )

AOB COB c c c

    

Suy BAOBCO 90 Nên BC tiếp tuyến  O

b) Ta có ACD nội tiếp  O , AD đường kính ACD 90 hay CDAC Lại có OBAC(O B cách A C)

Suy CD // OB(Từ vng góc đến song song) I

F

E

K D

C

O A

B

40 Ta có: KCDCAO (cùng phụ góc KDC)

Mà CAOACO (OA = OC = R) Nên KCDACO (Tính chất bắt cầu)

Suy BOCCDK (cùng phụ với ACO KC, D)

(Cách khác: Ta có BOCOCD(SLT), mà OCDODC(do OC = CD = R) nên

BOCCDK(Tính chất bắt cầu) ) Xét BCO CKD, có

BOCCDK(cmt)

 90  BCOCKD  

 

~

BCO CKD g g

   

BC BO

BC DC CK OB

CK CD

   

c) Ta có EI tia phân giác góc BEF (gt) EO tia phân giác góc AEM (định lý) Suy EI EO Mà AM EOnên EI // AM Chứng minh tương tự ta OFIFvà IF // MC Từ đó: IEF EMA(slt) IFEFMC (slt) Lại có: IEFIFE180 EIF

180

EMAFMC  AMC

Suy EIF AMC  1

Ta có: 1  1 180 

2

IFEIBF  EBFEFB   BEF

Lại có:

180 180

MOA

BEF MEA

MEA

  

  MOABEF Suy

   

1 1

180

2 2

41

IFE MAO IBF

  

Lại có IBCKCD (vì BCO~CKD cmt( ))

nên IFEMAO KCD MAO KAC MAC 2 Từ  1  2 Suy MAC~IFE(g.g)

Bài V (0,5 điểm) : Cho x y z, , 0 xyyzzx3xyz Tính giá trị nhỏ của:

     

2 2

2 2 2

x y z

A

z z x x x y y y z

  

  

Lời giải: Từ xy yz zx 3xyz 1

x y z

      

Đặt a,1 b,1 c

x  y  z  ta a b c  3 a b c, , 0 Lúc   2 2 x c a c

z z x   ;  

2

2 2

y a

a b

x x y   ;  

2

2 2

z b

b c

y y z  

Khi

3 3

2 2 2

a b c

A

a b b c a c

  

  

Xét :

3

2 2

a ab

a

a b  a b

Ta có  

2

2

2

2

ab b

b a b

a b     với a b, 0, Dấu  a b Suy

3

2 2 (1)

2

a ab b

a a

a b  a b   Tương tự với a b c, , 0ta được:

3

2 (2)

2

b c

b

b c   ;

2 (3)

2

c a

c

a c  

Từ (1), (2), (3) ta có:

3 3

2 2 2

3

2

a b c a b c

A

a b b c a c

 

    

  

Dấu        a b c x y z Vậy A =

3

42

ĐÁP ÁN : QUẬN LONG BIÊN

Bài (1,5điểm). Thực phép tính

a) 3 807 45 500 b)  

2

32  19 3 c) 14 28

7



 

 

Lời giải

a) 3 807 45 500 12 21 10

5

   

 

b)  

2

32  19 3

 2

3

2         

c) 14 28

7



 

 

   

5 2

1

2 5 2

 

  

 

     

Bài (2 điểm) Cho biểu thức :

1

x x x

P x x x x                    Lời giải

a) Rút gọn P: :

1

x x x

P x x x x                         :

1 1

x x x

x x x

x x x

                           

2 4

: :

1 1 1

1

2

1 2

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x

x x x x

                       

b) Tính giá trị P với x 4 ĐKXĐ x0;x1;x4 Với x 4 3 1 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)  x  1

Thay x  1 vào P, ta có :

 2 1

3 1 3 3 3

2 2

3 P

 

      

    

  

Vậy 3

43 c) Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên

1 3

1

2 2

x

P x

x x x



         

  

2 x

  Ư(3) 1;3  x   1 x ( khơng thỏa mãn điều kiện ) Vậy khơng có gía trị nguyên x để P có giá trị nguyên

Bài (1,5 điểm) Cho hàm số y 0,5x có đồ thị  d1 hàm số y x có đồ thị  d2 a) Vẽ đồ thị  d1  d2 mặt phẳng toạ độ Oxy

b) Xác định hệ số a b, đường thẳng  d :yax b biết  d song song với  d1  d cắt  d2 điểm có tung độ 3

Lời giải

44 b) Ta có:  d song song với  d1 0,

0 a b

     

 Khi  d :y 0,5x b Gọi M x y 0; 0 toạ độ giao điểm  d cắt  d2

Ta có:  d cắt  d2 điểm có tung độ  3 y0  3

 0; 0  2

M x y  d  y0 x0 2 x0 y0 2 x0    3 x0  5   d cắt  d2 điểm có toạ độ M 5; 3

 5; 3 M

   thuộc  d  

3 0,5 b b 5,5         

Bài 4 (4,0 điểm)

1)(1,0điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC = 5cm, AH = 2cm, độ lớn góc

0

ACB30 Tìm độ dài AB

2) (3,0điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B C tiếp điểm.)

a) Chứng minh: Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn AOBC

b) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm M (M B, M  C, M AO) Tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Chứng minh: Chu vi ADE 2AB

c) Đường thẳng vng góc với AO O cắt AB AC P Q Chứng minh: 4PD.QE = PQ2

Giải 1) Tính HC = 3cm; BH = – 3cm

45 a) Gọi N trung điểm AO

suy được:NBNANONC

Vậy A, B, O, C thuộc đường trịn tâm N, đường kính AO  Lập luận AO trung trực đoạn BC

Suy được: AO vng góc BC b)Chu vi ADE = AD + DE + AE

Mà: DM = DB (tiếp tuyến MD DB cắt D) ME =CE (tiếp tuyến ME CE cắt E) Suy

Chu vi ADE = AD + DB + AE + EC = AB + AC = AB c)Theo tính chất hai tiếp tuyến đường trịn, ta có:

1 DOM BOM

2

 , MOE 1MOC

2

 Cộng vế theo vế, ta được:

1 DOE BOC

2



Mà 1BOC AOC OQE

2   ( Vì AOC OQE phụ với QAO )

Nên DOEOQE

Xét tam giác ODE tam giác QOE, ta có:

DOEQOE (cmt)

OEDOEQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ODE QOE

  ∽ (g,g) Cm tương tự  ODE∽PDO

QOE PDO

46

2

2

 QOQEPD.QEPO.QO PQ PQ PQ PD PO

2

4PD.QE PQ

 

Bài (1,0 điểm) Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm quốc lộ kéo dài, nối xã Đơng Hội, huyện Đơng Anh phía Bắc Hà Nội phường Ngọc Thuỵ, quận Long Biên phía Nam Hà Nội Nhịp dài 120m thiết kế vịm thép nhồi bê tơng có hình cung tròn Khoảng cách điểm cao mái vòm xuống mặt sàn cầu 47m (được mô hình vẽ dưới) Hãy tính độ dài bán kính R đường tròn chứa cung tròn nhịp cầu Đơng Trù? (Kết làm trịn đến chữ số thập phân)

Lời giải

Xét đường trịn O R;  có OH vng góc với dây cung AB H

 H trung điểm AB

 

120 60

2

AB

HA HB m

    

Ta có MH khoảng cách từ M đến AB nên MH AB Mà OH ABH O M, , thẳng hàng HOMO MH HO R 47 m

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OHB, ta có

2 2

OB OH HB

 

 

2

47 60 5809

62, 00 94

R R

R m

   

47

ĐÁP ÁN: QUẬN THANH XUÂN

Bài 1:(2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

0 0 sin15 os15 cot 75 os15 c A c   

2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27

16



    

Lời giải

Bài 1:(2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

0 0 sin15 os15 cot 75 os15 c A c   

0 0

tan15 cot 75 tan15 tan15

      

2) Giải phương trình: 25x 45 20x 5x 27

16       ĐKXĐ: x 

2

5x 27 5 5x 5x

4

1 27 27

7 5x 5x

4 4

27 27

5x 5x

28 28                                        27

x

5 28

               

( tm ĐK)

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho biểu thức 2

2 2x x P x x   

 

1

;

1

x Q

x x x



 

    (Với x1,x2,x3)

1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 2) Chứng minh Q 2 x

48

Lời giải

1) Tính giá trị biểu thức P x= 16 Với x16( thỏa mãn ĐKXĐ)  x 4 Thay x16, x4vào P, ta có :

 

2 4

4 4 16 16 4

P         

   

2) Chứng minh Q 2 x

 

        

  

1

1

1

1 1 2

3

1

1

1 2

x Q

x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x

x x x

x x x x Q x



 

   

    

 

       

  

 

 

   

          

3) Tìm x để P Q 0

 

2

2 2x

x

M P Q x

x x

  

    

 

 

   

2 2

x

x x x

x

x x

   

  



P Q x

x

    mà x  0 2 x  0 x 0x2 Kết hợp ĐKXĐ : x1,x2,x3  1 x P Q 0

Bài 3: (2 điểm)

Cho hàm số bậc y(m1)x2m y(2m1)x3m

1) Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song 2) Tìm giá trị m để giao điểm hai đồ thị nằm trục hoành

Lời giải

49 1) Hai đường thẳng song song 1 2 1 0

2 3 0

m m m

m m m

   

 

   

 

Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu đề

2) Để đường thẳng cắt điểm trục hồnh Khi ta có phương trình hồnh độ (m1)x2m(2m1)x3mxm m

- Nếu m0 đường thẳng trùng

- Nếu m   0 x 1  y (m1).( 1) 2m m 1

Để điểm cắt nằm trục hồnh       y 0 m 1 0 m 1 (t/m)

Bài (3,5 điểm):

Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Gọi C D, hai điểm di chuyển cung trịn cho góc COD ln

90 (C nằm A D) Tiếp tuyến C,D cắt đường thẳng AB F,G Gọi E giao điểm FC GD

1/ Tính chu vi tam giác ECD theo R

2/ Khi tứ giác FCDG hình thang cân Hãy tính tỉ số AB

FG

3/ Chứng minh FC DG số

4/ Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn

Hướng dẫn giải

1/ Xét tứ giác CODE có: C O D900

Suy tứ giác CODE hình chữ nhật

Mà ECED (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

50 Xét COD vuông O CD OC2 OD2  R2 R2 R

Vậy chu vi ECD PECD CDECEDR 2  R R 2 2R 2/ Hãy tính tỉ số AB

FG

Ta có: GD OD GD OC

OC OD



 

 



FC OC

FC OD

OD OC



 

 



Xét tứ giác CDGO có: GD OC CD OG

Suy tứ giác CDGO hình bình hành CDOG R Xét tứ giác CDOF có: FC OD CD OF

Suy tứ giác CDOF hình bình hành CDOFR

Vậy tỉ số

2

2

2

AB AB R

FG OF OG  R R 

51 Ta có: FC ODCFODOG (hai góc vị trí đồng vị)

Xét CFO DOG có CFODOG C D900

CFO DOG

   (g.g)

2

FC OC

FC DG OC OD R R R

OD DG

        

Vậy FC DG số

4/ Tìm vị trí C,D cho tích AD BC đạt giá trị lớn

Gọi giao điểm cuẩ CB AD I

Khi ta có tam giác ACI;BDI vng cân C, D

Đặt AC x BD;  y suy      2

2

AD BC  yx  xy  xy x y Ta có: AC2CB2BD2AD2 8R2

 

2 2

4 8

8 R

x y xy R xy xy xy

       

 Dấu xảy x y

Ta có

2 2AD BC 8R 2xy Vậy để tích AD BC lớn x y C, D điểm cung phần tư thứ thứ hai nửa đường tròn cho

Câu 5: (0,5 điểm)

Với hai số x y, dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

1 1 1 1 4

1 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

T

x x y y x y

      

52

Lời giải

Với a0 ta có 1 12 1 2 1 1 1 1 1 1

( 1) 1 1

a a a a a a

       

  

2 2

1 1 1 1 4

1 1

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

T

x x y y x y

       

   

1 1 1 1 1 1 4

1 1 ( 1)( 1)

T

x x y y x y

      

   

T 1 1 1

x y

  

Giả sử M 0 giá trị lớn T

Khi chọn 1 1 1 (0;1) 1

M x

x     M   ;

1

2 0

1 y

M

  

 x y, vừa chọn

thỏa mãn số dương x y 2 Với x y, vừa chọn ta có

1 1

1 2 1

T M M

x y

53

ĐÁP ÁN QUẬN HỒN KIẾM Câu 1. (2 điểm)

1 Tính giá trị 2 2

P  



2 Giải phương trình x x

 

 với xlà ẩn số thực Lời giải Ta có:   

2 2 2

P

 

 



4 2 2 P

     

P   Vậy P3 Giải phương trình

ĐKXĐ: x0;x1

Với điều kiện xác định trên, phương trình tương đương

 

1

x x

   

Biến đổi ta x   3 x (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x9

Câu (2 điểm)

Cho biểu thức 1 x A

x

 



1

1

x B

x x



 



 với x0;x1 Tính giá trị A

4 x Rút gọn biểu thức P B

A  Tìm x để biểu thức P1

Lời giải Tính giá trị A

Ta có

54 Thay vào A, ta

1 3 A     Rút gọn P

Ta có 2

1 1 x x B x x x        

Từ

1 B x P A x    

Vậy 1 x P x  

 với x0;x1 Tìm x để biểu thức P1

Xét 1 1

1 1

x x x x

P

x x x x

  

     

   

Với x0thì 1

x

P

x    (đúng) Với x0thì 1

1 x

x x

x      

Kết hợp với điều kiện xác định P  1 x x1

Bài 3. Cho hàm số bậc ym2x m 1 với m tham số có đồ thị đường thẳng

 d

4 Tìm m để  d qua điểm A ;1 1  Vẽ  d với mvừa tìm

5 Với giá trị m  d đường thẳng  d ' : y 1 3x song song với ?

6 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d Lời giải

1 Vì  d qua A ;1 1  nên thay tọa độ A vào  d ta

 

1 m 1. m

     Từ tìm m0(thỏa mãn) Tìm m để  d song song với  d '

Ta có     1

1

m m

d / / d ' m

m m

    

 

    

  

55 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d

Ta có  d cắt Oy điểm Bm0;m1  d cắt Ox điểm m

C ;

m

 

 

  

 

Kẻ OH vng góc với  d Ta có 2 12 12 OH OB OC Giải tìm

3

m (thỏa mãn)

Bài ( 3,5 điểm)Cho đường tròn (O;4cm), đường kính AB Lấy điểm H thuộc đoạn AO cho OH= 1cm Kẻ dây cung DC vng góc với AB H

1 Chứng minh: ABC vng tính độ dài AC

2 Tiếp tuyến A (O) cắt BC E Chứng minh CBD cân EC EA

DH  DB

3 Gọi I trung điểm EA, đoạn IB cắt (O) Q Chứng minh CI tiếp tuyến (O) từ suy ICQCBI

4 Tiếp tuyến B (O) cắt IC F Chứng minh ba đường thẳng IB,HC, AF đồng quy Lời giải

a) ABC nội tiếp (O) AB đường kính

ABC vuông C

2

3.8 24

AC AH AB

AC

   

 

b) Xét (O) có ABCD={H}

H trung điểm CD

56 Xét CAE HBD có

AECHDB 90 ACEDHB

CAE HBD

EC EA

DH DB

  

 

3) Chứng minh IEC cân COB cân

0

90

ECI OCB

IC OC

  

 

Vậy IC tiếp tuyến (O)

Chứng minh IC=IA IQC ICBICQCBI 4) Gọi G giao điểm IB HC

Có CG//BF IC IG IA IG

CF GB BF GB

   

Mà IGAGBF AIG FBGIGABGF A;G;F thẳng hàng

Vậy AF,IB,CH đồng quy G

Bài 5. Cho x, y,z số thực thỏa mãn đẳng thức xyyzzx5 Tìm giá trị lớn biểu thức

    3

6 5

x y z

P

x y z

  

    

Lời giải

   

   

        

           

 

2 2

2 2

6 5

6

6

3

2 2

9

3

2

x y z

x xy yz zx y xy yz zx z xy yz zx

x y x z y z y x z x z y x y x z x y y z z x z y

x y z

x y z     

                    

        

  

 

   

   

3 2

3

6 5

x y z P

x y z

 

 

    

Đẳng thức xảy ra  x y 1;z2 Vậy

min

57

ĐÁP ÁN: QUẬN HÀ ĐƠNG

Bài 1: (1,5 điểm) Tìm x,biết

 

 

1)2 81 20

2 20

10 20 4( )

x x x x

x x x

x x x tmdk S                 

2) 4 27 31 31 x x x S        

Bài 2: (2,5 điểm) Cho hai biểu thức

1 x A x  



2 3

3 12

x x x x

B

x x x x

  

  

    với x0;x9;x16 1) Tính giá trị biểu thức A x25

25 5( )

x  x  tm

Thay x 5(tm)vào A, ta có 6 A   



Vậy A6khi x25 2) Rút gọn B

  

  

           

2 3

3 12

2 3

3 4

2 3 6

3 4

3

3

1

x x x x

B

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

58 3) Đặt P2 x2B A: Tìm giá trị nhỏ P

 

 

 

1

2 :

4

2 4

4

2

1

1

x

P x

x x

x x

x x

x x

x



 

   

 

 

 



 

 

  



Vì 0, 1 1 6

1 1

x x dkxd x

x x x



              

  

Min P 4, dấu xảy  x 0(tm)

Bài (2,0 điểm)

Cho hàm số ym21x m (m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ  3 3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1 :y2x 3

Giải

Ta có hàm số ym21x m

(m tham số) có đồ thị đường thẳng d 1) Với m = ta có:  d :y2x 3

x

2  2x

y 

(d)

1 x

y 3

59 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ  3

Để đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ         3 m m Vậy m 5 đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ  3

3) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1 :y2x 3 Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1 :y2x 3

2

1

1

2

m m

m

m m

    

    

  

 

Vậy m 1 đường thẳng (d) song song với đường thẳng  d1 :y2x 3 Bài

Cho điểm M nằm đường tròn O R;  cho OM 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với O R;  ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường trịn ( )O Gọi H giao điểm AB OM

a) C/m: điểm A , O , B , M thuộc đường tròn

b) Tính tỉ số OH OM

c) Gọi E giao điểm CM đường tròn ( )O Chứng minh : HEBE

60 a) Ta có:

+ 90

MAO ( MA tiếp tuyến ( )O )  A thuộc đường tròn đường kính MO + MBO900 ( MB tiếp tuyến ( )O )  B thuộc đường trịn đường kính MO

Suy ra: điểm A , O , B , M thuộc đường trịn đường kính MO b) ta có: MAMB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R

MO đường trung trực đoạn thẳng AB MOAB H

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AOM, đường cao AH có:

2 2

2

2

OA R R

OH OM OA OH

OM R

R OH

OM R

    

  

c) Vẽ tia Bx tia đối tia BM

Vì AEC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AC  AEC vng E Áp dụng hệ thức lượng hai tam giác vng AMO AMC có: MH MO ME MC MA2 MB2 (1)

(1) MH MC

ME MO

 

Suy ra: MHE  MCO c g c( ) HEC AOH (1) Tương tự, ta có: MEB  MBC c g c( )CEBCBx

61

 

0

vi 90

HEC CBE AOH OBH

AOH OAH OBH OAH

   

  



Suy ra: HEBE

Bài (0,5 điểm) Với x,y là số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2x2 y2 x 2020

x

    

Giải

Có x,y là số thực dương thỏa mãn x   y x y, 1;y 1 x

2

2x 2020

Q y x

x

    

 2

2

2x 2020

Q x x

x

     

2

x 2019

Q x

x

   

2 1 8075

x

4

Q x x

x

     

2

1 8075

4

2

Q x x

x

   

     

   

Mà

2

1

4 2;

2

Q x Q x

x

 

      

 

Suy 8075 8083

4

Q  

Dấu “=” xảy x y

  

Vậy giá trị nhỏ Q 8083

62

ĐÁP ÁN: QUẬN BA ĐÌNH Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức: A 12 3

  



b) Một chiếu thang dài 3,5m Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng để tạo với phương nằm ngang mặt đất góc an tồn 750

(làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

a) A 2( 2) 3 3 4



          



b)Gọi AB khoảng cách chân thang với tường BC chiều dài thang.

Trong tam giác ABC vuông A có:

0

AB

AB BC 3,5.c 0,9m BC

cosB=   cosB os75 

Bài 2: (2 điểm)

x x x x x

A ; B ,

x 25 x x

 

  

   với x0; x9; x25 a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị

b) Rút gọn biểu thức B

c) Đặt P=B:A So sánh P với LỜI GIẢI

A x x

0 x 25 x x x 



 



  

  d)

A

B

63

 

  

  

 

    

2 x x x B

x x

2 x x x x x x 2x x x x

x x

x x x

x x x 

 

 

   

 

   

 



 

  

c)

 

     

   

P B : A

x x x :

x 25 x

x x x

:

x x x x

x

x x

x

1

x x



 

 

 

  

 

 

   

 

Bài 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d :ym1x m (với m tham số)

a) Vẽ đường thẳng  d m3;

b) Tìm m để  d qua điểm A 1; 3;

c) Tìm m để  d với hai đường thẳng  1 :

d y x  d2 :y  x đồng quy Lời giải

64 - Cho x0   y 3A0; 3   d

- Cho 3;  

2

y   x B  d

 

Nối A với B ta đồ thị đường thẳng  d

b) Để đường thẳng  d qua điểm A 1; 3

x

   ; y 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng  d m   1 m

       2m   4 m

Vậy với m2 đường thẳng  d qua điểm A 1; 3 c) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d1  d2 ta có:

2 5

1

3

x x x x

         Với

6

x thay vào phương trình đường thẳng  d1 y

 

5 ; 6

C 

   giao điểm  d1  d2

Để đường thẳng  d ,  d1 ,  d2 đồng quy 1;   6

C  d

  

 

5 x

  ;

65

 

1

1

6 m m 6m m

         

Vậy với m 6 đường thẳng  d ,  d1 ,  d2 đồng quy

Bài 4.(3,5 điểm) Cho điểm C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB, (ACBC) Gọi H trung điểm BC Tiếp tuyến B đường tròn ( )O cắt tia OH D

e) Chứng minh rằng:

DH DODB ;

f) Chứng minh DC tiếp tuyến đường tròn ( )O ;

g) Đường thẳng AD cắt đường tròn ( )O E Gọi M trung điểm AE Chứng minh bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn

h) Gọi I trung điểm DH, BI cắt ( )O F Chứng minh ba điểm A H F, , thẳng hàng

Lời giải a)

Xét ( )O có:

H trung điểm dây BC OH BC mà HOD ODBC H Ta có OD cắt tiếp tuyến kẻ từ B ( )O B

0 90

DB OB OBD

    

OBD

  vuông B

Xét tam giác vng OBD có BH đường cao

2

BD OH OD

66 b)

Ta có OBOCR  OBC cân O

mà H trung điểm BC OH đường trung tuyến OH

 đồng thời đường phân giác

BOH COH BOD COD

        Xét tam giác OBD tam giác OCD có:

OD cạnh chung ( )

BOD COD cmt

  

OBOC

OBD OCD

    (c – g - c)

0 90

OBD OCD

    

,

DC OC

  mà C( )O DC

 tiếp tuyến ( )O

67 Xét ( )O có :

M trung điểm dây AE OM AE M OMD

  vuông M M thuộc đường trịn đường kính OD(1) Ta lại có: DCOC C

OCD

  vng C C

 thuộc đường trịn đường kính OD(2) Mặt khác, tam giác OBD vuông B

B

 thuộc đường trịn đường kính OD(3)

Từ (1), (2) (3) suy bốn điểm D B M C, , , thuộc đường tròn đường kính OD

68 Gọi N trung điểm HB

Xét tam giác HBD có N trung điểm HB, I trung điểm HD IN

 đường trung bình tam giác HBD / /

IN DB

 mà DBOB

IN OB

 

Xét tam giác OBI có BHOI NI, OB mà BHOI  N N

 trực tâm tam giác IOB

ON IB

 

Xét tam giác BAH có N trung điểm HB, O trung điểm AB NO

 đường trung bình tam giác BAH / /

NO AH

 mà NOBI

AH BI

  (5)

Xét tam giác AFB có: AB đường kính, F( )O AFB

  vng F

AFBF mà B I F, , thẳng hàng

AF BI

  (6)

Từ (5) (6) suy đường thẳng AH đường thẳng AF trùng , ,

A H F

 thẳng hàng

Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình : 2x2 8 x38 (1) Lời giải

Điều kiện: x 2

(1)  2x2  8 x2x22x4 (2) Đặt

2

2

a x

b x x

   

   

2 2a b x    

(2) 2 a b  ab  2

2 2a b 25ab

  

2

8a 17ab 2b

69

8a b a 2b

   

8

2 a b

a b

  

   



TH1 : 8a b 0

 

8 x x 2x

    

2

10 12

x x

   

2

10 25 37

x x

    

 2 37 x

  

5 37 37

5 37 37

x x

x x

     

 

    

 

 

(thỏa mãn)

TH2 : a2b0   2

x x x

    

2

2x 5x

    (vơ lí)

Vì

2

2 23

2

2 x  x  x   

 

70

ĐÁP ÁN: QUẬN ĐỐNG ĐA

Bài I ( điểm)

1) Tính giá trị biểu thức T 1 4,5 12,5 2 2

 

   

 

Ta có

1

T 4,5 12,5 2 1 9 25 1 5 9

2

 

          

 

2) Giải phương trình: x26x 5  

 2 2

x 6x 5 x 3 6 x 3 6

x 6 x 9

x 3 6 x 3

         

    

 

    

 

Vậy phương trình có nghiệm x = 9; x = -3

Bài II ( điểm)

Cho biểu thức A x x 2

x

 

 B 2x x 4 x 1

x x x 2

  

 

  với x 0 1) Tính giá trị A x =

2) Rút gọn biểu thức B

3) Cho P A B

 Tính giá trị ngun x để P có giá trị âm Giải

1) Thay x = ( TMĐKXĐ) vào biểu thức A ta được:

9 2 5

A

3 9

 

 

Vậy x = giá trị biểu thức A 5 3

71

     

   

    

2x x 4 x 1

B

x x x 2

x 1 x

2x x 4

x x 2 x x 2

2x x x x x 4

x x 2 x x 2

x 2 x 2 x 2

x

x x 2

  

 

 



 

 

 

    

 

 

  

 

 3) Cho P A

B

 Tính giá trị ngun x để P có giá trị âm

Ta có:  

2

x 1 1

A x x 2 x x x 2

P . 0

B x x 2 x 2 x 2

 

   

    

  

Mà  

2

x 1  1 0 nên x 0   x   2 x 4

Kết hợp điều kiện: x 0   0 x 4, x nguyên, suy x1; 2; 3 Vậy với x1; 2; 3thì P có giá trị âm

Bài III ( điểm) Cho hai hàm số: y  x d và y x d' 

1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ 2) (d) cắt (d’) điểm M Tìm tọa độ điểm M

3) (d) cắt Ox A, cắt Oy B; (d’) cắt Ox C, cắt Oy D Tính diện tích tam giác BCM Giải

1) Đồ thị hàm số y  x d  đường thẳng qua điểm:

x

y

72

x -4

y

2) Hoành độ điểm M nghiệm phương trình:

x 4    x 2 2x    2 x 1

Thay x = -1 vào y = x + ta y = Vậy tọa độ điểm M ( -1; 3)

3) Kẻ MHOx, Ta có

 

BCM MAC BAC

1 1

S S S MH.AC BO.AC

2 2

1 1

.3.6 .2.6 3 dvdt

2 2

   

  

73 a)Chứng minh H trung điểm EF

ME, MF tiếp tuyến (O) (gt)

ME MF

  ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OE=OF=R

b)Chứng minh bốn diểm O, M , A, F thuộc đường trịn Ta có: AM OA(gt)

⇒∆OAM vng A

⇒∆OAM nội tiếp đường trịn đường kính OM

⇒O,A,M thuộc đường trịn đường kính OM OFMF(MF tiếp tuyến (O)

⇒∆OFM vuông F

∆OFM nội tiếp đường trịn đường kính OM

⇒O,F,M thuộc đường trịn đường kính OM c)Chứng minh : OK.OA = R

OHK

74 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OEM: OH OM OE2 R2

d)Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn

HQ,HI đường cao trung tuyến OHK,

OHK

S  HQ OK

Ta có

2 OK HQHI  mà

2 R OK

OA

 không đổi nên

2 max

4

OHK

OK

S 

Bài 5: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x y 1và x0

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

M

4

x y

y

x 

 

2

2

2 8 1 1

4 4 2

x y x x

M y x x y y

x x x

    

          

 

1

2

4 2

M x

x

   

Giá trị nhỏ M 2khi

75

ĐÁP ÁN: QUẬN ĐÔNG ANH

Bài I:(1 điểm) Rút gọn biểu thức:

a)  122 75 27 3 (2 10 3 3) 3   5 3 15 b) 5

5

 

 =

5( 2) 5

   

Bài II: (2 điểm): Giải phương trình: a) x  1 ( ĐK: x1)

2

1 (2 3) 3( )

x x x tm

          

Vậy PT có nghiệm x 8 b) 25 50

5

x  x  x  ( ĐK: x2)

2 2

1

2 2 ( )

2 4

x x x

x x x x tm

      

          

Vậy PT có nghiệm x

Bài III:(2 điểm) Cho x A x  



2 x B x x  

  (ĐK: x0,x4) a) Thay x = 36 (tmđk) vào biểu thức A

36 10 36

A     

  b) x B x x     ( 2)( 2)

x

x x x

 

  

2( 2) ( 2)( 2)

x x x x      ( 2)( 2)

x x x x      ( 2)( 2)

x x x      (2 )( 2)

x x x     :

(2 )( 2) x

P B A

x x      : x x   (2 )( 2)

x x x     x x x    

c)P > 2

2 x x x x

        

76 Vậy 0 x

Bài IV:(1,5 điểm)

Cho hàm số y = x + có đồ thị (d1) hàm số y = -2x - 1có đồ thị (d2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng tọa độ

x -5

y = x + 5

x

2  y = -2x - -1

b) Hoành độ điểm A nghiệm phương trình: x + = -2x - 1x = -2 Thay x = -2 vào hàm số y = x +  y =

Vậy tọa độ giao điểm A hai đồ thị hàm số (-2; 3)

c) Gọi B C giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , AHOx (HOx)

1

.3.4,5 6, 75

2

ABC

S  AH BC   (đvdt)

Vậy diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai đồ thị trục hoành 6,75

Bài V:(3 điểm)

-1/2

A

C O B

5

-1 3

77 a) Vì AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , B C tiếp điểm (gt) nên

0

90 ; 90

ABO ACO ( t/c tiếp tuyến) ABO

  vuông B nên ba điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO (1) ACO

 vng C nên ba điểm A, C, O thuộc đường trịn đường kính AO (2) Từ (1) (2), suy bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính AO b) Xét O R; , có:

+) AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , B C tiếp điểm (gt) nên ABAC; AO phân giác góc BAC BOC ( t/c hai tiếp tuyến cắt )

+) BCD có cạnh BD đường kính đường trịn O R; ngoại tiếp BCD (gt) nên BCD vuông C DCB900DCBC(3)

Xét BOC,có:

OBOC  R BOC tam giác cân O

Mà OA phân giác BOC (cmt) OA chứa đường cao kẻ từ đỉnh O BOC( t/c tam giác cân )

(4)

OA BC

 

Từ (3) (4), suy ra: DC/ /OA ( quan hệ từ vng góc đến song song ) c) Chứng minh tứ giác OCEA hinhd thang cân

Có DC/ /OA ( cmt ) nên EC/ /OAtứ giác OCEA hình thang có hai đáy OA CE ( 5) Xét DOC,có: ODOC  R DOClà cân O ODCO DC ( t/c tam giác cân ) Mà AOCOCD slt AOCODCAOC ODE

Có: O trung điểm BD ( Do BD đường kính O R;  ) , đường trung trực BD cắt

DC E (gt)

90

OE BD DOE

   

Xét EODvuông O ACOvng C, có:

  EDO

AOC cmt

E

D C

B

78 D

OCO R

 

D O

EO AC g c g OE AC

      ( cạnh tương ứng ) (6) Từ (5) (60, suy ra: Tứ giác OCEA hình thang cân

Bài VI:

Vì

2 , , ( ) 2z 2x

x y

x y z gt y

z

  



       

Áp dụng Bắt đẳng thức Co – Si, có:

 

2

2

x y

x y    Dấu "" xảy x2y1

 

2

2

y z

y z    Dấu "" xảy y2z1

 

2

2

z x

z x    Dấu "" xảy z2x1

 

3

3x 3z 3

3

2 2

x y z

y

VT       

    

Dấu "" xảy 2z 2x 1 x y y  z     x y z

79

ĐÁP ÁN: HUYỆN GIA LÂM

Bài 1:(2,0 điểm)

Câu 1) Rút gọn biểu thức:

a) 3 363 487 11 14 3.  

b)    

2

3 7 11 7 3 7 2.2 7  4 7 72 3 7 7 2 72 Câu 2) Giải phương trình hệ phương trình:

a) 4x12 3  x 9x2720x 3

   

 

4 3 20 3 21 20 20 20

3

2

      

      

  

        

x x x

x x x

x x x

x TM

Vậy phương trình có nghiệm x = -

b) 9 14

3 5

        

    

   

             

    

x y x y x x x x

x y y x y x y x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y;  2;3

Bài 2: (2,0 điểm)

a) 3 0



 

 x

A x

x

Thay x16 (Thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có: 16 16



 

 A

Vậy 

80

b)

2

x x

B

x x x x

 

 

  

  

  (Với x0,x1)

     

     

2 1

2 1

2 2

1

2 1

1

2

       

   

   

         

   

 

    

    

 

 

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x

c) Tìm giá trị x để biểu thức M = A.B <0

3

1

  

   



x x x

M A B

x x x

* Có x 0 nên M0 x   3 x   3 x Kết hợp ĐKXĐ ta có 0 x 9;x1

Vậy 0 x 9;x1 M = A.B <0

Bài 3: (2,0 điểm) Cho ba đường thẳng:

 d1 :y x 2  d2 :y2x1    

2

3 :

d y m  x m a) Vẽ    d1 ; d2 mặt phẳng tọa độ Oxy

*  d1 :y x

Cho x = y = Ta (0; 2) thuộc Oy Cho y = x = -2 Ta (- 2; 0) thuộc Ox

Vẽ đường thẳng qua hai điểm vừa tìm ta có đồ thị hàm số y = x + *  d2 :y2x1

81 Cho y = x =

2 

Ta ( 

; 0) thuộc Ox

Vẽ đường thẳng qua hai điểm vừa tìm ta có đồ thị hàm số y = 2x +

b) Xác định m để ba đường thẳng đồng quy

Xét phương trình hồnh độ giao điểm    d1 ; d2 ta có: 2x    1 x x

Thay x = vào y = x + ta có y =

   d1 ; d2 cắt (1; 3)

Để ba đường thẳng đồng quy  d3 qua điểm (1; 3)

Thay x = 1; y = vào ym21x m , ta có:

    

3 m 1 1 m m    m m1 m 2

2

m

   ; m =

Với m =  d3 trùng  d2

Với m = - thỏa mãn

Vậy m = - ba đường thẳng đồng qui

6

4

2

2

10 5 10 y

x

82

Bài 4:

a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn

Vì AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , ( B C tiếp điểm ) (gt) nên

0

90 ; 90

ABO ACO ( t/c tiếp tuyến) ) ABO

  vuông B nên ba điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO (1) ) ACO

  vuông C nên ba điểm A, C, O thuộc đường trịn đường kính AO (2) Từ (1) (2), suy ra: bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính AO b) Chứng minh OA đường trung trực BC

Có:

+) AB, AC tiếp tuyến với đường tròn O R; , ( B C tiếp điểm ) (gt) nên

AB AC( t/c hai tiếp tuyến cắt )  A thuộc đường trung trực BC ( định lí ) +) Có B C; O R; OBOC R O thuộc đường trung trực BC ( định lí ) Vậy OA đường trung trực BC

c) Chứng minh DE BA B BED

Có: EO R; ; BD đường kính đường trịn O R; (gt)  BEDlà vng E ( định lí ) Xét ABD BED, có:

0 D D 90

AB BE  ; EDB chung D

D D( ) B BA D

AB BE g g DE BA B BE

ED EB

  ∽    

d) Tính số đo HEC

Gọi M giao điểm AD với BC; N giao điểm AO với BE

Có: CO R; ; BD đường kính đường trịn O R; (gt)  BCDlà vng C ( định lí ) Xét DCM BEM, có: DCMBEM 900; DMCBME ( góc đối đỉnh )

DM ME

DCM BEM g g( ) MC MC

BM ME BM MD

  ∽    

Xét DMB CME, có: ME MC

BM  MD( cmt); DMBCME ( góc đối đỉnh ) E

O H N

M

D C

B

83 DMB CME c g c( ) DBM CEM

  ∽   ( góc tương ứng )

Chứng minh tương tự, có: BNA∽HNE c g c( )NABNEH ( góc tương ứng ) Mà NABMBD ( phụ với ABH ) CEM NEH

Lại có: NEHHEM 900 CEMHEM 900HEC900 Vậy HEC900

Bài 5: Cho a b 1 Chứng minh rằng: 2

a b  Cách 1:

Ta có:

 

2 2

2 2

1 1

4 4

1 1 1 1

1

2 2 2

VT a b a a b b a b

a b a b

                                                    VT

  Dấu "" xảy 1 2 a

b a b

a b                 

Vậy với a b 1 2 a b 

Cách 2:

Áp dụng Bđt Cô – Si cho số dương có:

Dấu xảy

Vậy với

2 2 4

1 1

1

2 2

a a

b b

a b a b

   

       

""

2 1 a

b a b

a b               

a b  2