PHÒNG GD&ĐT CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Chú ý: - Câu hỏi trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm (phần trắc nghiệm khách quan tự luận) tờ giấy thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x x 0 Tính giá trị biểu thức A x13 x23 A 14 B 72 C 74 D 76 mx y m Câu 2: Cho hệ phương trình x my m Khi hệ phương trình có nghiệm x; y Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào m A x y 0 B x y 0 C x y 0 D x y 0 Câu 3: Trên đường tròn O; R lấy ba điểm A, B, C cho AB BC R , M , N Tính số đo góc MBN trung điểm hai cung nhỏ AB, BC A 1500 B 1050 D 1200 C 1350 Câu 4: Gọi A x0 ; y0 điểm cố định mà đường thẳng d m : y 2 m 1 x m qua với giá trị m Tính giá trị biểu thức T x02 y02 15 A T 17 B T 17 C T 15 D T Câu 5: Cho phương trình x x m 0 Có giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 3 A B C D Câu 6: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x 3mx 5m nghịch biến tập ? A m B m C m Câu : Có tất số nguyên x để biểu thức P A 2020 B 2017 D m 2020 x 2019 có nghĩa? x x x 2 x C 2018 D 2019 Câu 8: Cho đường trịn O;12 có đường kính CD Dây cung MN qua trung điểm I OC cho NID 300 Tính độ dài MN ? A B C 15 D Trang 1/3 Câu 9: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c abc 4 Tính giá trị biểu thức A a(4 b)(4 c ) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc A A 10 B A 4 C A 6 D A 8 450 , C 300 , AC 8 Tính độ dài AB Câu 10: Cho tam giác ABC có B A B C D 1 Câu 11: Cho Parabol P : y x đường thẳng d : y x Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 x1 x2 giao điểm Parabol P đường thẳng d Tính giá trị biểu thức T y1 y2 Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Biết AH 2, BC 5 Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 25 B T 25 A B C C D D ABCD đáy lớn CD , đáy nhỏ Câu 13: Cho hình thang Độ dài BD gần bao nhiêu? AB 12,5cm, CD 28,5cm, DAB DBC A 18,5cm B 17,5cm C 18cm AB Biết D 19cm Câu 14: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH , vẽ HD AB ( D thuộc AB ) Tia phân giác AHC cắt AC E Biết AB 6, AC 8, BC 10 Gọi P chu vi tam giác ADE, A 11 P 12 B 12 P 13 C 13 P 14 D 10 P 11 Câu 15: Cho tam giác ABC Đường phân giác góc A cắt BC D , qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Biết BD 5, CD 7,5 AC 10 Tính độ dài DE A B C D Câu 16: Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng (hai triệu đồng) tháng hộ có người thuê tăng thêm giá cho thuê hộ 100.000 đồng (một trăm ngìn đồng) tháng có hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao cơng ty phải cho thuê hộ với giá tiền tháng A 2.225.000 B 2.100.000 C 2.200.000 D 2.250.000 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm số có hai chữ số ab a b cho số n ab ba số phương b) Tìm nghiệm ngun phương trình x3 y 6 xy Trang 2/3 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 14 x x 15 x 38 x2 y2 xy x y xy b) Giải hệ phương trình x y 1 x x x y Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC ( không trùng với B, C ) Đường thẳng qua A vng góc với CM H cắt tia BM K a) Chứng minh H trung điểm AK b) Chứng minh K ln nằm đường trịn cố định M thay đổi Tính bán kính đường trịn R 3 c) Gọi D giao điểm AM BC Tìm vị trí điểm M cho tích hai bán kính đường tròn ngoại tiếp MBD, MCD đạt giá trị lớn Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 3 Chứng minh a b c 2 1 b 1 c 1 a -Hết Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm./ Trang 3/3 PHỊNG GD&ĐT CẨM KHÊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2019 - 2020 Hướng dẫn chấm có 04 trang I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan - Mỗi câu 0,5 điểm - Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án D A D 13 D C B 10 A 14 B A D 11 B 15 C B C II Đáp án - Thang điểm phần tự luận 12 A 16 D Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Đáp án - thang điểm Câu Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Tìm số có hai chữ số ab a b cho số n ab ba số phương b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 y 6 xy a) Tìm số có hai chữ số ab a b cho số n ab ba số 1,5 phương Ta có ab ba k k a b k Do a b số phương Do a b 9, a b , suy a b 1; a b 4; a b 9 a b 1 a b TH1: Vậy có số thỏa mãn 10,21,32, 43,54,65,76,87,98 TH2: a b 4 a b Vậy có số thỏa mãn 40,51,62,73,84,95 TH3: a b 9 a b Vậy có số thỏa mãn 90 Vậy có 16 số thỏa mãn yêu cầu tốn b) Tìm nghiệm ngun phương trình x3 y 6 xy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 Ta có x3 y 6 xy x y 3xy x y 6 xy 0,25 Đặt x y a; xy b ( a, b số nguyên) Ta có a3 a 3ab 6b a 3b a 3b a 0,25 Trang 4/3 a Để thỏa mãn yêu cầu toán a 5; 1;1;5 3b a 2a a ước , tức Khi a 3; b a 3; b Với a 3; b ta tìm x 1; y 2 hay x= -2; x= Với a 3; b khơng có x, y thỏa mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x 14 x x 15 x 38 x2 y2 xy x y xy b) Giải hệ phương trình x y 1 x x x y a) Giải phương trình x 14 x x 15 x 38 ĐK: x x + 15x +38 > 2,0 0,25 Tacó x 14 x x 15 x 38 x x x x 16 0,25 Đặt a x 7, b x a 0, b 0 Khi phương trình trở thành 0,5 2ab a b 16 a b 16 a b 4 a b Với a b 4 x x 4 x x 0 x x 2 x 2 x (Thỏa mãn) Với a b x x x x 0 (vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x x2 y 2 1 xy x y xy b) Giải hệ phương trình x y 1 x x x y ĐK: x y 0, xy 0 x y xy 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25 2 x y 0 Phương trình (1) 0 xy x y xy xy xy x y 1 x y 1 x y 0 x y x y 0 xy x y xy xy x y 1 2 x y x y 0 Với x y 1 vào phương trình (2) ta 0,25 0,25 0,25 Trang 5/3 2 1 y x 3 x x 0 (thỏa mãn) 2 1 y x 3 2 2 Với x y x y 0 x y x y vào phương trình (2) ta x 1 x 1 x x x y 2 x 1 0 (loại) 2 x y x y 1 y 0 0,25 ; ; , 3 Vậy tập nghiệm hệ x; y 0,25 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC ( không trùng với B, C ) Đường thẳng qua A vuông góc với CM H cắt tia BM K a) Chứng minh H trung điểm AK b) Chứng minh K nằm đường trịn cố định M thay đổi Tính bán kính đường trịn R 3 c) Gọi D giao điểm AM BC Tìm vị trí điểm M cho tích hai bán kính đường trịn ngoại tiếp MBD, MCD đạt giá trị lớn a) Chứng minh H trung điểm AK Ta có AMB ACB 600 , AMH ABC 600 CMK 600 Vậy AMH HMK mà MH AK nên AMK cân M Vậy H trung điểm AK b) Chứng minh K ln nằm đường trịn cố định M thay đổi Tính bán kính đường trịn R 3 Theo ta có CA CK , mà A, C cố định nên K nằm đường trịn đường trịn tâm C bán kính CA tam giác ABC nên O trọng tâm tam giác ABC AC R AC 3 3 AC 9 3 Vậy bán kính đường trịn 1,0 0,5 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 Trang 6/3 c) Gọi D giao điểm AM BC Tìm vị trí điểm M ch tích hai bán kính đường trịn ngoại tiếp MBD, MCD đạt giá trị lớn Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp MBD, MCD Dựng tam giác BDF , CDG tam giác ABC Ta có BFD BMD 600 Vậy tứ giác BDMF nội tiếp Tương tự tứ giác CDMG nội tiếp nên R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp BDF , CDG BD CD BD.CD Khi R1 ; R2 R1.R2 3 BD CD BC 3R Mặt khác BD.CD 4 Dấu “=” xảy D trung điểm BC hay M điểm cung nhỏ BC Câu (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 3 Chứng minh a b c 2 1 b 1 c 1 a ab ab ab Theo bất đẳng thức Cô si, b 2b b 2b 2 a ab ab a a Khi , dấu “=” xảy b 1 b2 b2 b bc b Tương tự , dấu “=” xảy c 1 1 c c ca c , dấu “=” xảy a 1 1 a a b c ab bc ca a b c Khi 2 1 b 1 c 1 a Mặt khác ta có a b c a b c a b c ab bc ca 3 ba bc ca Vậy ab bc ca 3 a b c ab bc ca 3 a b c 3 Khi 2 1 b 1 c 1 a 2 Dấu “=” xảy a b c 1 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 Hết Trang 7/3