Toan 9 cam khe (16 17)

PHỊNG GD&ĐT CẨM KHÊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN-TỰ LUẬN Thời gian làm bài: 90 phút không, kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức y  x2 1 nhận giá trị số nguyên 2x  b) Cho ( x  x  2017)( y  y  2017) 2017 Tính giá trị biểu thức: A = x2017 + y2017 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x   y  y  x  3x  x  b) Giải hệ phương trình:    x  y   y  (1) (2) Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC cố định với K trung điểm Hai điểm B, D phân biệt, di động đối xứng với qua K (đường thẳng BD không trùng với đường thẳng AC) Đường phân giác góc BCD cắt AD AB I J Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ cắt điểm M khác A P tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ   a) Chứng minh rằng: PJA PAI b) Khi B, D di động M ln thuộc đường cố định Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = 2 Chứng minh rằng: a (b  c)  b3 (c  a )  c (a  b) 3 HẾT Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh……………… Cán coi thi không giải thích thêm./ UBND HUYỆN CẨM KHÊ PHỊNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Ngày thi: 23/1/2017 I Một số lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm giám khảo cần bám sát yêu cầu đề bài, lời giải chi tiết học sinh đảm bảo lôgic kiến thức mơn - Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm thành phần làm tròn đến 0,25 điểm II Thang điểm Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức y  x2 1 nhận giá trị số 2x  nguyên y x2 1 x2  x  x 1 x 1 1   x  x     2x  2x  2x   2x   0,5đ Từ suy ra, x, y ngun 2x, 2y ngun Khi y 2 x   0,5đ 3 nên số nguyên lẻ 2x  2x   x  1  x   0;1;  1;  Từ suy   x  3 0,5đ b) Cho ( x  x  2017)( y  y  2017) 2017 Tính giá trị biểu thức: A = x2017 + y2017 Ta có: ( x  x  2017)( y  y  2017) 2017  (x  x  2017)( x  x  2017)( y  y  2017) 2017( x    2017( y  y  2017) 2017( x    y y  2017  x  x  2017) x  2017 x  2017) 0,5đ Tương tự, ta có:  x  x  2017  y  y  2017 0,5đ Suy ra: x + y =0 Từ tính được: A = x2017 + y2017 = 0,5đ Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x  (1) (1)  x  x  ( x  3)  x   0,5đ 1  1 1     x    x     x   x    2  2 2   0,5đ   17 x    13 x  0,5đ  x  1 x 3     x  x   y  y  x  3x  x  b) Giải hệ phương trình:    x  y   y  (1) (2) Điều kiện:   x 1 ;  y 2 0,25đ Phương trình (1) tương đương với: y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) suy y = x + Thay vào phương trình (2) ta có:  x   x   x  (*) Đặt t   x   x   x  t2  2 0,25đ 0,25đ 0,5đ Thay vào PT (*) ta  t 0 t2  t      t 2   x   x 0  x 0; y 1    x   x 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x; y) = (0; 1) 0,5đ 0,25đ Câu (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AC cố định với K trung điểm Hai điểm B, D phân biệt, di động đối xứng với qua K (đường thẳng BD không trùng với đường thẳng AC) Đường phân giác góc BCD cắt AD AB I J Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ cắt điểm M khác A P tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ   a) Chứng minh rằng: PJA PAI b) Khi B, D di động M ln thuộc đường cố định J M P D A I Q B 0,25đ K C   a) Chứng minh rằng: PJA PAI Gọi Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy PQ vng góc 0,25đ AM (1)  BCJ    Ta có: AIJ (2) 0,25đ DCJ AJI  PJA 180  APJ 900  AIJ   1800  API   PAD  900  AJI   Từ (2), (3), (4) suy ra: PJA PAI (3) 0,5đ (4) b) Khi B, D di động M ln thuộc đường cố định Ta có PA = PJ    Vì BJC nên tam giác BCJ cân B DCJ BCJ Từ suy ra: AD = BC = BJ Từ (5), (6), (7) suy  PAD =  PJB  PB = PD mà QB = QD  PQ trung trực BD  PQ vng góc BD Từ (1) (8) suy AM // BD  AMDB hình thang cân (do AMDB nội tiếp)      DBC  MDB  ABD BDC BDA DBM (5) 0,25đ (6) 0,25đ (7) (8) (9) Do  DBM =  DBC  BD vng góc MC (10)   Từ (9), (10) suy AMC 90 M thuộc đường tròn (K) đường kính AC cố định Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2 Chứng minh rằng: a (b  c)  b3 (c  a )  c (a  b) 3 2 Ta có: a (b  c)  b3 (c  a )  c (a  b) 3 1    (1) a (b  c) b (c  a ) c (a  b) 1 Đặt x  ; y  ; z  xyz = (2) a b c 2 x y z2     Và (1) (3) yz xz x y  0,25đ 0,25đ Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x2 yz  x yz y2 xz  y xz z2 yx  z yx (4) (5) 0,25đ (6) Cộng vế bất đẳng thức (4), (5), (6) ta x2 yz y2 xz z2 yx      x  y  z yz xz yx x2 y2 z2 x yz     (7) yz xz yx Ngoài ra: x  y  z 3 xyz   2 (8) 0,25đ 0,25đ Từ (7) (8) suy điều phải chứng minh 0,25đ