PHÒNG GD&ĐT CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Chú ý: - Câu hỏi trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi, không làm đề thi A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: 2 Cho a, b, c số thực thoả mãn a b 2 Khi đó, giá trị biểu thức a 8b b 8a A B D C Câu 2: 3 P x x x 3 2022 Cho x 1 Giá trị biểu thức A 2024 B 2023 C 2022 D 2021 d : y m 1 x Tính tổng tất giá trị tham số d khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Câu 3: Cho đường thẳng A Câu 4: thẳng d Cho đường thẳng C B d : y mx m m để D Có giá trị tham số m để đường tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 2? A B C D mx y 10 m x; y Câu 5: Cho hệ phương trình x my 4 (với m tham số) có nghiệm I x; y Khi điểm ln nằm đường thẳng có phương trình A x y 0 B x y 0 C x y 0 D x y 1 0 P : y x Trên Parabol P lấy hai điểm A, B cho AOB 900 ( O Cho Parabol gốc toạ độ) Gọi H , K hình chiếu vng góc A, B lên trục hồnh Khi đó, giá trị Câu 6: OH OK A B C B C D d : y 2mx m cắt Câu 7: Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng P : y x hai điểm phân biệt có hồnh độ ngun? Parabol A D Trang 1/3 Câu 8: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hai phương trình x mx 0 x x m 0 có nghiệm chung Tổng phần tử S A B C D Câu 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD 4cm , đáy nhỏ đường cao đường chéo vng góc với cạnh bên Độ dài đường cao hình thang cm A cm B cm C cm D Câu 10: Cho tam giác ABC cân có A 100 Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ BC cho CBD 15 , BCD 35 Số đo ADB A 55 B 50 C 45 D 40 Câu 11: Cho khối chóp S ABCD có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp S ABCD A 2a 2a B 2a 3 C D 2a Câu 12: Cho tam giác ABC vng A , có đường cao AH 4 diện tích 20 Khi tích AB.BC.CA A 80 B 400 C 80 D 400 Câu 13: Cho tam giác ABC vng A , có AB 4cm , tia phân giác phân giác đỉnh B tam giác ABC cắt AC D E Tính độ dài DE , biết AD 2cm A 10cm B 8cm C 6cm D 9cm Câu 14: Cho hình vng ABCD , gọi M , N trung điểm BC CD , biết a a cos MAN b với a, b số nguyên dương b phân số tối giản Khi giá trị a b A 10 B C D O; R có AB 6cm, AC 25cm đường cao Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn AH 5cm Bán kính đường trịn R A 40cm B 20cm C 30cm D 15cm 2 Câu 16: Bác An có ao cá diện tích 50m để ni cá Vụ vừa bác nuôi với mật độ 20con / m thu 1,5 cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá mình, bác thấy thả giảm / m cá thành phẩm thu tăng thêm 0, 5kg Vậy vụ tới bác An phải mua để thả cá giống để đạt tổng suất cao ? (Giả sử khơng có hao hụt q trình nuôi) A 488con B 512con C 1000con D 215con B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Trang 2/3 a) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho số n 1, 2n 5n số phương x y y x 8 y x b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2018 2019 2020 c) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho a 2020 b 2021 c 2022 chia hết cho Câu (4,0 điểm) f x f 1 f x f x 1 x x 1 x 1 a) Tìm đa thức bậc bốn biết với x b) Giải phương trình x3 x x 2 x x x 1 x x y x y x y x 2 c) Giải hệ phương trình 3x y y 8 x Câu (4,0 điểm) Cho đường trịn tâm O , đường kính AB 2 R Trên tia đối tia AB lấy điểm M Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn ( C tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua B vng góc với đường thẳng MC D cắt đường thẳng AC E a) Chứng minh CE CA b) Gọi G giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC Tia CO cắt đường tròn O điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB, EF , GO đồng quy c) Chứng minh BF OG 2 R Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ 18 P 1 1 a b a b 2c biểu thức -Hết Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi không giải thích thêm./ PHÒNG GD&ĐT CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Hướng dẫn chấm có 05 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan - Mỗi câu 0,5 điểm - Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án D A B 13 A B B 10 A 14 C A C 11 C 15 D Trang 3/3 B D 12 D 16 B II Đáp án - Thang điểm phần tự luận Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Đáp án - thang điểm Nội dung Điểm Câu a) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho số n 1, 2n 5n số phương 7 x 2y y x 8 y x 1 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2018 2019 2020 c) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho a 2020 b 2021 c 2022 chia hết cho a) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho số n 1, 2n 5n số phương n 3k 1 k Nếu n 3k khơng số phương n 3k k Nếu 2n 6k Khi 2n chia dư nên khơng số phương Vậy n3 Ta có 2n số phương lẻ nên chia cho dư 1, 2n 8 n 4 n lẻ Do n số phương lẻ nên chia cho dư 1, suy n8 Do n3 n8 nên n24 2 Với n 24 ta có n 25 5 ; 2n 47 7 ;5n 121 11 Vậy n 24 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 7 x 2y Ta có a x y Đặt b y x , 7 x 2y y x 8 y x 1 3,0 điểm 1,0 điểm 0,25 0,25 0,5 1,0 điểm y x 8 y x 1 x y y x x y y x a 1 7a3 13 b a a 1 3 7a 7a 7a Khi 13 7b a a 1 a , b Do nguyên nên nguyên Do a nguyên a 13; 1;1;13 a 1; a 1 Khi x y 1 x y (loại) * Với a b 0 ta có y x 0 0,25 a 3b a 6b b 0,25 0,25 Trang 4/3 x y 1 x y x a b y 1 * Với ta có x; y 1;1 Vậy cặp số nguyên thoả mãn 2018 2019 2020 c) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho 2020 2021 2022 a b c chia hết cho Ta có a 2020 b 2021 c 2022 a 2018 b 2019 c 2020 0,25 1,0 điểm 0,5 a 2018 a 1 b 2019 b 1 c 2020 c 1 a 2017 a a 1 a 1 b 2018b b 1 b 1 c 2019c c 1 c 1 Nhận xét: Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6, có số chẵn số chia hết cho a a 1 a 1 ; b b 1 b 1 ; c c 1 c 1 Khi chia hết cho 2020 2021 2022 2018 2019 2020 a b c a b c 6 a 2020 b 2021 c 2022 6 Vậy Câu f x f 1 f x f x 1 x x 1 x 1 a) Tìm đa thức bậc bốn biết với x 0,25 0,25 x3 x x 1 2 x x x 1 x b) Giải phương trình sau x y x y x y x 2 c) Giải hệ phương trình 3x y y 8 x f x f 1 f x f x 1 x x 1 x 1 a) Tìm đa thức bậc bốn biết với x f x ax bx cx dx e a 0 Đặt Do f 1 e 1 Ta có f x f x 1 4ax 2a b x 4a 3b 2c x a b c d Mặt khác f x f x 1 x x 1 x 1 2 x 3x x 4a 2 2a b 4a 3b 2c 1 a b c d 0 f x x x3 x x 2 Vậy Phương trình 1,0 điểm 0,25 0,25 nên ta có a b 2 c d 1 b) Giải phương trình sau x ĐK: 4,0 điểm x3 x x 2 x x x 1 x 0,25 0,25 1,5 điểm 0,5 x3 x x 2 x x x 1 3x Trang 5/3 x2 x 1 x2 x x x3 x 0 x2 x x 1 x x 0 3x 1 x x x 1 1 (*) x x 1 x 1 0 3x x x2 x 1 1 x x x2 x x2 x 3x x 3x 0,25 0,25 x2 x 1 1 x 1 x x x x x Do nên x 0 x x 0 x 1 (thoả mãn) Khi đó, phương trình (*) 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x 0 x 1 x y x y x y x 2 b) Giải hệ phương trình 3x y y 8 x 2 Từ phương trình thứ hai , ta có 8 x x y y 1,5 điểm 0,25 Thế vào phương trình thứ ta x y x xy y x y x x 3x y y 0,25 x x y x xy 15 x 15 y 0 x y x x 15 0 x y x x 15 0 x y x 3 x 0,25 * Với x y thay vào phương trình thứ hai ta có x 0 (vơ nghiệm) y y y 0 y * Với x 3 thay vào phương trình thứ hai ta có 0,25 0,25 * Với x thay vào phương trình thứ hai ta có y y 119 0 (vô nghiệm) x; y 3; 1 ; 3; Vậy hệ có nghiệm Câu Cho đường trịn tâm O , đường kính AB 2 R Trên tia đối tia AB lấy điểm M Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn ( C tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua B vng góc 0,25 với đường thẳng MC D cắt đường thẳng AC E a) Chứng minh CE CA b) Gọi G giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC Tia CO cắt đường tròn đồng quy O 4,0 điểm điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB, EF , GO c) Chứng minh BF OG 2 R a) Chứng minh CE CA 1,0 điểm Trang 6/3 0,5 Ta có: OBC cân O nên OBC OCB Do CO BD vng góc với MC nên OC / / BD Ta có CBE OCB CBE ABC 0,25 Khi BC đường cao phân giác tam giác ABE ABE cận B Vậy CA CE (đpcm) b) Gọi G giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC O điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB, EF , GO Tia CO cắt đường tròn 0,25 1,5 điểm đồng quy Ta có ABE cân ABE nên BE AB CF Mặt khác, CF / / BE nên tứ giác BECF hình bình hành Vậy BC EF cắt T trung điểm BC EF 0,25 0,5 0 Ta có, tứ giác BOCG nội tiếp nên OCG OBG 180 OBG 90 nên BG tiếp tuyến O 0,25 O nên OG qua trung điểm T BC EF Khi GC ,GB tiếp tuyến Vậy ba đường thẳng CB, EF , GO đồng quy c) Chứng minh BF OG 2 R Ta có OT đường trung bình BCF BF 2OT Khi BF OG 2OT OG 2 2OT OG 2 2OC 2 2OC 2 R Dấu “=” xảy 2OT OG hay T trung điểm OG Khi BOCG hình vng nên AB / /CG (vơ lý) Vậy dấu “=” khơng xảy Do BF OG 2 R Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ 0,5 1.5 điểm 0,25 0,5 0,5 0,25 1,0 đ Trang 7/3 18 P 1 1 a b a b 2c biểu thức a b a b ab c 1 1 1 ab ab ab Ta có a b 0,25 a b 1 c ab , dấu “=” xảy a b Khi c c 1 c 1 1 1 1 c a b 1 c 1 c 0,25 2c 1 c 1 18 c 18 c 18 P 15 15 15 15 c a b c c c c c c Vậy 1 a b ; c Hay P 15 , dấu “=” xảy 1 a b ; c Vậy P 15 0,25 0,25 Trang 8/3