PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x +2009 x +2008 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: x + 2 x + 45 3x + x + 69 + = + 13 15 37 Câu 3: (2 điểm) a/ Chứng minh a + b4 ≥ ab3 + a 3b − a 2b 2 b/ Cho hai số dương a,b a=5-b a Tìm giá trị nhỏ tổng P= + b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a 2006 + b 2006 = a 2007 + b 2007 = a 2008 + b 2008 Hãy tính tổng: S= a 2009 + b 2009 b/ Chứng minh :A= + − 13 + 48 số nguyên 6+ Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD = BC AH + HC PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TOÁN Câu 1: (1 điểm) x +2009 x +2008 x +2009 = ( x + x +1) +2008( x + x +1) = ( x + x +1)( x - x +1)+ 2008( x + x +1) = ( x + x +1)( x - x +2009) 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ Câu 2: ( điểm) x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 ⇔ ( ⇔ x+2 x + 45 3x + x + 69 +1)+( -1)=( +1)+( -1) 13 15 37 x + 15 2( x + 15) + 13 15 = 3( x + 15) 4( x + 15) + 37 0,25đ 0,25đ ⇔ ( x + 15)( + − − )=0 13 15 37 0,25 đ ⇔ 0,25 đ x=-15 Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a + b4 ≥ ab3 + a 3b − a 2b 2 ⇔ a + b ≥ 2ab + 2a 3b − 2a 2b 0,25 đ ⇔ a + b − 2ab − 2a 3b + 2a 2b ≥ 0,25 đ ⇔ (a − 2a 3b + a 2b ) + (b − 2ab3 + a 2b ) 0,25 đ ⇔ ( a − ab) + (b − ab) ≥ 0,25 đ b/ (1 điểm) a b P= + = 20 a+b = ab ab 20 P= 4ab ≥ (a + b) = 0,25 đ 0,5 đ Vậy giá trị nhỏ P a=b= 0,25 đ Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) Ta có: a 2008 + b 2008 = ( a 2007 + b 2007 )(a + b) − ab(a 2006 + b 2006 ) 0,25 đ ⇔ 1= a + b − ab 0,25 đ ⇔ (1 − a )(1 − b) = 0,25 đ ⇒ a = 1, b = Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) A= + − 13 + 48 6+ 2 A= + − (2 + 1) 6+ = = + ( − 1) 6+ 0,25 đ 0,25 đ 2+ ( + )2 = 6+ 6+ 0,25 đ =1 ∈ Z 0,25 đ Câu (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 ⇒ xy-3y=2x-1 ⇒ y(x-3)=2x-1 0,25 đ Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x ≠ y=2+ x−3 0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA = ( hai tam giác CE CB CDE CAB đồng dạng) Góc C: chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,75 đ 0,25 đ b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: ∠BEC = ∠ADC có: ∠ADC = ∠EDC + ∠ADE = 1350 Suy ra: ∠BEC = 1350 0,5 đ Suy ra: ∠AEB = 450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vng có góc 45 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân E nên AM phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD = = ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED // AH ) = , mà GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 0,5 đ 0,5 đ