tranvantoancv.violet.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2016 - 2017.. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.[r]
(1)Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) 1 x 9x với x 0; x ; x x 1 4x x a) Cho biểu thức: P Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên b) Cho x 13 13 Tính giá trị biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 3x x 3 x b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5x y xy 11 Câu (2,0 điểm) a) Cho n là số tự nhiên lớn Chứng minh n 4n là hợp số b) Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z x 1 y 1 z 1 Câu (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2cm Gọi E, F thứ tự là trung 450 điểm AD, DC Gọi I, H thứ thự là giao điểm AF với BE, BD Vẽ BIM (M thuộc cạnh BC), O là giao điểm IM và BD a) Tính độ dài AI, BI b) Chứng minh điểm B, I, H, M cùng thuộc đường tròn c) Chứng minh DH.BO = OH.BD Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 1 1 10 a b c b c a -Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên Giám thị: Chữ ký: (2) Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG Câu tranvantoancv.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Đáp án x 9x a) P x 1 4x x 9x x x 1 x (2 x 1)(2 x 1) x 1 (3 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 (3 x 1) x 1 Điểm 0,25 x 1 x 1 1 x 1 Vậy P với x 0; x ; x x 1 0,25 x 3(2 x 1) 5 3 x 1 x 1 x 1 Với x Z thì: là số nguyên chẵn P Z 2P x 1 là số nguyên lẻ x 1 x 1 1;5 Xét 2P Câu (2 điểm) 0,25 1) x x (thỏa mãn ĐK) 2) x x (thỏa mãn ĐK) Vậy x 0;4 là các giá trị cần tìm Ta có: x3 13 13 x3 10 3 27 0,25 13 13 0,25 x3 10 x x3 x 10 0,25 (3) Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD x 1 x2 x 10 tranvantoancv.violet.vn 39 x vì x x 10 x , với giá trị x 2 Thay x = vào biểu thức A ta được: A = 12015 – 12016 + 2017 = 2017 0,25 0,25 a) x 3x x 3 x Đặt x = t, với t > 0, ta có t2 + 3x = (x + 3).t Từ đó giải t = x; t = Do đó: x + Với t = x, ta có x = x 2 vô nghiệm x x Câu (2 điểm) + Với t = 3, ta có x = x2 = x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 b) Ta có: 5x – 3y = 2xy – 11 2xy + 3y = 5x + 11 y(2x + 3) = 5x + 11 Dễ thấy 2x + (vì x nguyên) đó x 11 2x Để y Z ta phải có 5x + 11 2x + y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2(5 x 11) x 10 x 22 x 5(2 x 3) 7 x 7 2x 2x + là ước 0,25 Ta có 2x + -1 -7 x -1 -2 -5 y -1 Vậy cặp số (x; y) nguyên cần tìm là (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2) a) Ta có n là số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn + Với n = 2k, ta có: n n (2k ) k lớn và chia hết cho Câu Do đó n n là hợp số (2 điểm) + Với n = 2k + 1, tacó: 0,5 0,25 0,25 (4) Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn n n 4 n (2.4 ) n 2k k n 2.n 2.4k (2.4 k ) 2.n 2.4 k (n 2.4k ) (2.n.2k ) n 2.4k 2.n.2k n 2.4 k 2.n.2 k (n 2k ) 4k ( n 2k ) k Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n là hợp số Vậy n4 + 4n là hợp số với n là số tự nhiên lớn x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 y 1 z 1 z 1 z 1 1 => P = – ( ) = – Q x 1 y 1 z 1 0,25 0,25 b) Ta có: 0,25 Theo BDT Côsi , a, b, c > thì a b c 3 abc 1 1 1 1 33 a b c a b c abc a b c 1 a b c abc 1 Suy Q = x 1 y 1 z 1 9 = – Q nên P = – Q – 4 Dấu “=” xảy x = y = z = 3 Vậy GTLN P = x = y = z = A 0,25 0,25 0,25 B I Câu (3 điểm) O E M H D F C 0,25 (5) Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD a) Chứng minh ABE DAF ABE DAF BAF 900 Mà DAF 900 ABE BAF AIB 900 tranvantoancv.violet.vn Xét tam giác ABE vuông A, theo định lý Pytago có: BE AB2 AE 22 12 (cm) Lại có AI BE, đó: 0,25 AB AE 2.1 (cm) BE 5 AB 22 BI.BE = AB BI (cm) BE 5 b) Xét ABH và BIM có ABH BIM 450 (cùng phụ với BAH IBM ABI ) Suy ABH BIM (g.g) AB AH BH (1) BI BM IM Ta có HAB HFD HB AB HA 2 HD DF HF 2 2 2 (cm); AH AF (cm) BH BD 2 3 3 3 5 AH BI (cm) Từ (1) BM AB BM BH Ta có BC BD BCD (c.g.c) BMH , mà hai góc này vị trí đồng vị BCD Do đó BMH MH // CD Mà BC CD MH BC Ta có BIH và BMH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền 0,25 BH, đó điểm B, I, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính BH 0,25 AI.BE = AB.AE AI 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn 45 , đó IM là phân giác BIF 0,25 MIF c) Ta có BIM 5 Ta lại có AF BE (cm) IF AF AI (cm) 5 IF DF 0,25 Suy BA AH 10 ABH 450 Suy IDF BAH (c.g.c) DIF 0,25 Do đó ID là phân giác EIF Xét tam giác BIH có IO và ID là phân giác và ngoài OH DH IH OB DB IB 0,25 Suy DH.BO = OH.BD 1 10 Chứng minh rằng: a b c b c a Vì a + b + c = nên 1 1 1 P a b c abc 1 b c a abc a b c 0,25 Từ bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: Câu (1 điểm) abc abc abc 3 27 Đặt x abc , thì x 27 1 27 x 1 27 x 0 Do đó x 27 x 27 27 x 1 730 Suy x abc 27 x abc 27 27 1 1 1 Mặt khác a b c a b c a b c 730 1000 10 Nên P 10 27 27 0,25 0,25 3 1 10 Vậy a b c ; dấu “=” xảy a b c b c a * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng cho điểm tối đa 0,25 (7)