de hsg toan 9 cam giang 1617

tranvantoancv.violet.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2016 - 2017.. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.[r]

Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) 1  x  9x  với x  0; x  ; x      x  1  4x   x  a) Cho biểu thức: P   Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên b) Cho x   13   13 Tính giá trị biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x  3x    x  3 x  b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5x  y  xy  11 Câu (2,0 điểm) a) Cho n là số tự nhiên lớn Chứng minh n  4n là hợp số b) Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z   x 1 y 1 z 1 Câu (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh 2cm Gọi E, F thứ tự là trung   450 điểm AD, DC Gọi I, H thứ thự là giao điểm AF với BE, BD Vẽ BIM (M thuộc cạnh BC), O là giao điểm IM và BD a) Tính độ dài AI, BI b) Chứng minh điểm B, I, H, M cùng thuộc đường tròn c) Chứng minh DH.BO = OH.BD Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 1  1    10    a  b   c      b  c  a    -Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên Giám thị: Chữ ký: Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG Câu tranvantoancv.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 - 2017 MÔN: TOÁN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Đáp án  x  9x    a) P     x  1  4x   x   9x  x     x 1  x  (2 x  1)(2 x  1)  x 1 (3 x  1)  (2 x  1)(2 x  1) x  1   (3 x  1) x 1 Điểm  0,25 x 1 x 1 1 x 1 Vậy P  với x  0; x  ; x  x 1  0,25 x  3(2 x  1)  5   3 x 1 x 1 x 1 Với x  Z thì: là số nguyên chẵn P  Z  2P   x 1 là số nguyên lẻ  x 1  x  1 1;5 Xét 2P  Câu (2 điểm) 0,25 1) x    x  (thỏa mãn ĐK) 2) x    x  (thỏa mãn ĐK) Vậy x 0;4 là các giá trị cần tìm Ta có: x3    13   13  x3  10  3 27   0,25  13   13  0,25  x3  10  x  x3  x  10  0,25 Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD     x  1 x2  x  10  tranvantoancv.violet.vn 39  x  vì x  x  10   x     , với giá trị x 2  Thay x = vào biểu thức A ta được: A = 12015 – 12016 + 2017 = 2017 0,25 0,25 a) x  3x    x  3 x  Đặt x  = t, với t > 0, ta có t2 + 3x = (x + 3).t Từ đó giải t = x; t = Do đó: x  + Với t = x, ta có x  = x   2 vô nghiệm x   x Câu (2 điểm) + Với t = 3, ta có x  =  x2 =  x =  2 Vậy phương trình có nghiệm x =  2 b) Ta có: 5x – 3y = 2xy – 11  2xy + 3y = 5x + 11  y(2x + 3) = 5x + 11 Dễ thấy 2x +  (vì x nguyên) đó x  11 2x  Để y  Z ta phải có 5x + 11  2x + y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  2(5 x  11) x   10 x  22 x   5(2 x  3)  7 x   7 2x   2x + là ước 0,25 Ta có 2x + -1 -7 x -1 -2 -5 y -1 Vậy cặp số (x; y) nguyên cần tìm là (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2) a) Ta có n là số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn + Với n = 2k, ta có: n  n  (2k )  k lớn và chia hết cho Câu Do đó n  n là hợp số (2 điểm) + Với n = 2k + 1, tacó: 0,5 0,25 0,25 Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn n   n  4  n  (2.4 ) n 2k k  n  2.n 2.4k  (2.4 k )  2.n 2.4 k  (n  2.4k )  (2.n.2k )   n  2.4k  2.n.2k  n  2.4 k  2.n.2 k    (n  2k )  4k  ( n  2k )  k  Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n là hợp số Vậy n4 + 4n là hợp số với n là số tự nhiên lớn x  1 x 1 x 1 y  1 y 1 y 1 z  1 z 1 z 1 1   => P = – ( ) = – Q x 1 y 1 z 1 0,25 0,25 b) Ta có: 0,25 Theo BDT Côsi , a, b, c > thì a  b  c  3 abc  1 1 1 1    33  a  b  c     a b c abc a b c 1    a b c abc 1   Suy Q =  x 1 y 1 z 1 9 =  – Q   nên P = – Q  – 4 Dấu “=” xảy  x = y = z = 3 Vậy GTLN P = x = y = z =  A 0,25 0,25 0,25 B I Câu (3 điểm) O E M H D F C 0,25 Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD a) Chứng minh ABE  DAF  ABE  DAF      BAF  900 Mà DAF   900 ABE  BAF    AIB  900 tranvantoancv.violet.vn Xét tam giác ABE vuông A, theo định lý Pytago có: BE  AB2  AE  22  12  (cm) Lại có AI  BE, đó: 0,25 AB AE 2.1 (cm)   BE 5 AB 22 BI.BE = AB  BI  (cm)   BE 5 b) Xét ABH và BIM có   ABH  BIM  450   (cùng phụ với  BAH  IBM ABI ) Suy ABH BIM (g.g) AB AH BH (1)    BI BM IM Ta có HAB HFD HB AB HA   2  HD DF HF 2 2 2 (cm); AH  AF    (cm)  BH  BD   2  3 3 3 5  AH BI  (cm)  Từ (1)  BM  AB BM BH Ta có   BC BD BCD (c.g.c)  BMH   , mà hai góc này vị trí đồng vị  BCD Do đó BMH  MH // CD Mà BC  CD  MH  BC Ta có BIH và BMH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền 0,25 BH, đó điểm B, I, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính BH 0,25 AI.BE = AB.AE  AI  0,25 0,25 0,25 0,25 Trần Văn Toản – THCS Cẩm Vũ – Cẩm Giàng – HD tranvantoancv.violet.vn    45 , đó IM là phân giác BIF  0,25  MIF c) Ta có BIM 5  Ta lại có AF  BE  (cm)  IF  AF  AI   (cm) 5 IF DF 0,25   Suy BA AH 10   ABH  450 Suy IDF BAH (c.g.c)  DIF  0,25 Do đó ID là phân giác EIF Xét tam giác BIH có IO và ID là phân giác và ngoài  OH DH IH   OB DB IB 0,25 Suy DH.BO = OH.BD 1 10 Chứng minh rằng:  a     b     c       b  c  a   Vì a + b + c = nên   1 1 1  P   a   b   c    abc     1 b  c  a abc a b c  0,25 Từ bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: Câu (1 điểm) abc   abc  abc  3 27 Đặt x  abc , thì  x  27 1  27  x 1  27 x  0 Do đó x   27   x 27 27 x 1 730 Suy x   abc   27   x abc 27 27 1 1 1 Mặt khác  a  b  c           a b c a b c 730 1000  10  Nên P   10    27 27   0,25 0,25 3 1 10 Vậy  a     b     c      ; dấu “=” xảy a  b  c   b  c  a   * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng cho điểm tối đa 0,25