Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng đó có ít nhất 3 đường thẳng đồng quy.. --- Giám thị không giải thích gì thêm.[r]
(1)Phòng GD- ĐT Tam Dương
Trường THCS Tam Dương
-o0o -ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN Mơn: Tốn 9
Thời gian làm bài: 120 phút -Bài 1: 2,5 điểm
a/ Rót gän biĨu thøc:
3
2
2
2 x x x
A
4 x
víi 2 x
b/ Cho tríc sè h÷u tØ m cho 3
m số vơ tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: 3
a m b m c 0.
Bài 2: đ iểm
Tìm số tự nhiên m, biết bỏ chữ số tận bên phải một số có giá trị 3
m.
Bài 3: 2,5 đ iểm
Cho ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AH, BI, CK Chứng minh rằng:
a/ SABC = 2
1 AB.AC.SinA
b/ SHIK = ( 1- cos2A - cos2B - cos2C).SABC Bài 4: 1,5 đ iểm
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác khơng có góc tù x, y, z số bất
kì Chứng minh rằng: 2
c 2 b 2 a
2 2z 2 2y 2 2x 2 c
2 z 2 b
2 y 2 a
2 x
Bài 5: 1,5 đ iểm
Cho hình vng đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích
3 2
Chứng minh số đường thẳng đó có đường thẳng đồng quy.
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO S T Á ĐỘI TUYỂN TO N 9
-Câu Phần Nội dung trình bày Điểm
Câu 1 2,5 điểm
1) 1,5điểm
Đặt a 2x; b 2 x (a, b 0)
2 2
a b 4; a b 2x
0.25
3 2
2 ab a b ab a b a b ab A
4 ab ab
0.25
2 ab a b ab
A ab a b
4 ab
0.25
A 2ab a b
0.25
2
A a b 2ab a b a b a b
0.25
2
A a b 2x A x
0.25
2) 1,0®iĨm
3
a m b m c (1) Gi¶ sư cã (1)
3
b m c m am (2)
Tõ (1), (2)
(b ac) m (a m bc)
0.25
NÕu
a m bc0
2
2
a m bc m
b ac
số hữu tỉ Trái với gi¶ thiÕt!
2
2
b ac b abc
a m bc bc am
0.25
3 3
b a m b a m
NÕu b0 th×3 m b
a
số hữu tỉ Trái với giả thiết! a 0;b
Từ ta tìm đợc c = 0.25
Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c =
0.25
C©u 2
2đ
Dễ thấy số cần tìm có từ chữ số trở lên Giả sử sau bỏ chữ số tận
abc số m ta số x, m = 103x + abc
0,5 Theo ta có: x = 1000x abc
x3 = 1000x + abc x(x2 – 1000) = abc (*) 0,25
- Nếu x ≥ 33 VT (*) lớn 33 Vậy x < 33 0,25 - Nếu x 31 x2 96, nên x(x2 – 1000) < < abc 0,25
Vậy x = 32 suy abc= 768 0,25
Từ đây: m = 103 32 + 768 = 32768 Số thoả mãn yêu cầu đề bài
0,5
Câu 3 2.5đ
a)
1 điểm - Vẽ hình xác, viết GT, KT - Ta có SABC = BI.AC
2
Trong tam giác vng ABI sinA = BI AB A AB
BI
sin
(3)Câu 4 1,5đ
Câu 5 1.5đ
b) 1,5điểm
Vậy: SABC = BI.AC
2
= AB.AC.sin A
2
b) Ta có
AC AK AB
AI S
S
ABC
AIK .
cos2 A S
AIK = SABC.cos2A
Chứng minh tương tự: SBKH = SABC.cos2B; SCIH = SABC.cos2C
Mà SHIK = SABC – ( SAIK + SBKH + SCIH)
= ( 1- cos2A - cos2B - cos2C).S ABC
Với a2 + b2 + c2 > ta có: (a2 + b2 + c2)(
2 2 2
c z b y a x
) =
= x2 (2 +
2 2
a a c b
) + y2 (2 +
2 2
b b c a
) + z2 (2 +
2 2
c c b a
) = 2x2 +2y2 +2z2 +x2 (
2 2
a a c b
) + y2 (
2 2
b b c a
) + z2 (
2 2
c c b a
) (*) Giả sử a b c c2 – a2 ≥ c2 – b2 ≥0
Với c cạnh lớn mà góc ACB nhọn tù, nên ta kẻ đường cao BH, c2 = BH2 + HA2 BC2 + CA2 = a2 + b2
Từ BĐT suy biểu thức cuối (*) không âm, từ có ĐPCM Mỗi đường thẳng chia hình vng thành tứ giác phải cắt hai cạnh đối hình vng Gọi M, E, N, F trung điểm cạnh AB, CB, CD, DA
Giả sử đường thẳng d cắt cạnh BC P, cắt cạnh AD Q cắt MN O1 thoả mãn điều kiện 3
2
CDQP
ABPQ
S S
Khi đó:
3 2
: ) (
2 : ) (
1
N O MO CD
CP DQ
AB AQ AP Suy ra:
5
1
MN MO
Vậy d qua điểm O1 cố định
Tương tự ta chứng minh được: O2; O3; O4 điểm cố định
Vì có điểm mà có đường thẳng qua chúng nên theo ngun tắc Đirichle phải có số đường thẳng qua điểm cố định
O1
M N
F
E C
B
A D
P
Q
O3 O2 O4
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5
0.5