De thi Toan 9 Danh cho HS chuyen Toan

Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q... Chứng minh KB = KD.[r]

Đề tự luyện lần thứ 4

Môn: Toán ( Tam Đảo) Cõu 1 (2,5 im)

1) Cho 1 312 135 312 135

3 3

x      

 

 

.

2) Tính giá trị biểu thức: M = (9x3 – 9x2 – )2011 .

2) Cho trước a b R,  ; gọi x y, là hai số thực thỏa mãn x y a b3 3 3 3

x y a b

  

 

  

 Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011 b2011

   .

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Tìm số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện: x2 y2 5x y2 60 37xy

    .

2) Giải hệ phương trình:

 

3

4

2 1 5 2 0

x x x y y

x x y

   

 

    

 

Cõu 3: ( 2,5 điểm) ( Trích đề thi chun Tốn – Vĩnh Phúc 2009-2010)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M trung điểm của BD, AC Đường thẳng qua K vng góc với AD cắt đường thẳng qua M vng góc với BC Q Chứng minh:

a) KM // AB. b) QD = QC. Câu 4: ( ®iĨm)

1/ Cho số dương a; b; c Chứng minh a b c 1 1 9 a b c

 

     

 

2/ Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming : 2 12 2 2009 670

a b c ab bc ca Hết

Đáp ¸n:

1 Cho 1 312 135 12 135

3 3

x      

 

 

.Tính M= - - 3 x3 x2 2. 1,00

Từ 1 1 312 135 312 135

3 3 3

x      

 

 

3 1 12 135 12 135

3 3

x    

   

 

 

 

3 3 12 135 3 12 135

3 1

3 3

x    

   

 

 

3x 13 8 3 x 1

    

3

9x 9x 2 0

     M   12 1

0,25 0,25 0,25 0,25

2 Cho trước a b R,  ; gọi x,y hai số thực thỏa mãn

3 3 3( )

x y a b I x y a b

  

 

  



.Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011b2011

1,00

 3    3  

( )

3 3

x y a b I

x y xy x y a b ab a b   

   

      

 

(1) (*)

( ) ( ) (2)

x y a b

xy a b ab a b   

  

  



+/Nếu a b 0 (*) x y a b

xy ab    

  

=> x, y nghiệm phương trình X2  (a b X ) ab0

Giải ta có x b; x a

y a y b

 

 

 

 

 

=> x2011 y2011a2011b2011 +/Nếu a b 0 => a b.Ta có hệ phương trình 3 3 0

0

x y

x y x y

  

  

 



=>

2011 2011

2011 2011

0 0

a b

x y

  

 

 

 

=>x2011y2011 a2011b2011

0,25

0,25 0,25

0,25 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 y2 5x y2 60 37xy

    (1) 1,00

 2 2  2    

(1) x y 5x y 35xy 60 x y 5 xy 3 4 xy .

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0

   

5 xy- 4 xy 0 3 xy 4

     

Do x y Z,  =>xy Z => 3

4

xy xy

 

 



.+/

 2

3

3 0

xy x y

x x y



  





 



 

 



(vô nghiệm Z)

0,25

0,25

0,25

+/

 2

4 2

2 4

0

xy x y x y

x y x

x y 

     



 

    



  

 



.Vậy 2

2

x y x y

  

   

giá trị cần tìm 0,25

2 Giải hệ phương trình:

 

3

4

(1)

2 1 5 2 (2)

x x x y y

x x y

   

 

    

 

1,00

Điều kiện :y0

(1)   1 0

1

x y x y x

x

 

     

 

+/Nếu x1 thay vào phương trình (2) ta có : y  1 0  y1 +/Nếu x y 0

Khi (2) 2x4 1  4 x  2 0 (3)

do 2x4 1 2.2 x4.1 4 x2 2x4 1 2 x 2x nên VT(3) 2( - 2 x x 1) 2  x  12 0.Do Pt (3)

4 1

1 1

1 0

x

x y

x

 



     

  



.Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1

1 1

x x

y y

 

 

 

 

 

0,25 0,25

0,25 0,25 K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KD 1,00

Nội dung trình bày Điểm

Gọi I trung điểm AB,

,

E IK CD R IM CD Xét hai tam giác

KIB KED có: ABD BDC

0,25 KB = KD (K trung điểm BD) 0,25

 

IKB EKD 0,25

Suy KIBKED IK KE 0,25 Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25

Suy ra: MI = MR 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE MI = MR

nên KM đường trung bình  KM // CD 0,25 Do CD // AB (gt) KM // AB (đpcm) 0,25

b) 1,0 i m:đ ể

Nội dung trình bày Điểm

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK đường trung bình ABD  IK//AD hay IE//AD

chứng minh tương tự ABC có IM//BC hay IR//BC 0,25

Có: QK AD(gt), IE//AD (CM trên)  QKIE Tương tự có QM IR 0,25 Từ có: IK=KE, QK IE QK là trung trực ứng với cạnh IE IER Tương tự QM là

trung trực thứ hai IER 0,25

Hạ QH CD suy QH trung trực thứ ba IER hay Q nằm trung trực đoạn CD

 Q cách C D hay QD=QC (đpcm). 0,25

Phan S¬n – Trêng THCS Tam D¬ng

A I B

K

M

D E H R C