Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số... ∞.[r]
(1)GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa:
1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng 𝐾 chứa điểm 𝑥 Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) xác định 𝐾 (có thể trừ điểm 𝑥 ) có giới hạn 𝐿 x dần tới 𝑥 với dãy số (𝑥 ) bất kì, 𝑥 ∈ 𝐾\{𝑥 } và𝑥 → 𝑥 , ta có:𝑓(𝑥 ) → 𝐿 Ta kí hiệu:
𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿hay 𝑓(𝑥) → 𝐿 khi𝑥 → 𝑥
1.2.Giới hạn bên:
* Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên(𝑥 ; 𝑏) Số 𝐿 gọi giới hạn bên phải hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 dần tới 𝑥 với dãy (𝑥 ): 𝑥 < 𝑥 < 𝑏 mà 𝑥 → 𝑥 ta có:𝑓(𝑥 ) → 𝐿 Kí hiệu:𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
* Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên(𝑎; 𝑥 ).Số 𝐿 gọi giới hạn bên trái hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 dần tới 𝑥 với dãy (𝑥 ): 𝑎 < 𝑥 < 𝑥 mà 𝑥 → 𝑥 ta có:𝑓(𝑥 ) → 𝐿 Kí hiệu:𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
Chú ý: 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ 𝑙𝑖𝑚→ 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
1.3 Giới hạn vơ cực
* Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định (𝑎; +∞) có giới hạn 𝐿 𝑥 → +∞ với dãy số (𝑥 ): 𝑥 > 𝑎 𝑥 → +∞ 𝑓(𝑥 ) → 𝐿 Kí hiệu: 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
* Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định (−∞; 𝑏) có giới hạn 𝐿 𝑥 → −∞ với dãy số (𝑥 ): 𝑥 < 𝑏 𝑥 → −∞ thì𝑓(𝑥 ) → 𝐿 Kí hiệu: 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn dần tới dương vô cực 𝑥 dần tới 𝑥 với dãy số (𝑥 ): 𝑥 → 𝑥 thì𝑓(𝑥 ) → +∞ Kí hiệu:𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = +∞
* Tương tự ta có định nghĩa giới hạn dần âm vô cực * Ta có định nghĩa ta thay 𝑥 −∞ hoặc+∞ Các định lí giới hạn
Định lí 1: Gới hạn tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về𝐿 ≠ 0) 𝑥 → 𝑥 (hay𝑥 → +∞; 𝑥 → −∞ ) tổng, hiệu, tích, thương giới hạn 𝑥 → 𝑥 (hay𝑥 → +∞; 𝑥 → −∞)
Chú ý: Định lí ta áp dụng cho hàm số có giới hạn hữu hạn Ta không áp dụng cho giới hạn dần vơ cực
Định lí 2: (Ngun lí kẹp)
Cho ba hàm số 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) xác định 𝐾chứa điểm 𝑥 (có thể hàm khơng xác định 𝑥 ) Nếu 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐾và 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑔(𝑥) =
𝑙𝑖𝑚
→ ℎ(𝑥) = 𝐿 thì𝑙𝑖𝑚→ 𝑓(𝑥) = 𝐿
3 Một số gới hạn đặc biệt * 𝑙𝑖𝑚
→ ( → )
𝑥 = +∞ ; 𝑙𝑖𝑚
→ ( → )
(2)* 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = +∞ (−∞) ⇔ 𝑙𝑖𝑚→ ( ) = (𝑘 ≠ 0)
BÀI TỐN 03: TÌM 𝑩 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→± 𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙), TRONG ĐÓ 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) → ∞, DẠNG
NÀY TA CỊN GỌI LÀ DẠNG VƠ ĐỊNH
Phương pháp: Tương tự cách khử dạng vô định dãy số Ta cần tìm cách đưa giới hạn:
* 𝑙𝑖𝑚
→ ( → )
𝑥 = +∞ ; 𝑙𝑖𝑚
→ ( → )
𝑥 = +∞ (−∞) * 𝑙𝑖𝑚
→ ( → )
= (𝑛 > 0; 𝑘 ≠ 0) *𝑙𝑖𝑚
→ 𝑓(𝑥) = +∞ (−∞) ⇔ 𝑙𝑖𝑚→ ( ) = (𝑘 ≠ 0)
Các ví dụ
Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1.𝑨 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→
(𝟒𝒙 𝟏)𝟑(𝟐𝒙 𝟏)𝟒
(𝟑 𝟐𝒙)𝟕 2.𝑩 = 𝒍𝒊𝒎𝒙→
𝟒𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟒 𝟑𝒙
𝒙𝟐 𝒙 𝟏 𝒙 Lời giải:
1 Ta có: 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ =
2 Ta có: 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ =
Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1.𝑨 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→
𝟐𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟐 𝟏
𝟐𝒙 𝟐 2.𝑩 = 𝒍𝒊𝒎𝒙→
𝟑𝒙𝟐 𝟐 √𝒙 𝟏
𝒙𝟐 𝟏 𝟏 Lời giải:
1 Ta có:𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→
| | | |
( ) = 𝑙𝑖𝑚→ =
√
2 Ta có: 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→
| | | | | | | |
= 𝑙𝑖𝑚
→
| |
= √3 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài Tìm giới hạn 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚
→
√
√ :
A.+∞ B.−∞ C.𝟐 √𝟑
𝟔 D
Bài Tìm giới hạn 𝐷 = 𝑙𝑖𝑚
→ √
√ :
A.+∞ B.−∞ C.𝟒
(3)Bài Tìm giới hạn 𝐸 = 𝑙𝑖𝑚
→ (√𝑥 − 𝑥 + − 𝑥) :
A.+∞ B.−∞
Bài Tìm giới hạn 𝐹 = 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑥(√4𝑥 + − 𝑥) :
A.+∞ B.−∞ C.𝟒
𝟑 D
Bài Tìm giới hạn 𝑀 = 𝑙𝑖𝑚
→± (√𝑥 + 3𝑥 + − √𝑥 − 𝑥 + 1) :
A.+∞ B.−∞ C.𝟒
𝟑 D Đáp án khác
BÀI TỰ LUẬN
Bài Tìm giới hạn 𝑁 = 𝑙𝑖𝑚
→ √8𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥
Bài Tìm giới hạn 𝐻 = 𝑙𝑖𝑚
→ √16𝑥 + 3𝑥 + − √4𝑥 +
BÀI TOÁN 04: DẠNG VÔ ĐỊNH: ∞ − ∞ VÀ 𝟎 ∞
Phương pháp:
Những dạng vô định ta tìm cách biến đổi đưa dạng Các ví dụ
Ví dụ Tìm giới hạn sau:𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ (√𝑥 − 3𝑥 + √𝑥 − 2𝑥)
Lời giải
Ta có: √𝑥 − 3𝑥 + √𝑥 − 2𝑥 = (√𝑥 − 3𝑥 − 𝑥) + (√𝑥 − 2𝑥 + 𝑥) =
( ) √ +√
⇒ 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ ( ) + 𝑙𝑖𝑚→ =
Ví dụ Tìm giới hạn sau: 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑥(√𝑥 + 2𝑥 − 2√𝑥 + 𝑥 + 𝑥)
Lời giải: Ta có: √𝑥 + 2𝑥 − 2√𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = √
√ √
= 2𝑥 √
√ √
=
(√ √ )(√ )
⇒ 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ (√ √ )(√ )
𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ ( )( )= −
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ √𝑥 − 𝑥 + − 𝑥 :
A.+∞ B.−∞ C.−𝟏
(4)Bài Tìm giới hạn 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ 2𝑥 + √4𝑥 − 𝑥 + :
A.+∞ B.−∞ C.𝟏
𝟒 D
Bài Tìm giới hạn 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚
→ [ (𝑥 + 𝑎 )(𝑥 + 𝑎 ) (𝑥 + 𝑎 ) − 𝑥] :
A.+∞ B.−∞ C D
Bài Tìm giới hạn 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ (√𝑥 − 𝑥 + − 𝑥) :
A.+∞ B.−∞ C.−𝟏
𝟐 D
Bài Tìm giới hạn 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑥(√4𝑥 + − 𝑥) :
A.+∞ B.−∞ C.𝟏
𝟒 D
BÀI TỰ LUẬN
Bài Tìm giới hạn 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚
→± (√𝑥 − 𝑥 + − √𝑥 + 𝑥 + 1)
Bài Tìm giới hạn 𝐷 = 𝑙𝑖𝑚
→ (√8𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥)
BÀI TOÁN 05: DẠNG VÔ ĐỊNH CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau:
𝑙𝑖𝑚
→ = 𝑙𝑖𝑚→ = 1, từ suy ra𝑙𝑖𝑚→ = 𝑙𝑖𝑚→ =
• Nếu 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑢(𝑥) = ⇒ 𝑙𝑖𝑚→
( )
( ) = và𝑙𝑖𝑚→
( ) ( ) =
Các ví dụ
Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1.𝑨 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎
√𝒄𝒐𝒔 𝒙 √𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝑩 = 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎
√𝟏 𝟐𝒙 √𝟏 𝟑𝒙𝟑 𝟏 √𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
Lời giải: Ta có: 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ √
+ 𝑙𝑖𝑚
→ √
Mà: 𝑙𝑖𝑚
→ √
= 𝑙𝑖𝑚
→ √ = −
𝑙𝑖𝑚
→
1 − √𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚→
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
1
√𝑐𝑜𝑠 𝑥 + √𝑐𝑜𝑠 𝑥 + = Do đó: 𝐴 = − + = −
2 Ta có: 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→
√ √ √ Mà: 𝑙𝑖𝑚
→
√ √
= 𝑙𝑖𝑚
→
√ ( )
+ 𝑙𝑖𝑚
→
( ) √
= 𝑙𝑖𝑚
→
−1
√1 + 2𝑥 + 𝑥 + 1+ 𝑙𝑖𝑚→
𝑥 +
(5)= − + = 𝑙𝑖𝑚
→
1 − √𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥 = 𝑙𝑖𝑚→
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
1
1 + √𝑐𝑜𝑠 𝑥 = Vậy 𝐵 =
Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1.𝑨 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟎𝒙
𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟏
𝒙𝟐 𝑩 = 𝒍𝒊𝒎𝒙→ (𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 +
𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) √𝒙 + 𝟏 − √𝒙
Lời giải: Ta có: ≤ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ≤ 𝑥
Mà 𝑙𝑖𝑚
→ 𝑥 = ⇒ 𝑙𝑖𝑚→ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 = ⇒ 𝑙𝑖𝑚→ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 =
Vậy 𝐴 =
2 Ta có: 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ √ √
Mà: ≤
√ √ ≤√ √ → 𝑥 → +∞
Do đó: 𝐵 =
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ :
A.+∞ B.−∞ C.𝒂
𝟐 D
Bài Tìm giới hạn 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ :
A.+∞ B.−∞ C.𝒎
𝒏 D
Bài Tìm giới hạn 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→
:
A.+∞ B.−∞ C.3 D
Bài Tìm giới hạn 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚
→ :
A.+∞ B.−∞ C.1 D
Bài Tìm giới hạn 𝐵 = 𝑙𝑖𝑚
→ ( ) :
A.+∞ B.−∞ C.𝟓
𝟐 D
BÀI TỰ LUẬN
Bài Tìm giới hạn 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚
→ √ :
Bài Tìm giới hạn 𝐷 = 𝑙𝑖𝑚