DE THI TOAN CHUYEN VAO THPT

Cho phÐp mçi lÇn ®æi mÆt ®ång thêi 5 ®ång tiÒn liªn tiÕp c¹nh nhau.[r]

Đề thi vào 10 chuyên năm 1989-1990 Hµ Néi

Bµi XÐt biĨu thøc





2 1

1

1 1 :4

x x

A

x x x x x



   

    

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị x để A = -1/2

Bài Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đờng lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính qng đờng AB

Bµi Cho hình vuông ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI G

a) Chứng minh AE = AF

b) Chøng minh r»ng tø gi¸c EGFK hình thoi

c) Chng minh rng hai tam giác AKF , CAF đồng dạng AF2 = KF.CF.

d) Giả sử E chạy cạnh BC Chứng minh EK = BE + điều kiện chu vi

 ECK không đổi

Bài Tìm giá trị x để biểu thức

2 1989

x x

y

x

 



đạt giá trị nhỏ tìm giá trị

§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (1)

Bài Tìm n nguyên dơng thỏa mÃn :

1 1 1 2000

1 1

2( 1 3. )( 2 4. )( 3 5. ) ( n n( 2))2001

Bµi Cho biÓu thøc

4 4

16

x x x x

A

x x

    



 

a) Với giá trị x A xác định b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ

c) Tìm giá trị nguyên x để A nguyên

Bài Cho  ABC cạnh a Điểm Q di động AC, điểm P di động tia đối tia CB cho AQ BP = a2 Đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BQ M

a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đờng trịn b) Tìm giá trị lớn MA + MC theo a

Bµi Cho a, b, c > Chøng minh r»ng

a b c a b c

b a c b a c      b c  c a  a b

Bµi Chøng minh r»ng sin750 =

6

4



§Ị thi tun sinh vào lớp 10 chuyên năm học 2000-2001 (2)

Bài Cho biÓu thøc

1 1

1 1 1

(x x ) : ( x )

P

x x x x x

 

   

     .

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P < với giá trị x

Bài Chứng minh phơng trình : x2 6x 1 cã hai nghiÖm x1 = 2 vµ x2 = 2

Bài Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng trịn ( M khơng trùng với A, B) Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB Đờng trịn (E) cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a) Chứng minh ba điểm C, E, D thẳng hµng

b) Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định K tích KM.KN khơng đổi

c) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt P Q Xác định vị trí M để diện tích  NPQ đạt giá trị lớn chứng tỏ chu vi 

NPQ đại giá trị nhỏ d) Tìm quỹ tích điểm E

§Ị thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001

Đại học khoa học tự nhiên

Bài a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tÝnh chÊt f(x) nhận giá trị nguyên x

số nguyên hỏi hệ số a, b, c có thiết phải số nguyên hay không ? T¹i ?

b) Tìm số ngun khơng âm x, y thỏa mãn đẳng thức :

2 1

x y  y

Bµi Giải phơng trình x x2 5x14

Bài Cho số thực a, b, x, y tháa m·n hÖ :

2 3 4

3 17 ax by

ax by

ax by

ax by

 



  

  



 



TÝnh giá trị biểu thức A ax 5by5và B ax 2001by2001

Bài Cho đoạn thẳng Ab có trung điểm O Gọi d, d’ đờng thẳng vng góc với AB tơng ứng A, B Một góc vng đỉnh O có cạnh cắt d M, cạnh cắt d’ N kẻ OH  MN Vòng tròn ngoại tiếp  MHB cắt d điểm thứ hai E khác M MB cắt NA I, đờng thẳng HI cắt EB K Chứng minh K nằm đờng trịn cố đinh góc vng uqay quanh đỉnh O

Bài Cho 2001 đồng tiền, đồng tiền đợc sơn mặt màu đỏ mặt màu xanh Xếp 2001 đồng tiền theo vịng trịn cho tất đồng tiền có mặt xanh ngửa lên phía Cho phép lần đổi mặt đồng thời đồng tiền liên tiếp cạnh Hỏi với cánh làm nh sau số hữu hạn lần ta làm cho tất đồng tiền có mặt đỏ ngửa lên phía đợc hay khơng ? Tại ?

§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

Toán Tin năm 2003-2004 Đại học s phạm HN

Bài Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phơ théc vµo x

3

4

2 5

. .

x

A x

x

  

 

  

Bài Với số nguyên dơng n, đặt Pn = 1.2.3….n Chứng minh

a) + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1

b)

1

1

n

n

P P P P



    

Bµi XÐt phơng trình ẩn x : (2x2 4x a 5)(x2 2x a x )( a 1)0 a) Giải phơng tr×nh øng víi a = -1

b) Tìm a để phơng trình có ba nghiệm phân biệt

Bài Qua điểm M tùy ý cho đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC BD Các đờng thẳng song song cắt hai cạnh BC AD lần lợt E F Đoạn EF cắt AC BD I J t-ơng ứng

a) Chøng minh r»ng nÕu H trung điểm IJ H trung ®iĨm cđa EF b) Trong trêng hỵp AB = 2CD, hÃy vị trí điểm M AB cho EJ = JI = IF

§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán Tin năm 2004 Đại học s phạm HN

Bi Cho x, y, z ba số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

1 1

P

x y z

Bài Tìm tất ba số dơng thỏa mÃn hệ phơng trình : 2004 6

2004 6 2004 6

2

x y z

y z x

z x y

  



 





Bài Giải phơng trình :

2 3

3

1 2 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x x x

x

     

   

      .

Bài Mỗi ba số nguyên dơng (x,y,z) thỏa mãn phơng trình x2+y2+z2=3xyz c gi

là nghiệm nguyên dơng phơng trình

a) Hóy ch nghim nguyên dơng khác phơng trình cho b) Chứng minh phơng trình cho có vơ số nghiệm nguyên dơng

Bài Cho  ABC nội tiếp đờng tròn (O) Một đờng thẳng d thay đổi qua A cắt tiếp tuyến B C đờng tròn (O) tơng ứng M N Giả sử d cắt lại đờng tròn (O) E (khác A), MC cắt BN F Chứng minh :

a)  ACN đồng dạng với  MBA  MBC đồng dạng với  BCN b) tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp