De HSG Toan 820162017 94

Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của.. Câu 4 7điểm Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu1(5điểm) a)Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  3x  ax  b chia hết cho đa thức B( x) x  3x  b)Cho đa thức Q ( x  3)( x  5)( x  7)( x  9)  2014 Tìm số dư phép chia đa thức Q cho đa thức x  12 x  32 Câu2 (2điểm) 1   Chứng minh bất đẳng thức: a b a  b Với a; b là các số dương Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ M  xy x  y với x; y dương và x  y 1 Câu (6 điểm) 1 1    Giải phương trình : a) x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) x   x   x  4 Câu (7điểm) Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC D và E Chứng minh : BC a) BD.CE = b) DM,EM là tia phân giác các góc BDE và CED Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG HƯỚNG DẤN CHẤM OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn: Toán Câu1 (5điểm) a)(3điểm) Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + (2điểm) Để A( x)B( x) thì  a  30 b  0   a 3 b  (1điểm) b)(2điểm) Ta có (0,5điểm) Q ( x  12 x  27)( x  12 x  35)  2014 Đặt t x 12 x  32 ta có Q (t  5)(t  3)  2014 (0,5điểm) Lập luận để tìm số dư: chính là số dư phép chia : Q (t  5)(t  3)  2014 t  2t  1999 cho t  dư 1999 (1điểm) Câu 2:(mỗi ý điểm) 2 2 Ta có: a  b 2ab với a,b  a  b  2ab 4ab  ( a  b) 4ab (1) (0,5điểm) a b 1    Vì a,b dương  a  b  0; a.b  nên từ (1) suy ra: a.b a  b hay a b a  b Dấu “=” xẩy  a = b (0,5điểm) M 3 (  ) xy xy x  y 2 Do x; y dương và x + y =1  = ( x  y ) 4 xy ( suy từ (x – y)2 0) 1  xy   2 2 xy Dấu “=” xẩy  x = y = (1) 3 4  ) 3  3  12 2 2 xy x  y xy  x  y ( x  y ) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: (2) ( (0,5điểm) Dấu “=” xẩy  xy  x  y  x  y  Vậy từ (1) và (2) ta có : M 2  12 14 Giá trị nhỏ MinM = 14 đạt x = y = (0,5điểm) Câu : (2điểm) a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5); x2+11x+30 =(x+6)(x+5); x2+13x+42 =(x+6)(x+7); ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  (0,5điểm) Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1   x  x  18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Vậy x=-13; x=2 (0,5điểm) x   x   x  4 b) (II) + Nếu x <1 ta có (II)  - 2x + =  x =1 (loại) + Nếu x<2 ta có (II)  0.x +4 = Phương trình nghiệm đúng với x<2 +Nếu x<3 ta có (II)  - 4x = -  x = ( thỏa mãn) y + Nếu x ta có (II)  2x = 10  x = ( Athỏa mãn) Vậy nghiệm (II) là x =5 1x x 2 E (0,5điểm) D B 2 M C (0,5điểm) Câu (7 điểm) (0,5điểm) a) ˆ ˆ Trong tam giác BDM ta có: D1 120  M Vì M̂ =600 nên : Mˆ 120  Mˆ ˆ ˆ Suy D1  M (0,5điểm) Chứng minh BMD  CEM (1) BD CM  Suy BM CE hay BD.CE=BM.CM BC BC Vì BM=CM= nên BD.CE= b) Từ (1) suy nên (1 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) BD MD  CM EM mà BM=CM BD MD  BM EM (0,5 điểm) Chứng minh BMD  MED (c.g.c) (1 điểm) ˆ ˆ suy D1  D2 , đó DM là tia phân giác góc BDE (0,5 điểm) Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác góc CED (1 điểm)