Sở GD&ĐT Nghệ An.Trờng THPT Diễn Châu 2.. Môn Toán Lớp 10- Chơng trình cơ bản.. Tìm điểm Eẻ Oy để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?. 0,5
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 – 2008. 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chơng trình cơ bản.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 a,(4,25 điểm) Giải phơng trình: x2- x2+ x=- - x
b, (2,5 điểm) Tìm a để phơng trình:
(x2- x+ ) x- a2 =
4 3 0 , có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phơng trình (1)
(2)
x my m
mx y
ùù
ớù - = ùợ
a, Tìm m để hệ phơng trình đã cho có nghiệmduy nhất.
b, Trong trờng hợp hệ phơng trình có nghiệm duy nhất,
hãy tìm m để y >- 3
Câu 3 a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3)
Tìm điểm Eẻ Oy để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.
b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình
x2 - y+ =2 0 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đờng thẳng
(d) sao cho độ dài vectơ AM BMuuur uuur+ có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0
Chứng minh rằng: a b b c c a
2 2 2 6 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- ch ơng trình cơ bản.(gồm có 02 trang)
điểm
a Đk: x2+ x³ (0,25đ)Û x³ hoặc xÊ
Pt đã cho tơng đơng với (x2+ x)- x2+ x+ =
Đặt t= x2+2x t, ³ 0 (0,25đ) Ta có phơng trình: t2- t+ =
2 3 1 0 (1).(0,25đ)
4.25đ
Trang 2Pt (1) Û =t 1 hoặc t=1
2 (thỏa mãn đk t³ 0 ).(0,5đ) Với t=1ta có phơng trình: x2+ x=
2 1Û x2+ x= Û x2+ x- =
x
Û =- ±1 2 (0,5đ)
Với t=1
2 ta có phơng trình: x2+ x =1
2
2 Û x2+ x= Û1 x2+ x- 1=
(0,5đ)
x
Û =- ±1 5
2 (0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
x=- ±1 2 (0,25đ) và x=- ±1 5
2 (0,25đ).
b Đk: x a- 2³ Û x³ a2
Pt đã cho tơng đơng với x x (0,5đ) x hoặc x
x a
x a
ở
2
2 2
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Û a2 <1 (0,5đ)Û - < <1 a 1
Vậy với -1< a < 1 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5đ
Câu 2
a
Th1: Nếu m = 0, thay vào hệ ta đợc
x x
ỡ = ù
3 3
5
3 (0,5đ)
Vậy khi m = 0, hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
x y
ỡ = ùù ùớ
ù =-ùùợ
3 5 3 (0,25đ)
Th2: Nếu mạ 0 , hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất Û m
m
-ạ
-1
3 (0,5đ)
Û m2ạ Û mạ ±
Vậy mạ ± 3 (0,25đ)
2.0 đ
b Hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất Û mạ ± 3 (0,5đ)
Từ (1) ta có: x=3m+ +3 my, (0,25đ)
thay vào (2) ta có,
m 3m+ +3 my - 3y=5 Û (m2- )y=- m2- m+
y
m
=
-2 2
3 (vì mạ ± 3 ) (0,5đ)
y>- Û3 m m
m
>
-2 2
3
m
-2 2
3 0
m
->
-2
4 3
0 3 (0,5đ)
Û mẻ - Ơ -( ; 3)ẩ -( 4; 3)
3
(0,75đ)
Vậy: mẻ - Ơ -( ; 3)ẩ -( 4; 3)
3 (0,25đ)
3.0đ
Câu 3
a Eẻ Oy nên E có tọa độ (0; y) (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE Û ABuur và ECuuur
cùng phơng
(0,5đ)
Ta có: ABuur
(1; -2), ECuuur
(-2; 3 – 2008.y) (0,5đ)
2,5đ
Trang 3uur
và ECuuur
cùng phơngÛ - = - y
1 2 (0,5đ)
Û y=- 1 (0,25đ) Vậy E(0; -1) (0,25đ)
b M x( 0;y0)ẻ ( )d Û 2x0- y0+ =2 0 (0,25đ) Û y0=2x0+2 (0,25đ)
Vậy M(x0;2x0+2 (0,25đ))
Ta có: uuurAM x( 0- 4 2; x0- 4)
(0,25đ) ,
BM x0 2x0- 2
uuur
(0,25đ)
ị uuur uuur+ = 2 0- 4 4 0- 6
.(0,25đ)
AM+BM = x - 2+ x - 2
uuur uuur
(0,25đ)
= x 2- x +
20 64 52 (0,25đ)
(x )
0
20
(0,5đ) Dấu = xảy ra khi “=” xảy ra khi ” xảy ra khi x0 =8
5 ,
khi đó y0=26
5 (0,5đ) Vậy min
,
AM+BM = 2
5
uuur uuur
tại M( ; 8 26)
5 5 .(0,5đ)
3.5đ
Câu 4
Ta có: a b b c c a (a b ) (a c ) (b c )
Do a b c, , khác 0 nên a b c2, 2, 2 là các số dơng áp dụng bất đẳng thức
cauchy ta có: a b
b2 2 +a2 2 a b
b a
³ 2 2 2 2 2 =2 , (0,5đ) a c
c2 2 +a2 2 a c
c a
³ 2 2 2 2 2 =2 , (0,5đ)
b c
c2 2 +b2 2 b c
c b
³ 2 2 2 2 2 =2 (0,5đ) Vậy a b b c c a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi “=” xảy ra khi ” xảy ra khi a2=b2 =c2 (0,25đ)
2.25đ
Ghi chú: Thí sinh làm theo các ph ơng pháp đúng chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa
Ngô Trí Thụ