HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI: 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình sau ( ) 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 0 , . 2 3 3 0 x y x x y x y x y y xy y x + + + + − + = ∈ + + − − = ¡ Câu 2 (4 điểm). Gọi I và O lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC . Giả sử tam giác ABC không đều. Chứng minh rằng · 0 90AIO ≥ khi và chỉ khi 2BC AB AC≥ + . Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên ,x y để 2 5 x y + là số chính phương. Câu 4 (4 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn: 1a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( 1)( 1)( 1)ab bc ca P abc + + + = . Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác đều có 2015 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong các màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn có ba đỉnh là các đỉnh của một tam giác cân mà chúng được tô cùng một màu. Giáo viên ra đề Lại Thị Quỳnh Nguyên (DĐ: 0915.38.20.47) ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10 Câu Nội dung chính cần đạt Điểm Câu 1 Giải hệ phương trình ( ) 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 0 , . 2 3 3 0 x y x x y x y x y y xy y x + + + + − + = ∈ + + − − = ¡ Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 1 2 1 2 3 1 x x y y x y y x + + + = + + = + Đặt 1u x= + , ta có hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 * 2 2 u uy y uy y u + = + = Dễ thấy 0u y= = là một nghiệm của hệ ( ) * . Xét 0u ≠ , đặt , 0y tu t= ≠ , ta có hệ phương trình 3 2 3 3 3 3 2 2 3 u t u tu tu t u u + = + = Chia vế theo vế của hai phương trình trong hệ trên ta được ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 3 1 2 4 3 0 4 3 1 2 1 1 t loai t t t t t t t t = − + = ⇔ − − = ⇔ + = ⇔ = ± Với 1t = , ta có y u= , thế vào ( ) 1 ta được 3 1 1 0 2 2 1 1 2 y u x y y y u x = ⇒ = ⇒ = = ⇔ = − ⇒ = − ⇒ = − Với 1t = − , ta có y u= − , thế vào ( ) 1 ta được 3 2 2y y− = (phương trình vô nghiệm) Vậy, hệ đã cho có nghiệm là: ( ) ( ) ( ) 0;0 , 2; 1 , 0; 1− − − . Câu 2 + Kéo dài AI cắt đường tròn ( ) O tại D . + Vì AI là phân giác góc · BAC nên BD CD= và · · · BCD CBD BAD= = . + Ta có · · · · · · BID IAB ABI CBD CBI IBD= + = + = hay tam giác DBI cân tại đỉnh D nên BD CD ID= = . 1,0 1,0 D O I A B C + Ap dung inh li Ptoleme cho t giac nụi tiờp ABDC co ( ) ( ) . . . . .AD BC AB CD AC BD BD AB AC ID AB AC= + = + = + + ã 0 90AIO khi va chi khi 2 2 2 AD AB AC AI ID AD ID ID BC + hay 2BC AB AC + . (iu phi chng minh) 1,0 1,0 Cõu 3 Tỡm tt c cỏc s t nhiờn ,x y 2 5 x y + l s chớnh phng. Gi s ( ) 2 2 5 x y k k+ = Ơ . Nu 0x = thỡ 2 1 5 y k+ = k l s chn. 2 4k M , nhng ( ) 1 5 2 mod4 y + . Do ú 0x . T 2 2 5 x y k+ = ta suy ra k l v k khụng chia ht cho 5. Vi 0y = thỡ ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 4 1 x x k m m m+ = = + = + 1m = . Khi ú 3, 0x y= = . Th li cú: 3 0 2 5 9+ = l s chớnh phng. Vi 0y : vỡ k khụng chia ht cho 5 nờn ( ) 2 1 mod5k . T 2 2 5 x y k+ = suy ra ( ) 2 1 mod5 x x chn. t 2x n= , ta cú ( ) ( ) 5 2 2 y n n k k= + 2 5 2 5 n a n b k k + = = , vi ( ) ; ,a b y a b a b+ = > Ơ ( ) 1 2 5 5 1 5 1 0, n b a b b b a y + = = = = Lỳc ú 1 2 5 1 n y+ = - Nu 2y t= thỡ 1 2 2 5 1 3 n t+ = M (vụ lý) - Do ú ta cú y l. Khi ú ( ) 1 1 2 2 5 1 4 5 5 5 1 n y y y+ = = + + + + Nu 1y > thỡ 1 2 5 5 5 1 y y + + + + l s l (vụ lý) Vy 1 1, 2, 1y n x y= = = = Th li cú 2 1 2 5 9+ = l s chớnh phng. Cõu 4 Ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 1P a b c abc b c a abc a b c ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ = + + + = + + + + + ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ Vỡ 1a b c+ + = nờn t BT CauChy cho 3 s dng ta cú: 3 1 1 3 3 27 a b c abc abc + + = ịÊ Do ú: 1 1 (27 )(1 27 ) 27 0 27 27 abc abc abc abc abc - - + - - = 1,0 Suy ra: 1 1 730 27 27 27 abc abc + + =³ Mặt khác ta lại có: ( ) 1 1 1 1 1 1 9 9a b c a b c a b c æ ö ÷ ç ÷ + + + + + +³Þ ³ ç ÷ ç ÷ ç è ø Từ đó suy ra: 2 730 10 9 1 27 3 P æ ö ÷ ç ÷ + + =³ ç ÷ ç ÷ ç è ø Vậy 2 10 1 min 3 3 P x y z æ ö ÷ ç ÷ = = = =Û ç ÷ ç ÷ ç è ø . 1,0 1,0 1,0 Câu 5 Vì đa giác có số lẻ đỉnh nên tồn tại hai đỉnh kề nhau được sơn cùng màu. Ta gọi hai đỉnh đó là A và B và giả sử ,A B có cùng màu đỏ. Do đa giác đã cho có số lẻ cạnh nên tồn tại đỉnh M nằm trên trung trực của đoạn AB . Rõ ràng, MAB là tam giác cân. Có hai khả năng xảy ra: - M màu đỏ: Khi đó, MAB là tam giác cân đỏ (có ba đỉnh màu đỏ) và bài toán đã được giải. - M màu xanh: Gọi E và F là các đỉnh kề của A và B (mà không phải là ,A B ). Do đa giác đã cho là đều nên » » BF EA BF EA= ⇒ = ⇒ / /EF AB . Từ đó, tam giác MEF cũng là tam giác cân. Để ý rằng EAB và FAB cũng là các tam giác cân. Lại có hai khả năng xảy ra: 1. ,E F cùng xanh: Khi đó, tam giác MEF là tam giác cân xanh. Bài toán được giải. 2. Một trong hai đỉnh ,E F màu đỏ: Giả sử E đỏ, khi đó EAB là tam giác cân đỏ. Như thế luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác đều đã cho lập nên một tam giác cân cùng màu. 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI: 10 NĂM 2015 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề này gồm có 01. đều có 2015 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong các màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn có ba đỉnh là các đỉnh của một tam giác cân mà chúng được tô cùng một màu. Giáo viên ra đề . cân đỏ (có ba đỉnh màu đỏ) và bài toán đã được giải. - M màu xanh: Gọi E và F là các đỉnh kề của A và B (mà không phải là ,A B ). Do đa giác đã cho là đều nên » » BF EA BF EA= ⇒ =