Đường thẳng XT cắt 1 tại S và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B.. Cho I là giao điểm của các đường thẳng XY và SC; AI cắt đường tròn 1 tại điểm thứ hai K.. 4.0 điểm Có 2015
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán Lớp 10
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4,0 điểm ) Giải hệ phương trình:
2
Câu 2 (4,0 điểm) Cho hai đường tròn (1), (2) tiếp xúc ngoài tại điểm T Một
đường thẳng cắt đường tròn (1) tại các điểm A, B và tiếp xúc với (2) tại X Đường thẳng XT cắt (1) tại S và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B Cho CY là tiếp tuyến của (2) tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau Cho I là giao điểm của các đường thẳng XY và SC; AI cắt đường tròn (1) tại
điểm thứ hai K Chứng minh rằng:
a) C, T, Y và I cùng thuộc một đường tròn.
b) KB=KC=KI.
Câu 3 (4,0 điểm) Chứng minh, với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại số tự nhiên x sao cho f x( ) 64 x221x27 chia hết cho 2n
Câu 4 (4,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn 3
4
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P ( x y)( y z)( z x) 1 1 1
Câu 5 (4.0 điểm) Có 2015 vận động viên thi đấu bóng bàn theo thể thức đấu vòng
tròn, mỗi đấu thủ đấu với tất cả các đấu thủ còn lại Kết quả mỗi trận đấu chỉ có thắng hoặc thua, không có hòa Chứng minh rằng có thể xếp 2015 vận động viên theo hàng dọc sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau
-
Người ra đề: Phạm Thị Hà Định
Số điện thoại : 0912581381
Trang 2ĐÁP ÁN
1
4,0 đ Giải hệ phương trình:
2
Điều kiện: x y 0 Đặt u x y u ; 0
Ta có (1) trở thành u2 1 1 4u4 3u u2 1 3u4u4 1
2
2
1 3
(2 1)(2 1)
1
Kết hợp với (2) ta có hệ:
1
1
2
x
KL: Hệ đã cho có nghiệm (x;y) = 1;1
2
2
4,0 đ
Cho hai đường tròn (1), (2) tiếp xúc ngoài tại điểm T Một đường thẳng cắt
đường tròn (1) tại các điểm A, B và tiếp xúc với (2) tại X Đường thẳng XT cắt
(1) tại S và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B Cho CY là tiếp
tuyến của (2) tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau Cho I là giao điểm của các đường thẳng XY và SC; AI cắt đường tròn (1) tại điểm thứ hai
K Chứng minh rằng:
a) C, T, Y và I cùng thuộc một đường tròn.
b) KB=KC=KI.
Trang 3I
B A
T
X
C
a) + Do hai đường tròn (1), (2) tiếp xúc ngoài tại T nên ta có
TAS
XT TS BXT suy ra S là điểm chính giữa cung AB hay SA=SB
Mà TCI TAS (ATCS nội tiếp), TAS BXT và BXT YXT nên TCI TYI Suy ra CTIY nội tiếp
b) Do AXSTAS nên suy ra AXSTAS nên 2
SA ST SX
Ta có CITCYT TXY nên SXI SIT hay 2
SI ST SX
Từ đó SA=SI
Mặt khác
giác ngoài của góc ACB
Trong tam giác cân BSI ta có BSI BSC BAC mà 0
BIS 90
2
ABC hay BI là
phân giác ngoài góc ABC
Do đó I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC
Mà AI cắt đường tròn (1) ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai K nên KB=KC=KI
3
4,0 đ
Chứng minh, với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại số tự nhiên x sao cho
2
f x x x chia hết cho 2n
+) Với n=1, chọn x=1 khi đó f(1) 92 chia hết cho 21
+) Giả sử với n k , tôn tại x sao cho ( ) 2 k k
k
f x
+) Với n k 1 Từ ( ) 2k ( ) 2k
f x f x K , với K nguyên dương
Trang 42 2
Với p nguyên dương, nên tồn tại t’ sao cho (K 21 ') 2t
Vậy chọn 1 2k
x t x thì 1
1
( ) 2k k
Theo nguyên lý quy nạp ta có, với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại số tự nhiên x sao cho f x( ) 64 x2 21x27 chia hết cho 2n
4
4,0 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn
3 4
x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P ( x y)( y z)( z x) 1 1 1
Đặt x a , y b z c , , ta có a b c, , là các số dương thỏa mãn
4
a b c và P (a b b c c a)( )( ) 12 12 12
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
a a a a b b c c .
Mặt khác (a b b c c a )( )( ) 8 abc, suy ra
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
abc
P
a b c
4
a b c a b c nên 3
2
a b c Suy ra 63 8 13
3
a b c x y z
Trang 54,0
Có 2015 vận động viên thi đấu bóng bàn theo thể thức đấu vòng tròn, mỗi đấu thủ đấu với tất cả các đấu thủ còn lại Kết quả mỗi trận đấu chỉ có thắng hoặc thua, không có hòa Chứng minh rằng có thể xếp 2015 vận động viên theo hàng dọc sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau
Xét tất cả các cách xếp một số vận động viên theo hàng dọc sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau Vì số cách xếp như vậy là hữu hạn nên tồn tại một cách xếp T có nhiều vận động viên nhất Ta chứng minh cách xếp T thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy giả sử T không chứa tất cả các vận động viên và
A là người không nằm trong cách xếp T Giả sử trong cách xếp T có n người
1, , ,2 n
A A A sao cho A thắng i A i1 Nếu A thắng A thì cách xếp 1 A A A, , , ,1 2 A có n
nhiều vận động viên hơn cách xếp T Do đó A thua A Lập luận tương tự như1
vậy ta dẫn đến A thua tất cả các vận động viên A A1, , ,2 A Nhưng khi đó cách n
xếp A A1, , , ,2 A A có nhiều vận động viên hơn cách xếp T, vô lí Vậy cách xếp T n
phải chứa tất cả các vận động viên và ta có điều phải chứng minh
-
Người ra đề: Phạm Thị Hà Định
Số điện thoại : 0912581381